第1章 4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质(概念课—逐点理清式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 　　　　　　　　(概念课—逐点理清式教学) 1.借助单位圆，了解正(余)弦函数的定义域、周期性、单调性、最值． 2．能求正弦函数、余弦函数的单调区间、最小正周期、最值等，了解正(余)弦函数值的符号． 逐点清(一)　正弦函数、余弦函数的定义域、最值及值域 [多维度理解] 1．定义域 正弦函数、余弦函数的定义域均是R. 2．最大(小)值和值域 (1)当α＝2kπ＋，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最大值1；当α＝2kπ－，k∈Z时，正弦函数v＝sin α取得最小值－1； (2)当α＝2kπ，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最大值1；当α＝(2k＋1)π，k∈Z时，余弦函数u＝cos α取得最小值－1. 3．正弦函数、余弦函数的值域均为[－1,1]． [细微点练明] 1．(多选)函数y＝的函数值可以取的值是(　 ) A．－ B．－1 C．1 D．2 解析：选BCD　∵－1≤sin α≤1，∴≤－1或≥1， 即函数y＝的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故选B、C、D. 2．函数f(x)＝的定义域为(　 ) A. B.，k∈Z C.，k∈Z D．R 解析：选C　由题得sin x≥，∴＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z. 3．函数y＝2－sin α取得最大值时α的值为________． 解析：因为y＝2－sin α，所以当sin α＝－1时， ymax＝3，此时α＝2kπ－(k∈Z)． 答案：2kπ－(k∈Z) 4．函数y＝的定义域为________． 解析：由2＋cos α≠0知cos α≠－2，又由cos α∈[－1,1]，故定义域为R. 答案：R 逐点清(二)　正弦函数、余弦函数的周期性 [多维度理解] 对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值、余弦函数值均不变，即对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝sin_α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，α∈R，所以正弦函数v＝sin α和余弦函数u＝cos α均是周期函数．对任何k∈Z且k≠0，2kπ均是它们的周期，最小正周期为2π. 微点助解 正弦函数值和余弦函数值都具有周期性，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，这说明了角与正弦函数值和余弦函数值的对应关系是多角对一值的关系，即如果给定一个角，它的正弦函数值和余弦函数值只要存在就是唯一的；反过来，如果给定一个正弦函数值和余弦函数值，却有无穷多个角与之对应． [细微点练明] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对正弦函数f(x)＝sin x有f＝f，所以是函数f(x)的周期．(　 ) (2)若f(x)是定义域为R且周期为2的函数，则f(－1)＝f(1)．(　 ) 答案：(1)×　(2)√ 2．sin 390°的值为(　 ) A. B. C. D．－ 解析：选C　sin 390°＝sin(360°＋30°)＝sin 30°＝. 3．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于(　 ) A．1 B. C．0 D．－ 解析：选B　由题意得f＝f＝f＝sin＝. 4．计算：sin＝________，cos＝________. 解析：sin＝sin＝， cos＝cos＝cos＝. 答案：　 逐点清(三)　正弦函数、余弦函数的单调性 [多维度理解] 1．正弦函数的单调性 正弦函数v＝sin α在区间(k∈Z)上单调递增，在区间(k∈Z)上单调递减． 2．余弦函数的单调性 余弦函数u＝cos α在区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，在区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减． 微点助解 对于形如y＝asin α＋b(y＝acos α＋b)的函数性质的研究可借助正弦函数v＝sin α(余弦函数u＝cos α)的性质．要清楚a，b对函数y＝asin α＋b的影响，若参数不确定还要注意分类讨论． [细微点练明] 1．函数v＝sin α和u＝cos α都是减函数的区间是(　 ) A.(k∈Z)　 B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：选A　由v＝sin α是减函数得2kπ＋≤α≤2kπ＋(k∈Z)，由u＝cos α是减函数得2kπ≤α≤2kπ＋π(k∈Z)，所以2kπ＋≤α≤2kπ＋π(k∈Z)，故选A. 2．下列关于函数y＝4sin α，α∈[－π，π]的单调性的叙述正确的是(　 ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在上是增函数，在和上是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在上是增函数，在上是减函数 解析：选B　因为函数y＝4sin α的单调递增区间是，k∈Z， 令k＝0，得∩[－π，π]＝， 所以函数在上是增函数．