第1章 §2 任意角(概念课—逐点理清式教学)（word教参）-【新课程学案】新教材2023-2024学年高中数学必修第二册（北师大版2019）

§2　任意角(概念课—逐点理清式教学) 课时目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角． 2．理解并掌握终边相同角的概念，能写出终边相同角组成的集合． 3．掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角． 逐点清(一)　角的概念推广 [多维度理解] 1．角的概念 平面内一条射线OA绕着它的端点O按箭头所示方向旋转到终止位置OB，形成角α.其中点O是角α的顶点，射线OA是角α的始边，射线OB是角α的终边． 2．角的分类 类型 定义 图示 正角 按逆时针方向旋转形成的角 负角 按顺时针方向旋转形成的角 零角 一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 3．角的加法 (1)若两角α，β的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α＝β. (2)设α，β是任意两个角，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α＋β. (3)把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角，角α的相反角记为－α，α－β＝α＋(－β)． [细微点练明] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)小于90°的角都是锐角．(　 ) (2)终边与始边重合的角为零角．(　 ) (3)大于90°的角都是钝角．(　 ) (4)将时钟拨快20分钟，则分针转过的角度是120°.(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.如图是清代的时辰醒钟，此醒钟直径12.5厘米，厚7.5厘米，由清朝宫廷钟表处制造，以中国传统的一日十二个时辰为表盘显示，其内部结构与普通机械钟表的内部结构相似．则丑时与午时的夹角是(　 ) A．120° B．135° C．150° D．165° 解析：选C　一日十二个时辰，则一个时辰所对应的圆心角为＝30°，丑时与午时相差5个时辰，故丑时与午时的夹角为30°×5＝150°. 3.如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________. 解析：因为∠AOC＝60°＋(－820°)＝－760°，所以β＝－(760°－720°)＝－40°. 答案：－40° 4．若将时钟拨慢20 min，则分针转过的角是________；若时钟从6时走到9时，则时针转过的角是________． 解析：由题意，知时钟拨慢20分钟，即逆时针转动×360°＝120°，故分针转过的角是120°.时针从6时走到9时，是顺时针走动的，故时针转过的角是－×360°＝－90°. 答案：120°　－90° 逐点清(二)　终边相同的角 [多维度理解] 1．象限角 在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，始边在x轴的非负半轴．角的终边(除端点外)在平面直角坐标系的第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，这个角就不属于任何象限． 微点助解 象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 2．终边相同的角 一般地，给定一个角α，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和． 微点助解 (1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略． k有三层含义：①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角．②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)．③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动． (2)k·360°与α中间要用“＋”连接，k·360°－α可理解成k·360°＋(－α)． (3)终边相同的角的相关结论 ①终边相同的角之间相差360°的整数倍． ②终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． ③终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． [细微点练明] 1．下列选项中，与角α＝－30°终边相同的角是(　 ) A．30° B．240° C．300° D．330° 解析：选D　与角α＝－30°终边相同的角表示为θ＝－30°＋360°·k，k∈Z，当k＝1时，θ＝330°，故330°与角α＝－30°终边相同． 2．800°是以下哪个象限的角(　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A　因为800°＝2×360°＋80°，所以800°与80°的终边相同．而80°是第一象限的角，所以800°是第一