第4章 2.2 两角和与差的正弦、正切公式及其应用(强基课—梯度进阶式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

2.2　两角和与差的正弦、正切公式及其应用 (强基课—梯度进阶式教学) 1.能从两角和与差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、正切公式． 2．能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题． (一)两角和与差的正弦公式 名称 简记符号 公式 两角和的正弦 Sα＋β sin(α＋β)＝sin__αcos_β＋cos_αsin_β 两角差的正弦 Sα－β sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β 微点助解 1．两角和与差的正弦公式的结构特征 (1)公式中的角α，β都是任意角． (2)一般情况下，两角和与差的正弦不能按分配律展开，即sin(α±β)≠sin α±sin β. 2．注意公式的逆向运用和变形运用 (1)公式的逆用：如sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β＝sin[(α＋β)－β]＝sin α. (2)公式的变形运用：变形运用涉及两个方面，一个是公式本身的变形运用，如sin(α－β)＋cos αsin β＝sin αcos β；一个是角的变形运用，也称为角的拆分变换，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，这些在某种意义上来说是一种整体思想的体现． [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦公式中，角α，β是任意的．(　 ) (2)sin(α＋β)＝sin α＋sin β一定不成立．(　 ) (3)sin 54°cos 24°－sin 36°cos 66°＝.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．sin(30°＋45°)＝________. 解析：sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝×＋×＝. 答案： (二)两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和的正切 Tα＋β tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)且tan αtan β≠1 两角差的正切 Tα－β tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)且tan αtan β≠－1 微点助解 1．公式Tα±β的结构特征和符号规律 (1)使用条件：在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的． (2)结构特征：公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和． (3)符号规律：分子同，分母反． 2．(1)变形公式 tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)； tan αtan β＝1－. (2)公式的特例 tan＝；tan＝. [基点训练] 1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)＝(　 ) A. B．－ C．3 D．－3 解析：选A　原式＝＝＝. 2.＝________. 解析：原式＝tan(75°－15°)＝tan 60°＝. 答案： 题型(一)　给角求值 [典例1]　求下列各式的值： (1)cos 105°＋sin 195°； (2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°； (3)sin－cos； (4)； (5)tan 15°＋tan 30°＋tan 15°tan 30°. [解]　(1)cos 105°＋sin 195° ＝cos(90°＋15°)＋sin(180°＋15°) ＝－sin 15°－sin 15°＝－2sin 15° ＝－2sin(45°－30°) ＝－2(sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°) ＝－2＝. (2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74° ＝sin 14°cos 16°＋sin(90°－14°)cos(90°－16°) ＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16° ＝sin(14°＋16°)＝sin 30°＝. (3)法一：sin－cos ＝2 ＝2 ＝－2cos＝－2cos ＝－2×＝－. 法二：sin－cos＝2 ＝2＝－2sin ＝－2sin＝－2×＝－. (4)原式＝＝tan(60°＋15°) ＝tan 75°＝tan(30°＋45°)＝ ＝＝2＋. (5)∵tan 45°＝＝1， ∴tan 15°＋tan 30°＝1－tan 15°tan 30°. ∴原式＝(1－tan 15°tan 30°)＋tan 15°tan 30°＝1. [方法技巧] 1．解决给角求值问题的策略 (1)注意分析式子的结构特点，合理选择正、余弦的和差角公式． (2)注意公式逆用过程中诱导公式的应用．