7.3.3 余弦函数的性质与图像-【新课程能力培养】2024-2025学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 提升练习 11. Ａ 【解析】 ∵ｆ （ ｘ ）图象的周期为 π ， ∴ω＝2. ∴ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎ 2x+ π 3 ! " ， ∴ｆ （ ｘ ）图象关于点 kπ 2 - π 6 ， ! " 0 （ ｋ∈Ｚ ） 对称， 关于 ｘ＝ kπ 2 + π 12 （ ｋ∈Ｚ ） 对称 . 故选 Ａ. 12. Ｄ 【解析】 由图象知 T 4 ＝ 7π 12 - π 3 ＝ π 4 ， ∴Ｔ＝π ， ω＝ 2 ， 且 2× 7π 12 ＋φ＝2ｋπ＋π （ ｋ∈Ｚ ）， φ＝2ｋπ- π 6 （ ｋ∈Ｚ ） . 又 ｜φ｜＜ π 2 ， ∴φ＝- π 6 . 故选 Ｄ. 13. ＢＣ 【解析 】 ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象横坐标变为原来的 1 2 ， 再向左平移 π 4 个单位， 得 ｙ＝ｓｉｎ 2 x+ π 4 ! "4 % ＝ｓｉｎ 2x+ π 2 ! " 的图 象， 故 Ａ 不正确； ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象横坐标变为原来的 1 2 ， 再 向左平移 π 8 个单位 ， 得 ｙ＝ｓｉｎ 2 x+ π 8 ! "4 % ＝ｓｉｎ 2x+ π 2 ! " 的图 象， 故 Ｂ 正确； ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象向左平移 π 4 个单位， 再将横 坐标变为原来的 1 2 ， 得 ｙ＝ｓｉｎ 2x+ π 4 ! " 个单位， 故 Ｃ 正确； ｙ＝ｓｉｎｘ 的图象向左平移 π 8 个单位， 再将横坐标变为原来的 1 2 ， 得 ｙ＝ｓｉｎ 2x+ π 8 ! " 的图象， 故 Ｄ 不正确 . 故选 ＢＣ. 14. 2 【解析】 由题意知 Ｔ＝2× 7π 12 - π 12 ! " ＝π. ∴ω＝ 2π T ＝2. 15. 4 9 - 11 12 【解析 】 由题意 ， 得 ｓｉｎｘ＝ 1 3 -ｓｉｎｙ. 由 ｓｉｎｘ∈ ［ -1 ， 1 ］， 得 -1≤ 1 3 -ｓｉｎｙ≤1 ， -1≤ｓｉｎｙ≤1 1 ， 解得 - 2 3 ≤ｓｉｎｙ≤1 ， ∴Ｍ＝ 1 3 -ｓｉｎｙ-ｃｏｓ 2 ｙ＝ｓｉｎ 2 ｙ-ｓｉｎｙ- 2 3 ＝ ｓｉｎｙ- 1 2 ! " 2 - 11 12 ， 则当 ｓｉｎｙ＝ 1 2 时 ， Ｍ 最小值为 - 11 12 ； 当 ｓｉｎｙ＝- 2 3 时 ， Ｍ 最大值 为 4 9 . 16. 解： ∵ π 4 ≤ｘ≤ 3π 4 ， ∴ 2π 3 ≤2ｘ＋ π 6 ≤ 5π 3 ， ∴-1≤ ｓｉｎ 2ｘ＋ π 6 ! " ≤ 3 姨 2 . 假设存在这样的有理数 ａ ， ｂ ， 则当 ａ＞0 时， - 3 姨 ａ＋2ａ＋ｂ＝-3 ， 2ａ＋2ｂ＋ｂ＝ 3 姨 -1 1 ， 解得 ａ＝1 ， ｂ＝ 3 姨 - 1 5 （不合题意 ， 舍 去）； 当 ａ＜0 时， 2ａ＋2ａ＋ｂ＝-3 ， - 3 姨 ａ＋2a＋ｂ＝ 3 姨 -1 1 ， 解得 ａ＝-1 ， ｂ＝1 1 . 故 ａ ， ｂ 存在， 且 ａ＝-1 ， ｂ＝1. 7.3.3 余弦函数的性质与图象 学习手册 变式训练 1 解 ： （ 1 ） 方法一 ： ｙ＝ 2ｃｏｓｘ＋1 ｃｏｓｘ-2 ＝2＋ 5 ｃｏｓｘ-2 ， ∵-1≤ ｃｏｓｘ≤1 ， ∴ -5≤ 5 ｃｏｓｘ-2 ≤- 5 3 ， -3≤2 ＋ 5 ｃｏｓｘ-2 ≤ 1 3 ， ∴ｙ ｍａｘ ＝ 1 3 ， ｙ ｍｉｎ ＝-3. 方法二 ： 由 ｙ＝ 2ｃｏｓｘ＋1 ｃｏｓｘ-2 ， 解得 ｃｏｓｘ＝ 2ｙ＋1 ｙ-2 . ∵-1≤ ｃｏｓｘ≤1 ， ∴-1≤ 2ｙ＋1 ｙ-2 ≤1 ， 解得 -3≤ｙ≤ 1 3 . ∴ｙ ｍａｘ ＝ 1 3 ， ｙ ｍｉｎ ＝-3. （ 2 ） ∵ - π 6 ≤ｘ≤ π 6 ， ∴0≤2ｘ ＋ π 3 ≤ 2π 3 ， ∴ -1≤ 2ｃｏｓ 2x+ π 3 ! " ≤2 ， 当 ｃｏｓ 2x+ π 3 ! " ＝1 ， 即 ｘ＝- π 6 时， ｙ ｍａｘ ＝2 ， 当 ｃｏｓ 2x+ π 3 ! " ＝- 1 2 ， 即 ｘ＝ π 6 时， ｙ ｍｉｎ ＝-1. 变式训练 2 解： （ 1 ） 由 1-ｃｏｓｘ≥0 ， ｃｏｓｘ-1≥0 1 ， 圯ｃｏｓｘ＝1. ∴ｘ＝2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） . ∴ 定义域关于原点对称， 而此时 ｙ＝0.∴ｙ＝ 1-ｃｏｓｘ 姨 ＋ ｃｏｓｘ-1 姨 既是奇函数又是偶函数 . （ 2 ） ∵ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ 3 4 x+ 3π 2 ! " =-ｃｏｓ 3 4 x ， 其定义域为 Ｒ ， ∴ｆ （ -ｘ ） ＝-cos - 3 4 ! " x =-ｃｏｓ 3 4 x ＝ ｆ （ ｘ ） ， ∴ 函 数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｓｉｎ 3 4 x+ 3π 2 ! " 为偶函数 . 变式训练 3 解： ∵ｙ＝Ａｃｏｓ （ ωｘ＋φ ） （ Ａ≠0 ， ω≠0 ） 的周期为 Ｔ＝ 2π ｜ω｜ . （ 1 ） Ｔ＝ 2π 4 ＝ π 2 . （ 2 ） Ｔ＝ 2π ｜-2｜ ＝π. 变式训练 4 Ｂ 【解析】 本题主要考查利用函数的对称性求解析式， 设 Ｍ （ ｘ ， ｙ ） 是所求函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）图象上任意一点， 则点 Ｍ 关 于点 π 4 ， ! " 0 的对称点为 Ｍ′ π 2 -ｘ ， - ! " ｙ ， 代入已知函数 解析式中有 -ｙ＝ｓｉｎ π 2 -x+ π 4 ! " ＝ｓｉｎ π 2 - x- π 4 ! " 4 % =ｃｏｓ x- π 4 ! " ， 则 ｙ＝-ｃｏｓ x- π 4 ! " ， 故选 Ｂ. 变式训练 5 （ 1 ） ［ 2ｋπ ， π＋2ｋπ ］ （ ｋ∈Ｚ ） （ 2 ） ［ -π ， 0 ］ ， ［ π ， 2π ］ 【解析】 （ 1 ） ｙ＝3-2ｃｏｓｘ 与 ｙ＝3＋2ｃｏｓｘ 的单调性 相反， 由 ｙ＝3＋2ｃｏｓｘ 的递减区间为 ［ 2ｋπ ， π＋2ｋπ ］ （ ｋ∈ Ｚ ）， ∴ｙ＝3-2ｃｏｓｘ 的递增区间为 ［ 2ｋπ ， π＋2ｋπ ］ （ ｋ∈Ｚ ） . （ 2 ） 函数 ｙ＝1＋ｃｏｓｘ 的单调递增区间为 ［ 2ｋπ＋π ， 2π＋ 2ｋπ ］ （ ｋ∈Ｚ ）， ∵ ［ 2ｋπ＋π ， 2π＋2ｋπ ］ ∩ ［ -π ， 2π ］ ＝ ［ -π ， 0 ］ ∪ ［ π ， 2π ］， ∴ｙ＝1＋ｃｏｓｘ 的单调递增区间为 ［ -π ， 0 ］， ［ π ， 2π ］ . 变式训练 6 解： （ 1 ） ｃｏｓ1 155°＝ ｃｏｓ （ 3 × 360 ° ＋ 75 ° ） ＝ ｃｏｓ75 ° ， ｃｏｓ （ -1 516° ） ＝ｃｏｓ1 516°＝ｃｏｓ （ 4×360°＋76° ） ＝ｃｏｓ76° ， ∵ｙ＝ ｃｏｓｘ 在 0 ， π 2 4 % 上是递减的， 且 0°＜75°＜76°＜90° ， ∴ｃｏｓ75°＞ 38 参 考 答 案 ｃｏｓ76° ， 即 ｃｏｓ1 155°＞ｃｏｓ （ -1 516° ） . （ 2 ） ｃｏｓ - 2π 3 ! " ＝ｃｏｓ 2π 3 ， ∵ｙ＝ｃｏｓｘ 在 ［ 0 ， π ］ 上是递减 的 ， 且 0＜ 3π 5 ＜ 2π 3 ＜π ， ∴ｃｏｓ 3π 5 ＞ｃｏｓ 2π 3 ， 即 ｃｏｓ - 2π 3 ! " ＜ ｃｏｓ 3π 5 . （ 3 ） ｃｏｓ - 13π 4 ! " ＝ｃｏｓ -4π+ 3π 4 ! " ＝ｃｏｓ 3π 4 ， ｃｏｓ - 17π 5 ! " ＝ ｃｏｓ -4π+ 3π 5 ! " ＝ｃｏｓ 3π 5 ， ∵ｙ＝ｃｏｓｘ 在 ［ 0 ， π ］ 上是递减的 ， 且 0 ＜ 3π 5 ＜ 3π 4 ＜π ， ∴ｃｏｓ 3π 5 ＞ｃｏｓ 3π 4 ， 即 ｃｏｓ - 13π 4 ! " ＜ ｃｏｓ - 17π 5 ! " . 变式训练 7 解 ： （ 1 ） 由图可得 Ａ＝3 ， Ｔ＝4× - 4 3 + 7 3 ! " ＝4. ∵ω＞0 ， ∴ω＝ 2π T ＝ π 2 . ∵ｆ （ ｘ ） ＝3ｃｏｓ π 2 x+ ! " φ . ∵ｆ （ ｘ ）的图象经过点 - 4 3 ， ! " 3 ， ∴3ｃｏｓ - 2π 3 + ! " φ ＝3 ， ∴- 2π 3 ＋φ＝2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） ， ∴φ＝2ｋπ＋ 2π 3 （ ｋ∈Ｚ ） . ∵0 ＜φ ＜π ， ∴φ ＝ 2π 3 . 故 ｆ （ ｘ ） ＝ 3ｃｏｓ π 2 x+ 2π 3 ! " . （ 2 ） ∵ 16 3 ≤ｘ≤ｍ ， ∴ 10π 3 ≤ π 2 ｘ＋ 2π 3 ≤ mπ 2 ＋ 2π 3 . ∵ｆ （ ｘ ） 的值域为 - 3 2 ， ， & 3 ， ∴4π≤ mπ 2 ＋ 2π 3 ≤ 14π 3 . 