7.4 数学建模活动：周期现象的描述 （word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第三册（人教B版2019）

7.4　数学建模活动：周期现象的描述 　(深化课—题型研究式教学) 课时目标 1．了解生活中具有周而复始、循环往复特点的现象． 2．通过构建三角函数模型，尝试解决物理、生活中的简单问题． 题型(一)　三角函数在物理中的应用 [典例1]　已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sin，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题． (1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ [解]　列表如下： t － 2t＋ 0 π 2π sin 0 1 0 －1 0 s 0 4 0 －4 0 描点、连线，图象如图实线部分所示． (1)将t＝0代入s＝4sin，得s＝4sin＝2，所以小球开始振动时的位移是2 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是π s. [方法技巧] 处理物理学问题的策略 (1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． [针对训练] 1.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边，角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是(　 ) A．2， B．， C．，π D．2，π 解析：选B　当t＝0时，θ＝sin＝.由函数解析式易知，单摆周期为＝π，故单摆频率为. 2．已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ωt＋φ). (1)如图是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式； (2)如果t在任意一段 s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？ 解：(1)由题图可知，A＝300，周期T＝2×＝，∴ω＝＝150π. 又当t＝时，I＝0，则sin＝0，即sin＝0.又|φ|<，∴φ＝. 故所求的函数解析式为I＝300sin. (2)依题意，周期T≤，即≤，∴ω≥300π.故ω的最小值为300π. 题型(二)　三角函数在生活中的应用 [典例2]　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系f(t)＝10－2sin，t∈[0,24]． (1)求实验室这一天的最大温差； (2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？ [解]　(1)因为f(t)＝10－2sin，t∈[0,24]， 所以≤t＋≤，－1≤sin≤1. 因为当t＝2时，sin＝1； 当t＝14时，sin＝－1， 所以f(t)在[0,24]上的最大值为12，最小值为8. 故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. (2)依题意，得当f(t)>11时实验室需要降温． 所以10－2sin>11， 即sin<－.又0≤t≤24， 因此，<t＋<，即10<t<18. 故在10时至18时实验室需要降温． [方法技巧]　解三角函数应用问题的基本步骤 [针对训练] 3．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝25sin 160πt＋115，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题： (1)求函数p(t)的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较． 解：(1)T＝＝＝(min)． (2)f＝＝80，即此人每分钟心跳的次数为80. (3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)， p(t)min＝115－25＝90(mmHg)， 即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内． 题型(三)　数据拟合模型的应用 [典例3]　下表所示的是某地2000～2022年的月平均气温(华氏度). 月份 1 2 3 4 5 6 平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12 平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7