第4章 2.3 三角函数的叠加及其应用(强基课—梯度进阶式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

2．3　三角函数的叠加及其应用(强基课—梯度进阶式教学) 1.在两角和与差的正弦、余弦公式的基础上，推导出三角函数叠加公式． 2．能由三角函数的叠加公式化简为Asin(ωx＋φ)形式． 3．利用三角函数的叠加公式研究三角函数的图象与性质问题． 1．三角函数的叠加公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝(a，b不同时为0，φ与点(a，b)同象限)． 2．常见的叠加公式结论 sin x±cos x＝sin； cos x±sin x＝cos； sin x±cos x＝2sin； cos x±sin x＝2cos； sin x±cos x＝2sin； cos x±sin x＝2cos. [基点训练] 1．2sin θ＋2cos θ＝(　 ) A．sin B．2sin C．2sin D.sin 答案：C 2．函数f(x)＝sin x－cos x的最小正周期为(　 ) A．π B．2π C. D．4π 解析：选B　因为f(x)＝sin x－cos x＝2＝2sin，所以f(x)的最小正周期为2π. 3．sin 15°＋sin 75°的值是________． 解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝. 答案： 题型(一)　由三角函数的叠加公式化简为Asin(ωx＋φ)形式 [典例1]　将下列各式化成Asin(ωx＋φ)的形式： (1)sin＋cos； (2)3sin x＋4cos x； (3)－sin x－cos x. [解]　(1)原式 ＝ ＝ ＝cos＝cos ＝sin＝sin. (2)3sin x＋4cos x＝5 ＝5sin(x＋φ)， 其中锐角φ由确定． (3)－sin x－cos x＝－ ＝－sin. [方法技巧] 三角函数的叠加公式的作用 三角函数的叠加公式将asin α＋bcos α化为一个角α＋φ(或α－φ)，一个函数名称sin(α＋φ)(或cos(α－φ))，因此也称为“化一”公式，其作用是研究函数y＝asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或cos(α－φ))的性质，如周期性、单调性、最值等． [针对训练] 1．化简cos x＋sin x＝(　 ) A．2cos B．2cos C．2cos D．2cos 解析：选B　原式＝2 ＝2＝2cos. 题型(二)　由三角函数的叠加公式化简求值 [典例2]　(1)若sin x－cos x＝2，x∈[0,2π)，则x＝________. (2)求值：(tan 10°－)sin 40°. [解析]　(1)∵sin x－cos x＝2 ＝2＝2sin＝2， ∴sin＝1. 又∵x∈，∴x－∈. ∴x－＝，即x＝. [答案]　 (2)(tan 10°－)sin 40°＝sin 40° ＝·sin 40° ＝·sin 40°＝ ＝ ＝＝－1. [方法技巧] 应用叠加公式找角的三个注意点 (1)同一个角：在找角的过程中，一定要找“同一个角”的正、余弦，因为合角的理论基础是两角和与差的正、余弦公式，所以构造的正、余弦要同角． (2)灵活找角：找角可以灵活，不必拘于结论的形式，找角的要求很低，只需同一个角的正、余弦即可，所以可以从不同的角度构造角，从而利用不同的公式进行合角． (3)特殊角：看到特殊值，1，，时，一定要考虑引入特殊角，如果提完系数发现括号里不是特殊角的正、余弦，那么可用抽象的φ来代替，再在旁边标注φ的一个三角函数值． [针对训练] 2．计算下列各式： (1)； (2). 解：(1)原式＝ ＝＝cos 15°＝cos(60°－45°) ＝cos 60°cos 45°＋sin 60°sin 45° ＝×＋×＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝2. 题型(三)　利用三角函数的叠加公式研究三角函数的性质 [典例3]　(1)(多选)已知函数f(x)＝sin x＋cos x＋，则f(x)在下列区间上单调递增的是(　 ) A. B. C. D. (2)已知函数f(x)＝cos 2x－sin 2x＋2，则(　 ) A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3 B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4 C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3 D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4 [解析]　(1)f(x)＝sin x＋cos x＋ ＝sin＋. 令2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z， 可得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z. 当k＝0时，函数f(x)在上单调递增， 又⊆，⊆，所以C、D满足题意； 当k＝1时，函数f(x)在上单调递增，又⊆，所以A满足题意．故选A、C、D. (2)因为f(x)＝cos 2x－sin 2x＋2＝2cos＋2， 所以f(x