解得 20 3 ≤ｍ≤ 8. 故 ｍ 的取值范围为 20 3 ， ， & 8 . 随堂练习 1. Ｄ 2. Ｂ 3. ［ 0 ， π ］ 4. 解： 列表： 描点连线， 如图 . 5. 解： 由题意平移后的函数为 ｙ＝ｃｏｓ x+ 4π 3 - ! " φ ， 它是 偶函数， 因此， 当 ｘ＝0 时， ｃｏｓ 4π 3 - ! " φ 取得最大值为 1 或 最小值为 -1 ， 故 4π 3 -φ＝2ｎπ 或 （ 2ｎ＋1 ） π （ ｎ∈Ｚ ）， 即 4π 3 - φ＝ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） . ∴φ＝ 4π 3 -kπ （ ｋ∈Ｚ ）， 当 ｋ＝1 时， φ 取最小 正值 π 3 . 6. 解 ： ｙ＝ｃｏｓ π 6 - ! " x ＝ｃｏｓ x- π 6 ! " ， 令 ｚ＝ｘ- π 6 ， 则 ｙ＝ ｃｏｓｚ ， 即 2ｋπ≤ｚ≤2ｋπ＋π ， ｋ∈Ｚ ， ∴2ｋπ≤ｘ- π 6 ≤2ｋπ＋π ， ｋ∈Ｚ ， ∴2ｋπ＋ π 6 ≤ｘ≤2ｋπ＋ 7 6 π ， ｋ∈Ｚ. 故函数 ｙ＝ｃｏｓ π 6 - ! " x 的单调递减区间为 2kπ+ π 6 ， 2kπ+ 7 6 ， & π （ ｋ∈Ｚ ） . 练习手册 效果评价 1. Ｃ 【解析 】 由 ｙ＝-ｃｏｓｘ 的图象知关于原点和 ｘ 轴对 称 . 故选 Ｃ. 2. Ｂ 【解析 】 ∵ｓｉｎ 2x- π 2 ! " ＝- ｓｉｎ π 2 -2 ! " x ＝-ｃｏｓ2ｘ ， ∴ｆ （ ｘ ） ＝-ｃｏｓ2ｘ. 又 ｆ （ -ｘ ） ＝-ｃｏｓ （ -2ｘ ） ＝-ｃｏｓ2ｘ＝ｆ （ ｘ ）， ∴ｆ （ ｘ ）的 最小正周期为 π 的偶函数 . 故选 Ｂ. 3. ＡＢＣ 【解析】 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ x+ π 6 ! " ， 由余弦函 数的周期性得 ｆ （ ｘ ）的一个周期为 2π ， 故 Ａ 正确； 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ x+ π 6 ! " 的对称轴满足条件 ｘ＋ π 6 ＝ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， 即 ｘ＝ｋπ- π 6 ， ｋ∈Ｚ ， ∴ｙ＝ｆ （ ｘ ）的图象关于直线 ｘ＝- π 6 对称 ， 故 Ｂ 正 确； ｆ x+ π 3 ! " ＝ｃｏｓ x+ π 2 ! " ＝-ｓｉｎｘ ， -ｓｉｎπ＝0 ， ∴ｆ x+ π 3 ! " 的一个 零点为 π ， 故 Ｃ 正确； 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ x+ π 6 ! " 在 2π 3 ， ! " π 上 先减后增， 故 Ｄ 错误 . 故选 ＡＢＣ. 4. Ａ 【解析 】 ∵ｓｉｎｘ＞｜ｃｏｓｘ｜ ， ∴ｓｉｎｘ＞0 ， ∴ｘ∈ （ 0 ， π ）， 在同一 坐标系中画出 ｙ＝ｓｉｎｘ ， ｘ∈ （ 0 ， π ） 与 ｙ＝｜ｃｏｓｘ｜ ， ｘ∈ （ 0 ， π ） 的 图象 ， 观察图象易得 ｘ∈ π 4 ! ， 3π 4 " . 故选 Ａ. 5. ＢＤ 【解析】 由题意 ， 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓｘ 其最小正周期 为 2π ， 故 Ａ 正确 . 函数在 （ -π ， 0 ） 上单调递增， 故 Ｂ 不 正确； 函数的对称轴方程是 ｘ＝ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， 当 ｋ＝1 时， ｘ＝π ， 故 Ｃ 正确； 把函数的图象向左平移 π 2 个单位可得 ｙ＝ｃｏｓ x+ π 2 ! " ＝-ｓｉｎｘ 的图象， 故 Ｄ 不正确 . 应选 ＢＤ. 6. Ｄ 【解析 】 作出函数 ｙ＝ 2ｃｏｓｘ ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］ 的 图 象 ， 函数 ｙ＝2ｃｏｓｘ ， ｘ∈ ［ 0 ， 2π ］ 的 图象与直线 ｙ＝2 围成的平面图 形为如图所示的阴影部分 . 利用 图象的对称性可知该平面图形 的面积等于矩形 ＯＡＢＣ 的面积， 又 ∵｜ＯＡ｜＝2 ， ｜ＯＣ｜＝2π ， ∴Ｓ 平面图形 ＝Ｓ 矩形 ＯＡＢＣ ＝2×2π＝4π. 