第1章 阶段提升(一) 正弦函数、余弦函数及其诱导公式(范围：§1～§4)（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦正弦函数、余弦函数及其诱导公式核心知识点，系统梳理任意角与弧度制的终边关系、扇形相关计算，衔接正弦余弦函数的单调性、最值等性质，再到诱导公式的转化应用，构建递进式知识支架。 资料通过扇环面积计算等生活实例培养数学眼光，含参数三角函数最值问题的分类讨论发展数学思维，步骤化解析助学生用数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后帮助学生巩固易错点，有效查漏补缺。

阶段提升(一)　正弦函数、余弦函数及其诱导公式 (范围：§1～§4) 题型一　任意角与弧度制 1．已知α与210°角的终边关于x轴对称，则是(　　) A.第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 解析：选B.由α与210°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－210°，k∈Z，所以＝k·180°－105°，k∈Z，取k＝0，1可确定是第一或第三象限角． 2．如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是(　　) A．{α|＋2kπ≤α≤(2k＋1)π，k∈Z} B． C． D． 解析：选B.由题图得终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是. 3．与－660°角终边相同的最小正角是________；最大负角是________． 解析：因为与－660°角终边相同的角是－660°＋k·360°(k∈Z)， 所以当k＝2时，与－660°角终边相同的最小正角是60°. 当k＝1时，与－660°角终边相同的最大负角是－300°. 答案：60°　－300° 4.中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面大致为如图所示的扇环，记的长为l1 cm，的长为l2＝12 cm，若l1∶l2＝3∶1，AD＝8 cm，则扇环的面积为__________cm2. 解析： 由题意得，l1＝36 cm，如图，设扇环所在圆的圆心为O，OD＝r，∠AOB的弧度数为α， 则解得 则扇环的面积S＝×36×(8＋4)－×12×4＝192(cm2). 答案：192 关于任意角与弧度制 (1)与α终边相同的角都可以用α＋k·360°(k∈Z)或α＋2kπ(k∈Z)的形式表示； (2)表示区域角时按逆时针方向找到区域的起始边界和终止边界，加上180°或360°的整数倍； (3)确定与nα终边所在象限的方法是用不等式表示出所求角的范围，然后根据k的范围分类讨论； (4)解决扇形的面积或周长等最值问题的关键是运用函数与方程或不等式思想． 题型二　正弦函数、余弦函数的性质 1．(多选)下列不等式中成立的是(　　) A．sin (－)＞sin (－) B．cos 400°＞cos (－50°) C．sin 3＜sin 4 D．sin ＞cos 解析：选BD.y＝sin x在上单调递增，又－＜－＜－＜0， 所以sin (－)＜sin (－)，故A不成立； y＝cos x在0°<x<90°上单调递减，又40°<50°，所以cos 400°＝cos 40°＞cos 50°＝cos (－50°)，故B成立； y＝sin x在(，)上单调递减，又＜3＜4＜，所以sin 3＞sin 4，故C不成立； sin ＝－sin ， cos ＝－cos ＝－sin (－)＝－sin . 因为0＜＜＜，且y＝sin x在上单调递增，所以sin ＜sin ，所以－sin >－sin ， 即sin ＞cos ，故D成立． 2．已知函数y＝a cos x＋b的最大值是0，最小值是－4，则a＋b的值为____________． 解析：当a>0时， 解得 当a<0时，解得 所以a＋b＝0或a＋b＝－4. 答案：0或－4 3．已知函数y＝f(x)＝－sin2x＋2a sinx－2，a∈R. (1)求函数f(x)的最大值g(a)； (2)求函数g(a)的最小值． 解：(1)依题意，令t＝sin x，则函数为h(t)＝－t2＋2at－2，t∈[－1，1]，当对称轴t＝a≤－1时， 函数h(t)在[－1，1]上单调递减，所以最大值在t＝－1处取到，h(t)max＝－3－2a； 当对称轴t＝a∈(－1，1)时， 函数h(t)在[－1，a]上单调递增，在[a，1]上单调递减，所以最大值在t＝a处取到，h(t)max＝a2－2； 当对称轴t＝a≥1时， 函数h(t)在[－1，1]上单调递增，所以最大值在t＝1处取到，h(t)max＝－3＋2a. 综上，g(a)＝ (2) 作出y＝g(a)的大致图象，如图所示， 当a≤－1时，函数g(a)＝－3－2a单调递减，最小值g(－1)＝－1； 当－1＜a＜1时，函数g(a)＝a2－2在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， 所以g(a)最小值g(0)＝－2； 当a≥1时，函数g(a)＝－3＋2a单调递增，最小值g(1)＝－1. 综上所述，函数g(a)的最小值为－2. 正弦、余弦函数最值(值域)问题的求解方法 (1)y＝a sin x(或y＝a cos x)型，可利用正弦函数、余弦函数的有界性，注意对a的正负进行讨论． (2)y＝a sin2x＋b sinx＋c(a≠0)型，可利用换元思想，设t＝sin x，转化为二次函数求最值(值域).t的范围需要根据定义域来确定． 题型三　正弦函数、余弦函数的诱导公式 1．已知sin (θ＋)＝，则cos (θ－)＝(　　) A． B．－ C． D．－ 解析：选A.cos (θ－)＝cos (θ＋－)＝sin (θ＋)＝. 2．(多选)已知角α的终边与单位圆相交于点P，则(　　) A．cos α＝ B．sin ＝ C．sin (α＋π)＝ D．cos ＝ 解析：选AC.根据三角函数的定义得，cos α＝，sin α＝－，故A正确；sin ＝cos α＝，故B错误；sin (α＋π)＝－sin α＝，故C正确；cos ＝sin α＝－，故D错误． 3．已知sin (＋α)＝，则cos (π－α)的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 解析：选C.因为sin (＋α) ＝sin (1 012π＋＋α)＝sin (＋α) ＝cos α＝， 所以cos (π－α)＝－cos α＝－. 4．已知sin (α－3π)＝2cos (α－4π)，则＝________． 解析：因为sin (α－3π)＝2cos (α－4π)， 所以－sin (3π－α)＝2cos (4π－α)， 所以－sin (π－α)＝2cos (－α)， 所以sin α＝－2cos α且cos α≠0， 所以原式＝＝ ＝＝－. 答案：－ 诱导公式的应用 (1)应用口诀：奇变偶不变，符号看象限； (2)基本步骤：负化正，大化小，小化锐，锐求值； (3)化角技巧：观察已知角与所求角的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $