第4章 §1 同角三角函数的基本关系(强基课—梯度进阶式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

第四章 三角恒等变换 §1　同角三角函数的基本关系(强基课—梯度进阶式教学) 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式． 2．理解同角三角函数的基本关系式． 3．能利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明． 同角三角函数的基本关系 平方关系 sin2α＋cos2α＝1 商数关系 tan α＝ 微点助解 (1)注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的．如sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠kπ＋(k∈Z)成立． (2)变形形式 ①1＝sin2α＋cos2α； ②sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α； ③sin α＝±，cos α＝±； ④sin α＝cos αtan α； ⑤(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. [基点训练] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意角α，sin2＋cos2＝1都成立．(　 ) (2)当sin α＝时，cos α＝.(　 ) (3)由于平方关系对任意角都成立，故sin2α＋cos2β＝1也成立．(　 ) (4)当α≠kπ＋，k∈Z时，cos2α＝.(　 ) 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．化简 ＝(　 ) A．cos B．－cos C．sin D．－sin 答案：A 3．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝________. 解析：因为3sin α＋cos α＝0，所以cos α＝－3sin α. 所以tan α＝＝＝－. 答案：－ 4．已知cos α－sin α＝－，则sin αcos α的值为________． 答案： 题型(一)　利用同角三角函数的基本关系求值 [典例1]　(1)已知sin α＝，α∈，则tan α＝(　 ) A. B．－ C. D．－ (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. [解析]　(1)因为sin α＝，α∈，则cos α＝－＝－，所以tan α＝＝－.故选B. (2)由且θ∈， 解得故sin θ－cos θ＝－. [答案]　(1)B　(2)－ [方法技巧] 利用同角三角函数的基本关系求值的类型及解题策略 (1)已知三角函数值及角的终边所在象限：可直接利用同角三角函数的基本关系求值． (2)已知三角函数值，而角的终边所在象限未知：需要对角的终边所在的象限进行分类讨论，再求值． (3)所给三角函数值含字母，且角的终边所在的象限未知：需要对字母取值的符号进行讨论，进而确定角的终边可能在的象限，再讨论求值． [针对训练] 1．已知x∈，tan x＝－，则cos等于(　 ) A. B．－ C．－ D. 解析：选C　∵tan x＝＝－，∴cos x＝－sin x．由sin2x＋cos2x＝sin2x＋sin2x＝sin2x＝1，得sin2x＝.又x∈，∴sin x＝.∴cos＝cos＝－sin x＝－. 2．设cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　 ) A. B．－ C. D．－ 解析：选B　∵cos(－80°)＝cos 80°＝k，∴sin 80°＝＝，∴tan 100°＝－tan 80°＝－.故选B. 题型(二)　齐次式的求值问题 [典例2]　已知tan α＝2. (1)求的值； (2)求2sin2α－sin αcos α＋cos2α的值． [解]　(1)法一(代入法)：∵tan α＝2， ∴＝2.∴sin α＝2cos α. ∴＝＝－. 法二(弦化切)：∵tan α＝2，∴ ＝＝＝＝－. (2)2sin2α－sin αcos α＋cos2α ＝ ＝ ＝＝. [方法技巧] 已知tan α的值，求关于sin α，cos α齐次式的值的方法 (1)对只含有sin α，cos α的齐次式，可根据同角三角函数的商数关系，通过除以某一齐次项，转化为只含有正切的式子，即化弦为切，整体代入． (2)对于形如或的分式，分子、分母同时除以cos α，cos2α，将正、余弦转化为正切，从而求值． (3)对于形如asin2α＋bsin αcos α＋ccos2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin2α＋cos2α，转化为形如的式子求值． [针对训练] 3．已知tan θ＝2，则sin θsin＝(　 ) A. B. C．－ D．－ 解析：选D　sin θsin＝－sin θcos θ＝－＝－＝－.故选D. 4．已知方程sin2α＋2sin αcos α－2sin α－4cos α＝0，则cos2α－sin αcos α＝(　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：选B　因为方程sin2α＋2sin αcos α－