故选 Ｄ. 7. ± 1 2 【解析】 ∵4π＝ 2π ｜-ω｜ ， ∴ω＝± 1 2 . x 0 π 2 π 3 2 π 2π cosx 1 0 -1 0 1 y=1-cosx 0 1 2 1 0 第 4 题答图 第 4 题答图 第 6 题答图 39 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 8. （ -π ， 0 ］ 【解析 】 ∵ｙ＝ｃｏｓｘ 在 ［ -π ， 0 ］ 上为增函 数， 又在 ［ -π ， ａ ］ 上递增， ∴ ［ -π ， ａ ］ 哿 ［ -π ， 0 ］， ∴ａ≤0. 又 ∵ａ＞-π ， ∴-π＜ａ≤0. 9. 2 【解析 】 在同一坐标系中 ， 作出 ｙ＝ｘ 2 和 ｙ＝ｃｏｓｘ 的图象如图 ， 由 图可知， 有两个交点， 也就是实根的 个数为 2. 10. 解： 由题意得 3ｃｏｓ 2× 4π 3 + # $ φ ＝ 3ｃｏｓ 2π 3 +φ+2 2 & π ＝3ｃｏｓ 2π 3 + 2 & φ ＝0 ， ∴ 2π 3 ＋φ＝ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈ Ｚ ， ∴φ＝ｋπ- π 6 ， ｋ∈Ｚ ， 取 ｋ＝0 ， 得 ｜φ｜ 的最小值为 π 6 . 提升练习 11. Ｃ 【解析 】 如 图所示 ， 作出函数 ｙ＝ ｃｏｓｘ 和 ｙ＝ｌｇｘ 的图象 . 两 曲 线 有 3 个 交 点 ， 故方程有 3 个实根 . 故 选 Ｃ. 12. Ｄ 【解析 】 令 ｔ＝ π 4 -ωｘ ， 则函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ π 4 -ω 2 & x ， 由 ｙ＝ｃｏｓｔ 及 ｔ＝ π 4 -ωｘ 复合而成， ∵ω＞0 ， ∴ｔ＝ π 4 -ωx 为减函数， 要使得函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｃｏｓ π 4 -ω 2 & x 在 π 2 ， 2 & π 上单调递减， 则 ｙ＝ｃｏｓｔ 必须单调 递增， 令 -π＋2ｋπ≤ｔ≤2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ）， 即 -π＋2ｋπ≤ π 4 -ωｘ≤ 2ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） ， 解得 π 4ω - 2kπ ω ≤ｘ≤ 5π 4ω - 2kπ ω （ ｋ∈Ｚ ） ， 要 使 得 函 数 ｆ （ ｘ ） ＝ ｃｏｓ π 4 -ω 2 & x 在 π 2 ， ， ) π 上 单 调 递 减 ， 则 π 2 ， # & π 哿 π 4ω - 2kπ ω ， 5π 4ω - 2kπ ω ， ω （ ｋ∈Ｚ ）， 即 π 4ω - 2kπ ω ≤ π 2 ， 5π 4ω - 2kπ ω ≥π π . . . . - . . . . / ， 解得 ω≥ 1-8k 2 （ k∈Z ）， ω≤ 5-8k 4 （ k∈Z ） π . . . . - . . . . / . 当 ｋ＝0 时， 1 2 ≤ω≤ 5 4 . 故选 Ｄ. 13. ＢＣＤ 【解析】 ∵ｆ （ ｘ ）的图象是由 ｙ＝ｃｏｓ 2x+ π 3 & 向上平 移 1 个单位得到， ｙ＝ｃｏｓ 2x+ π 3 & 的对称中心的纵坐标为 0 ， ∴ｆ （ ｘ ）的对称中心的纵坐标为 1 ， 故 Ａ 错误； 当 ｘ＝ π 3 时 ， ｆ （ ｘ ）取得最小值 0 ， ∴ｘ＝ π 3 是 ｆ （ ｘ ）的一条对称轴 ， 故 Ｂ 正 确 ； Ｔ＝ 2π 2 ＝π ， 故 Ｃ 正确； ｆ （ ｘ ）的图象向右平移 π 6 个单位 后， 得到 ｙ＝ｃｏｓ2ｘ＋1 的图象， 它是偶函数， 故 Ｄ 正确 . 故选 ＢＣＤ. 14. 2 姨 2 【解析】 ∵Ｔ＝ 3π 2 ， ∴ｆ - 15π 4 2 & ＝ｆ - 15π 4 + 3π 2 ×3 2 & ＝ｆ 3π 4 2 & ＝ｓｉｎ 3π 4 ＝ 2 姨 2 . 15. 解： （ 1 ） ∵ｆ （ ｘ ）的周期 Ｔ＝π ， 故 2π ω ＝π ， ∴ω＝2. ∴ｆ （ ｘ ） ＝2ｃｏｓ2ｘ. ∴ｆ π 8 2 & ＝2ｃｏｓ π 4 ＝ 2 姨 . （ 2 ） 将 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的图象向右平移 π 6 个单位后 ， 得到 ｙ＝ 2ｃｏｓ 2x- π 3 & 的图象， 再将所得图象上各点的横坐标变为原 来的 4 倍， 纵坐标不变， 得到 ｙ＝2ｃｏｓ x 2 - π 3 2 & 的图象， ∴ｇ （ ｘ ） ＝ 2ｃｏｓ x 2 - π 3 2 & . 当 2ｋπ≤ x 2 - π 3 ≤2ｋπ＋π （ ｋ∈Ｚ ）， 即 4ｋπ＋ 2π 3 ≤ｘ≤4ｋπ＋ 8π 3 （ ｋ∈Ｚ ） 时， ｇ （ ｘ ）单调递减， 因此 ｇ （ ｘ ） 的单调递减区间为 4ｋπ＋ 2π 3 ， 4ｋπ＋ 8π 3 ， ω （ ｋ∈Ｚ ） . 16. 解 ： （ 1 ） 由余弦函数的单调性 ， 解不等式 2ｋπ＋ π＜2ｘ＋ π 4 ＜2ｋπ＋2π ， ｋ∈Ｚ ， 得 3π 8 ＋ｋπ＜ｘ＜ 7π 8 ＋ｋπ ， ｋ∈Ｚ ， ∴ 函数 ｆ （ ｘ ）的单调递增区间为 3π 8 ＋ｋπ ， 7π 8 ＋ｋ 2 & π ， ｋ∈Ｚ. （ 2 ） 函数 ｆ （ ｘ ） ＝2ｃｏｓ 2x+ π 4 & 的单调递增区间为 3π 8 ＋ｋπ 2 ， 7π 8 ＋ｋ & π ， ｋ∈Ｚ ， 单调递减区间为 7π 8 ＋ｋπ ， 11π 8 ＋ｋ 2 & π ， ｋ∈Ｚ ， 又 ｘ∈ - 3π 8 ， π 4 ， ω ， ∴ 函数 ｆ （ ｘ ）在 - 3π 8 ， - π 8 ， ω 上 单调递增， 在 - π 8 ， π 4 ， ω 上单调递减， 则 ｆ - 3π 8 2 & ＝0 ， ｆ - π 8 2 & ＝2 ， ｆ π 4 2 & ＝- 2 姨 ， ∴ 当 0≤ｋ＜2 时， 函数 ｙ＝ｋ 与函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的图象有两个 公共点， 即当 ｋ∈ ［ 0 ， 2 ） 时， 方程 ｆ （ ｘ ） ＝ｋ 恰有两个不同的 实数根 . （ 3 ） 函数 ｆ （ ｘ ） ＝2ｃｏｓ 2x+ π 4 & 的图象向右平移 ｍ （ ｍ＞0 ） 个单位， 得到图象对应的函数为 ｇ （ ｘ ） ＝2ｃｏｓ 2x+ π 4 -2 & m ， 则 ｇ （ ｘ ）是奇函数， ｇ （ 0 ） ＝2ｃｏｓ 0+ π 4 -2 2 & m ＝0 ， 即 π 4 -2ｍ＝ｋπ＋ π 2 ， ｋ∈Ｚ ， 则 ｍ＝- π 8 - kπ 2 ， ｋ∈Ｚ ， ∵ｍ＞0 ， ∴ 当 ｋ＝-1 时， ｍ ｍｉｎ ＝ 3π 8 . 7.3.4 正切函数的性质与图象 学习手册 变式训练 1 解 ： 根 据 题 意 ， 得 ｔａｎｘ≥1 ， ｔａｎ ｘ＋ π 6 2 & ≠0 ， ｘ＋ π 6 ≠ π 2 ＋ｋπ （ ｋ∈Ｚ ） π . . . . . - . . . . . / ， 解 得 π 4 +kπ≤x< π 2 +kπ ， x≠- π 6 +kπ ， ｘ≠ π 3 ＋ｋ π . . . . . . - . . . . . . / π （ ｋ∈Ｚ ） . 第 9 题答图 第 11 题答图 40 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 学 习 目 标 １. 理解余弦函数的性质， 会求余弦函数 的周期、 单调区间和最值 . ２. 会用五点法、 图象变换法作余弦函数 和 ｙ＝Ａｃｏｓ （ ωｘ＋φ ）的图象 . 要 点 精 析 要点 1 余弦函数的定义域和值域 求三角函数式的函数值域的类型主要有： （ １ ） ｙ＝Ａｓｉｎ （ ωｘ＋φ ）型 ， 值域为 ［ -Ａ ， Ａ ］ （ Ａ＞０ ） . （ ２ ） ｙ＝ ａｓｉｎｘ＋ｂ ｃｓｉｎｘ＋ｄ 或 ｙ＝ ａｃｏｓｘ＋ｂ ｃｃｏｓｘ＋ｄ 型， 解决 这类问题的常用方法： 反解 ｓｉｎｘ （或 ｃｏｓｘ ）， 得到 ｓｉｎｘ＝ｆ （ ｙ ） （或 ｃｏｓｘ＝ｆ （ ｙ ）） ， 再利用 ｜ｓｉｎｘ｜≤１ （或 ｜ｃｏｓｘ｜≤１ ）， 列出 ｜ｆ （ ｙ ） ｜≤１ ， 解 出 ｙ 的范围， 即为所求函数的值域 . （ ３ ） ｙ＝ ａｓｉｎｘ＋ｂ ｃｃｏｓｘ＋ｄ 型， 一般用数形结合法 求解 . （ ４ ） ｙ ＝ａｓｉｎ ２ ｘ ＋ｂｓｉｎｘ ＋ｃ （ 或 ｙ ＝ａｃｏｓ ２ ｘ ＋ ｂｃｏｓｘ＋ｃ ） 型， 可以通过配方法转化为二次 函数在区间 ｓｉｎｘ∈ ［ -１ ， １ ］ 上的最值求解 . （ ５ ） ｙ＝ｓｉｎｘ＋ a sinx （ ａ＞０ ） 型， 转化为利 用函数 ｙ＝ｘ＋ p x （ ｐ＞０ ） 型函数值域 （最值）， 即利用函数的单调性 . 例 １ （ １ ） 求 ｆ （ ｘ ） ＝ ２ｃｏｓｘ-１ 姨 的定义域 . （ ２ ） 求下列函数的值域 . ① ｙ＝-２ｃｏｓｘ-１ ； ② ｙ＝ cosx 2cosx+1 ； ③ ｙ ＝ ｃｏｓ ２ ｘ-３ｃｏｓｘ＋２. 解： （ １ ） 由 ２ｃｏｓｘ-１≥０ ， 知 ｃｏｓｘ≥ 1 2 ， 作 出 ｙ ＝ｃｏｓｘ 在 ｘ ∈ ［ -π ， π ］ 的 图 象 知 ２ｋπ- π 3 ≤ｘ≤２ｋπ＋ π 3 ， ｋ∈Ｚ ， ∴ 定义域为 ｘ ２ｋπ- π 3 ≤ｘ≤２ｋπ＋ π 3 ， ｋ∈Ｚ Ｚ ' . （ ２ ） ①∵-１≤ｃｏｓｘ≤１ ， ∴-２≤-２ｃｏｓｘ≤ ２ ， ∴-３≤-２ｃｏｓｘ-１≤１. ∴ 函数 ｙ＝-２ｃｏｓｘ-１ 的值域为 ［ -３ ， １ ］ . ② 由 ｙ＝ cosx 2cosx+1 ， 可得 （ １-２ｙ ） ｃｏｓｘ＝ｙ ， ｃｏｓｘ＝ y 1-2y y≠ 1 2 2 * ， ∵｜ｃｏｓｘ｜≤１ ， ∴ｃｏｓ ２ ｘ≤１ ， ∴ y 2 （ 1-2y ） 2 ≤１ ， 即 ３ｙ ２ -４ｙ＋１≥０ ， ∴ｙ≤ 1 3 或 ｙ≥１. ∴ 函数 ｙ＝ cosx 2cosx+1 的值域为 -∞ ， 1 3 32 ∪ ［ １ ， ＋∞ ） . ③ 令 ｔ ＝ｃｏｓｘ ， ∵ｘ∈Ｒ ， ∴ｔ∈ ［ -１ ， １ ］ . ∴ 原函数可化为 ｙ＝ｔ ２ -３ｔ＋２= t- 3 2 2 2 2 - 1 4 ， 易 知该二次函数的图象开口向上， 且对称轴为 直线 ｔ＝ 3 2 ， ∴ｔ∈ ［ -１ ， １ ］ 为二次函数的单调 递减区间 . ∴ｔ＝-１ 时， ｙ ｍａｘ ＝６ ； ｔ＝１ 时， ｙ ｍｉｎ ＝０. ∴ 函 数 ｙ＝ｃｏｓ ２ ｘ-３ｃｏｓｘ＋２ 的值域为 ［ ０ ， ６ ］ . 反思感悟 （ １ ） 求与余弦函数有关的定义域时注 意结合余弦函数的图象 . 7.3.3 余弦函数的性质与图象 44 第七章 三角函数 学 （ ２ ） 与余弦函数有关的值域的求法 . ① 直接法 . 利用 ｙ＝ｃｏｓｘ 的有界性或已 知 ｘ 的范围求 ｙ＝ｃｏｓｘ 的值域 . ② 反解法 . 也是利用有界性， 但是要把 函数反解成 ｃｏｓｘ＝ｇ （ ｙ ）的形式 ， 再用 -１≤ ｇ （ ｙ ） ≤１ ， 解得 ｙ 的范围 . ③ 换元法 . 令 ｔ＝ｃｏｓｘ ， 整体换元， 换元 后的函数必定是我们所熟悉的函数， 比如 一次函数、 二次函数、 对数函数等 . 变式训练 1 求下列函数的最大值和最小值： （ １ ） ｙ＝ ２ｃｏｓｘ＋１ ｃｏｓｘ-２ ； （ ２ ） ｙ＝２ｃｏｓ 2x+ 仔 3 " # ， x∈ - 仔 6 ， 仔 6 6 & . 要点 2 余弦函数的性质 例 ２ 判断下列函数的奇偶性 . （ １ ） ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ （ ｃｏｓｘ ）； （ ２ ） ｆ （ ｘ ） ＝ １＋ｃｏｓ x+ 5 2 " 2 仔 １-ｃｏｓ x+ 5 2 " 2 仔 . 解： （ １ ） 定义域为 Ｒ ， ｆ （ -ｘ ） ＝ｓｉｎ （ ｃｏｓ （ -ｘ ）） ＝ｓｉｎ （ ｃｏｓｘ ） ＝ｆ （ ｘ ）， ∴ ｆ （ ｘ ）为偶函数 . （ ２ ） ∵ｃｏｓ x+ 5 2 " 2 仔 ＝ｃｏｓ x+ 仔 2 " 2 ＝-ｓｉｎｘ. ∴ ｆ （ ｘ ） ＝ １-ｓｉｎｘ １+ｓｉｎｘ . ∵１＋ｓｉｎｘ≠０ ， ∴ｓｉｎｘ≠-１ ， ∴ｘ ≠２ｋ仔 - 仔 2 （ ｋ ∈Ｚ ） . ∴ 定 义 域 为 ｘ ｘ∈Ｒ ， ｘ≠２ｋ仔- 仔 2 ， ｋ∈Ｚ Ｚ * ， 不关于原点 对称， ∴ 原函数为非奇非偶函数 . 反思感悟 （ １ ） 复合函数 ｙ＝ｆ （ ｇ （ ｘ ））的奇偶性 . ｙ＝ｆ （ ｔ ）与 ｔ＝ｇ （ ｘ ）只要有一个为偶函数， 则 ｙ＝ｆ （ ｇ （ ｘ ））为偶函数 . ｙ＝ｆ （ ｔ ）与 ｔ＝ｇ （ ｘ ）二者均为奇函数， 则 ｙ＝ ｆ （ ｇ （ ｘ ））为奇函数 . （ ２ ） 判断函数奇偶性时， 应先确定定 义域的对称性， 然后化简， 最后判断 . 变式训练 2 判断下列函数的奇偶性 . （ １ ） ｙ＝ １-ｃｏｓｘ 姨 ＋ ｃｏｓｘ-１ 姨 ； （ ２ ） ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ 3 4 x+ 3仔 2 2 2 . 例 ３ 求下列函数的周期： （ １ ） ｙ＝-２ｃｏｓ - 1 2 x- 2 2 1 ； （ ２ ） ｙ＝ｃｏｓ３ｘ＋ ｓｉｎ２ｘ. 解： （ １ ） ｙ＝-２ｃｏｓ - 1 2 x- 2 2 1 ＝-２ｃｏｓ 1 2 x+ 2 2 1 ， ∴ 函数周期 Ｔ＝ 2仔 1 2 ＝４仔 ； 45 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 （ ２ ） ｙ １ ＝ｃｏｓ３ｘ 的周期 Ｔ １ ＝ 2仔 3 ， ｙ ２ ＝ｓｉｎ２ｘ 的周期 Ｔ ２ ＝ 2仔 2 ＝仔. ∵Ｔ １ ＝ 2仔 3 ， Ｔ ２ ＝ 3仔 3 的最小 公倍数是 6仔 3 ， ∴Ｔ＝ 6仔 3 ＝２仔. 反思感悟 （ １ ） 一般地， 函数 ｙ＝Ａｃｏｓ （ ωｘ＋φ ） （ ｘ∈ Ｒ ） （其中 Ａ ， ω ， φ 为常数， 且 Ａ≠０ ， ω＞ ０ ） 的周期为 Ｔ＝ 2仔 ω . 今后， 可以使用这个 公式直接求这个函数的周期 . （ ２ ） 两个三角函数和 （或差） 的周期 . 