2024年中考数学难题突破：圆

2024年中考数学难题突破：圆 1．已知等腰，，且，连接交于点E，以为直径的上有一点F，使得，连接交于点G，若． (1)判断与的关系，并说明理由； (2)若，求的值． 2．在中，．以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，． (1)如图①，连接，若，求的大小； (2)如图②，若点为的中点，，求的大小． 3．如图，是的直径，弦与交于点E，且点E为的中点．点F在弧上，过点F作的切线交的延长线于点G，交的延长线于点P，与交于点H． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 4．如图，是的直径，C，D是上两点，是的中点，过点C作的垂线 (1)求证：是的切线； (2)若，求的值． 5．如图1，抛物线（为常数，）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D是线段上的一个动点，连接并延长与过O，A，B三点的相交于点C，过点C作的切线交x轴于点E． (1)①求点的坐标； ②求证：； (2)如图2，连接，，，，当，时， ①求证：； ②求的值． 6．如图，是的直径，弦于点，且交于点，是延长线上一点，若． (1)求证：是的一条切线； (2)若，连接，请问是一个定值吗？若是定值，请求出这个定值，并对结论加以证明； (3)在（2）的条件下，求的长． 7．如图，圆O为的外接圆，延长线与交于点D，，点F在上，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连结，求证：； (3)如图3，连结并延长分别交，于G，H两点，若，，求． 8．内接于，点是的内心，连接并延长交于点，连接，已知， (1)连接，，则______（用含有的代数式表示） (2)求证：； (3)连接，若，求的最小值 (4)若，为等腰三角形，直接写出的值． 9．如图，半圆中，直径，点为弧的中点，点在弧上，连结并延长交的延长线于点，连结交于点，连结． (1)求证：． (2)若点为中点，求的长． (3)①面积与面积的差是定值吗？如果是，请求出该定值；若不是，请说明理由； ②若，求的长． 10．【结论理解】“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． (1)【问题探究】如图1，在矩形中，点E为上一点，将沿翻折，点C的对应点F恰好落在边上，做经过F、E、C三点的圆，请根据以上结论判断点B点______（填“在”或“不在”）该圆上； (2)如图2，四边形是的内接四边形，， ，，求四边形的面积． (3)【问题解决】如图3，四边形是某公园的一块空地，现计划在空地中修建与两条小路，（小路宽度不计），将这块空地分成四部分，记两条小路的交点为P，其中与空地中种植草坪，与空地中分别种植郁金香和牡丹花．已知，且点C到的距离是，求种植牡丹花的地块的面积比种植郁金香的地块的面积多多少？ 11．如图，在矩形中，，，点A在直线l上，与直线l相交所成的锐角为60°，点P在直线上，过点作垂足为点E，且与点P重合，，以为直径，在的左侧作半圆O，点M是半圆O上任意一点． (1)连接，求线段的最大值； (2)矩形保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点F落在边上时，求半圆O与矩形重合部分的面积S； (3)在平移过程中，当半圆O与矩形的边相切时，求平移的距离．（参考数据：，结果保留根号） 12．如图，已知四边形内接于，是的中点，于，与及的延长线分别交于点、，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)如果，，求的值． 13．已知为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为，交于点． (1)如图①，求证：平分； (2)如图②，过作交于点，连接，若，，求和半径的长． 14．如图，顶点在轴上的抛物线与直线相交于，两点，且点在轴上，点的横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接．判断点是否在以为直径的圆上，并说明理由； (3)以点为圆心，为半径画，与相切于点．求直线的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，先由三角形内角和定理和对顶角相等证明，再根据等边对等角证明，即可得到结论； （2）如图所示，连接交于H，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，再证明四点共圆，得到，进而证明，则由角平分线的性质得到，再证明，推出，则，即可求出，利用勾股定理求出，再由，是的直径，得到，，则；证明，即可得到． 【详解】（1）解：与相切，理由如下： 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴与相切； （2）解：如图所示，连接交于H，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，是的直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题