8.2.1 两角和与差的余弦（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

8.2.1　两角和与差的余弦(强基课—梯度进阶式教学) 课时目标 1．经历推导两角差的余弦公式的过程，知道两角差的余弦公式的意义． 2．能从两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式，了解它们的内在联系． 3．掌握两角和与差的余弦公式的正用、逆用、变形用．能利用两角和与差的余弦公式进行求值、计算． 两角和与差的余弦公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角差的余弦公式 Cα－β cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R 两角和的余弦公式 Cα＋β cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β α，β∈R 微点助解 (1)公式中的α，β都是任意角，既可以是一个角，也可以是几个角的组合． 如cos中的，分别相当于公式中的角α，β. (2)cos(α－β)＝cos α－cos β一般不成立，但在特殊情况下也可能成立． 例如：当α＝0°，β＝60°时，cos(0°－60°)＝cos 0°－cos 60°. (3)要掌握公式的逆用，如cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)·sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. [基点训练] 1．cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝(　 ) A．－ B． C．－ D． 解析：选B　cos 72°cos 12°＋sin 72°sin 12°＝cos(72°－12°)＝cos 60°＝. 2．cos 75°＝________. 解析：cos 75°＝cos(30°＋45°)＝cos 30°cos 45°－sin 30°sin 45°＝. 答案： 3．cos(x－y)cos y－sin(x－y)sin y＝________. 解析：原式＝cos[(x－y)＋y]＝cos x. 答案：cos x 题型(一)　给角求值 [典例1]　求下列各式的值： (1)cos 63°sin 57°＋sin 117°sin 33°； (2)sin 245°sin 125°＋sin 155°sin 35°； (3)cos 15°＋sin 15°. [解]　(1)原式＝cos 63°cos 33°＋sin 63°sin 33°＝cos(63°－33°)＝cos 30°＝. (2)原式＝sin(270°－25°)sin(90°＋35°)＋sin(180°－25°)sin 35° ＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35° ＝－cos(25°＋35°)＝－cos 60°＝－. (3)原式＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝. [方法技巧] 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分． [针对训练] 1．若a＝(cos 100°，sin 100°)，b＝(cos 10°，sin 10°)，则a·b＝(　 ) A．cos 110°　　　　　　　 B．sin 110° C．1 D．0 解析：选D　a·b＝cos 100°cos 10°＋sin 100°sin 10°＝cos(100°－10°)＝cos 90°＝0. 2．求值：(1)cos 105°＝________； (2)coscos＋cossin＝________. 解析：(1)原式＝cos(60°＋45°)＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45°＝×－×＝. (2)原式＝coscos＋sinsin ＝cos＝cos＝. 答案：(1)　(2) 题型(二)　给值(式)求值 [典例2]　已知α，β为锐角，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值． [解]　∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<π. 由cos(α＋β)＝－， 得sin(α＋β)＝ ＝＝. 又∵cos α＝，∴sin α＝. ∴cos β＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝×＋×＝. [方法技巧] 给值求值的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此在解题过程中要根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)． [针对训练] 3．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且<α<，0<β<，求cos(α