如果 ｆ （ ｘ ）周期为 Ｔ １ ， φ （ ｘ ）周期为 Ｔ ２ ， Ｔ １ 与 Ｔ ２ 的 “最小公倍数” 为 Ｔ ， 则 Ｆ （ ｘ ） ＝ ｆ （ ｘ ） ±φ （ ｘ ）的周期为 Ｔ. 如 ｆ （ ｘ ） ＝ｓｉｎ （ -３ｘ ） ＋ｃｏｓ 3 2 ｘ ， ｓｉｎ （ -３ｘ ）周 期为 2仔 3 ， ｃｏｓ 3 2 ｘ 周期为 4仔 3 ， 2仔 3 与 4仔 3 的 “最小公倍数” 为 4仔 3 ， 故所求函数的最小 正周期为 4仔 3 . 变式训练 3 求下列函数的周期 . （ １ ） ｙ＝３ｃｏｓ 4x+ 仔 3 3 $ ； （ ２ ） ｙ＝２ｃｏｓ 仔 3 -2 2 & x . 例 ４ 求下列函数图象的对称轴、 对称 中心： （ １ ） ｙ＝２ｃｏｓ 1 3 x+ 仔 3 2 & ； （ ２ ） ｙ＝ 1 2 cos 3x+ 仔 6 2 & . 解： （ １ ） 由 1 3 ｘ＋ 1 3 仔＝ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ）， 得 ｘ＝３ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ 函数 ｙ＝２ｃｏｓ 1 3 x+ 1 3 2 & 仔 的图象的对称 中心为 3k仔+ 仔 2 ， 2 & 0 （ ｋ∈Ｚ ） . 由 1 3 ｘ＋ 1 3 仔＝ ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ）， 得 ｘ＝ （ ３ｋ-１ ） 仔 （ ｋ∈Ｚ ） . ∴ 函数 ｙ＝２ｃｏｓ 1 3 x+ 1 3 2 & 仔 的图象对称轴 为直线 ｘ＝ （ ３ｋ-１ ） 仔 （ ｋ∈Ｚ ） . （ ２ ） 由 ３ｘ＋ 仔 6 ＝ｋ仔＋ 仔 2 （ ｋ∈Ｚ ）， 得 ｘ＝ k 3 仔＋ 1 9 仔 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ 函数 ｙ＝ 1 2 ｃｏｓ 3x+ 仔 6 2 & 的图象的对称 中心为 k仔 3 + 仔 9 ， 2 & 0 （ ｋ∈Ｚ ） . 由 ３ｘ＋ 仔 6 ＝ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ）， 得 ｘ＝ k 3 仔- 仔 18 （ ｋ∈Ｚ ）， ∴ 函数 ｙ＝ 1 2 ｃｏｓ 3x+ 仔 6 2 & 的图象的对称 轴是直线 ｘ＝ k 3 仔- 仔 18 （ ｋ∈Ｚ ） . 反思感悟 关于函数 ｙ＝Ａｃｏｓ （ ωｘ＋φ ）的对称性： 将 ωｘ＋φ 看作整体， 代入到 ｙ＝ｃｏｓｘ 的对称中 心、 对称轴的表达式 ， 可以求出函数 ｙ＝ Ａｃｏｓ （ ωｘ＋φ ）的对称中心、 对称轴 . 46 第七章 三角函数 学 变式训练 4 已知函数 ｙ＝ｆ （ ｘ ）的图象和 ｙ＝ｓｉｎ x+ 仔 4 ! " 关于点 仔 4 ， ! " 0 对称 ， 则 ｆ （ ｘ ）的表达式是 （ ） Ａ. ｙ＝cos x+ 仔 4 ! " Ｂ. ｙ＝-cos x- 仔 4 ! " C. ｙ＝-cos x+ 仔 4 ! " D. ｙ＝cos x- 仔 4 ! " 例 ５ 求函数 ｙ＝ｃｏｓ 2x- 仔 3 ! " 的单调递增 区间和周期 . 解： 设 ｕ＝２ｘ- 仔 3 ， 则 ｕ 是 ｘ 的增函数， 而 ｙ＝ｃｏｓｕ 在区间 ［ ２ｋ仔-仔 ， ２ｋ仔 ］ （ ｋ∈Ｚ ） 上单调递增， 故当 ２ｋ仔-仔≤２ｘ- 仔 3 ≤２ｋ仔 （ ｋ∈ Ｚ ）， 即 ｘ∈ ｋ仔- 仔 3 ， ｋ仔＋ 仔 6 % & （ ｋ∈Ｚ ） 时， ｙ＝ ｃｏｓ 2x- 仔 3 ! " 单调递增 . 故函数 ｙ＝ｃｏｓ 2x- 仔 3 ! " 的单调递增区间是 ｋ仔- 仔 3 ， ｋ仔＋ 仔 6 % & （ ｋ∈ Ｚ ） . 周期 Ｔ＝ 2仔 棕 ＝ ２仔 ２ ＝仔. 反思感悟 对于 ｙ＝Ａｃｏｓ （ 棕ｘ＋φ ）的单调区间的求 法， 先将 棕ｘ＋φ 看作一个整体， 然后根据三 角函数的单调性， 确定 ｘ 的范围即为所求 单调区间 . 变式训练 5 （ １ ） 函数 ｙ＝３-２ｃｏｓｘ 的单调递增区间为 . （ ２ ） 函数 ｙ＝１＋ｃｏｓｘ ， ｘ∈ ［ -仔 ， ２仔 ］ 的 单调递增区间为 . 要点 3 余弦函数性质的应用 例 ６ 比较下列各数的大小： （ １ ） ｃｏｓ - 仔 18 ! " 与 ｃｏｓ 仔 10 ； （ ２ ） ｃｏｓ （ -８２８° ）与 ｃｏｓ （ -７６５° ） . 解： （ １ ） ｃｏｓ - 仔 18 ! " ＝ｃｏｓ 仔 18 ， ∵０＜ 仔 18 ＜ 仔 10 ＜仔 ， 而 ｙ＝ｃｏｓｘ 在 ［ ０ ， 仔 ］ 上是减函数 ， ∴ｃｏｓ 仔 18 ＞ｃｏｓ 仔 10 ， 即 ｃｏｓ - 仔 18 ! " ＞ｃｏｓ 仔 10 . （ ２ ） ｃｏｓ （ -８２８° ） ＝ｃｏｓ （ -１ ０８０° ＋２５２° ） ＝ ｃｏｓ２５２° ， ｃｏｓ （ -７６５° ） ＝ｃｏｓ （ -１ ０８０°＋３１５° ） ＝ ｃｏｓ３１５° ， ∵１８０°＜２５２°＜３１５°＜３６０° ， 且 ｙ＝ｃｏｓｘ 在 ［ １８０° ， ３６０° ］ 上为增函数 ， ∴ｃｏｓ２５２°＜ ｃｏｓ３１５° ， 即 ｃｏｓ （ -８２８° ） ＜ｃｏｓ （ -７６５° ） . 反思感悟 比较两个三角函数值的大小时， 首先 将函数名称统一， 再利用诱导公式将角转 化到同一个单调区间内， 通过函数的单调 性进行比较 . 变式训练 6 不求值， 比较下列各对余弦值的大小： （ １ ） ｃｏｓ１ １５５° 和 ｃｏｓ （ -１ ５１６° ）； （ ２ ） ｃｏｓ - 2仔 3 ! " 与 ｃｏｓ 3仔 5 ； （ ３ ） ｃｏｓ - 13仔 4 ! " 与 ｃｏｓ - 17仔 5 ! " . 47 高 中 数 学 必 修 第三册 （人教 B 版） 精编版 学 要点 4 作余弦函数的图象 例 ７ 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝Ａｃｏｓ （ ωｘ＋φ ） ＋ｂ Ａ＞０ ， ω＞０ ， ｜φ｜＜ 仔 2 ! " 的大致 图象如图所示， 将函数 ｆ （ ｘ ） 的图象上点的横坐标拉伸为 原来的 ３ 倍后， 再向左平移 仔 2 个单位， 得到函数 ｇ （ ｘ ）的 图象， 则函数 ｇ （ ｘ ）的单调递 增区间为 （ ） Ａ. - 3仔 2 ＋３ｋ仔 ， ３ｋ仔 π $ （ ｋ∈Ｚ ） Ｂ. ３ｋ仔 ， ３ｋ仔＋ 3仔 2 2 $ （ ｋ∈Ｚ ） Ｃ. - 7仔 4 ＋３ｋ仔 ， - 仔 4 ＋３ｋ仔 2 $ （ ｋ∈Ｚ ） Ｄ. - 仔 4 ＋３ｋ仔 ， 5仔 4 ＋３ｋ仔 2 $ （ ｋ∈Ｚ ） 解析： 依题意 Ａ＋ｂ＝１ ， -Ａ＋ｂ＝-３ ３ ， 解得 Ａ＝２ ， ｂ＝-１ ３ ， 故 ｆ （ ｘ ） ＝２ｃｏｓ （ ωｘ＋φ ） -１ ， 而 ｆ 仔 12 ! " ＝１ ， ｆ 仔 3 ! " ＝-１ ， ∴ T 4 = 仔 3 - 仔 12 ＝ 仔 4 ， 故 Ｔ＝仔＝ 2仔 ω ， 则 ω＝ ２ ； ∴２ｃｏｓ 仔 6 ＋φ ! " -１＝１ ， 故 仔 6 ＋φ＝２ｋ仔 （ ｋ∈ Ｚ ） . 又 ｜φ｜＜ 仔 2 ， 故 φ＝- 仔 6 ， ∴ ｆ （ ｘ ） ＝２ｃｏｓ ２x- 仔 6 ! " - １ ； 将函数 ｆ （ ｘ ）的图象上点的横坐标拉伸 为原来的 ３ 倍后 ， 得到 ｙ ＝２ｃｏｓ 2 3 x- 仔 6 ! " -１ ， 再向左平移 仔 2 个单位 ， 得到 ｇ （ ｘ ） ＝ ２ｃｏｓ 2 3 ｘ＋ 仔 3 - 仔 6 ! " -１＝２ｃｏｓ 2 3 x+ 仔 6 ! " -1. 令 -仔＋２ｋ仔≤ 2 3 ｘ＋ 仔 6 ≤２ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ） ， 故 - 7仔 4 ＋３ｋ仔≤ｘ≤- 仔 4 ＋３ｋ仔 （ ｋ∈Ｚ ）， 故函数 ｇ （ ｘ ）的单调递增区间为 - 7仔 ４ ＋ 2 ３ｋ仔 ， - 仔 ４ ＋３ｋ仔 $ （ ｋ∈Ｚ ）， 故选 Ｃ. 变式训练 7 已知函数 ｆ （ ｘ ） ＝Ａ · ｃｏｓ （ ωｘ＋φ ） （ Ａ＞０ ， ω＞ ０ ， ０＜φ＜仔 ） 的部分图象如图所示 . （ １ ） 求 ｆ （ ｘ ）的解析式； （ ２ ） 若 ｘ∈ 16 3 ， 2 $ m ， 函数 ｆ （ ｘ ）的值域 为 - 3 2 ， 2 $ 3 ， 求 ｍ 的取值范围 . 图 7-3-8 图 7-3-9 48 第七章 三角函数 学 数 学 文 化 例 我国著名数学家华罗庚先生曾说： “数缺形时少直观， 形缺数时难入微， 数形 结合百般好， 隔裂分家万事休 . ” 在数学的 学习和研究中， 常用函数的图象研究函数的 性质， 也常用函数的解析式来琢磨函数的图 象 特 征 . 如 函 数 ｙ ＝-２ｃｏｓ ２ ｘ ＋ｃｏｓｘ ＋１ ， ｘ∈ - 仔 2 ， 仔 2 2 # 的图象大致为 （ ） 解析： ∵ｙ＝-２ｃｏｓ ２ ｘ＋ｃｏｓｘ＋１ ， ｘ∈ - 仔 2 ， 仔 2 2 2 是偶函数， 图象关于 ｙ 轴对称， Ａ 、 Ｄ 错误； 又当 ｘ∈ - 仔 2 ， 仔 2 2 2 时 ， ｃｏｓｘ∈ ［ ０ ， １ ］， 所 以 ｙ＝-２ｃｏｓ ２ ｘ＋ｃｏｓｘ＋１＝- （ ２ｃｏｓｘ＋１ ）·（ ｃｏｓｘ-１ ） ≥０ ， Ｃ 错误 . 故选 Ｂ. A B C D 49