2024年中考数学难题突破：三角形与四边形

2024年中考数学难题突破：三角形与四边形 1．已知，中，，，点D为边上一动点，以为边在的右侧作等边． (1)如图1，若，平分，求的长； (2)如图2，点F是的中点，的延长线交于点G，求证：； (3)若D为直线上一动点，在（2）的条件下，连接，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 2．综合与探究      【解决问题】 （1）如图1，和都是等边三角形（），将绕着点顺时针旋转，连接、． ①如图2，当点在的延长线上时，_________； ②如图3，当点恰好在边上时，_________； ③如图4，当点在的延长线上时，求证：． 【拓展应用】 （2）如图5，在等边中，是外一点，连接、、，若，，，求的面积． 3．如图，在矩形中，，，，垂足为E．F是点E关于的对称点，连接，． (1)求证：； (2)求的长； (3)将一个与完全重合的透明三角板沿射线方向平移． ①设点在上移动的距离是m，当点分别落在线段，上时，求相应的m的值； ②当点落在上时，立刻将绕点顺时针旋转．点H在上，且，若平移的速度为每秒1个单位长度，绕点旋转的速度为每秒，在整个运动过程中，求点在区域（含边界）内的时长． 4．在中，点E在边上，将沿翻折，使点A落在处，且，连接交于点F． (1)若，．（） ①如图1，当时，________，线段与边的数量关系是________； ②如图2，当为任意角度数时，上述结论是否依然成立，请说明理由． (2)如图3，若，，猜想的度数及线段与边的数量关系，直接写出结果． 5．（1）发现：如图所示，在正方形 中，点 ，分别是 ，上的两点，连接 ，，．求 值； （2）探究：如图，在矩形 中，为 边上一点，且 ，． 将 沿 翻折到 处，延长 交 边于 点，延长 交 边于点 ，且 ，求 长； （3）拓展：如图，在菱形 中，，为 边上的一点且 ，，沿 翻折得到 ，与 交于 且 ，直线 交直线于点 ，求 的长．    6．如图，与中，，，，，，连接、．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，若，平分，求证：； (3)如图3，与的延长线交于点，若，延长与交于点，在上有一点，且，连接，请猜想、、之间的数量关系并证明你的猜想． 7．【阅读材料】 “截长法”是几何题中一种辅助线的添加方法，是指在长线段中截取一段等于已知线段，常用于解答线段间的数量关系，当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长法”构造全等三角形来进行解题．    【问题解决】 （1）如图①，在中，为的角平分线，在上截取，连接．请直接写出线段之间的数量关系； 【拓展延伸】 （2）如图②，在中，为的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由； （3）如图③，在中，为的补角的角平分线．请判断线段之间的数量关系并说明理由． 8．如图1，，以B点为直角顶点在第二象限作等腰直角．         图1               图2 (1)求C点的坐标； (2)在y轴右侧的平面内是否存在一点P，使与全等？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，点E为y轴正半轴上一动点，以E为直角顶点作等腰直角，过M作轴于N，求出的值． 9．是一个很有趣的比．如图1，在中，，，在上截取点，使，则，我们称点为的“趣点”． (1)若点为的“趣点”，连接， ①求证：； ②在上方构造，使，设交于点．试探究：点是否为的“趣点”？说明理由． (2)把①中的点移动到与点重合，②中条件不变，请在备用图中画出图形，若，求的值． 10．如图，在中，为对角线的中点，，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿折线向终点匀速运动，连结并延长交折线于点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连结，设点的运动时间为（s）．    (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上运动时，求证：． (3)当点在内部时，求的取值范围． (4)当与的重叠部分图形是轴对称的三角形时，直接写出的值． 11．如图，在矩形中，，以点为旋转中心，将矩形沿顺时针方向旋转，得到矩形，点的对应点分别是点． (1)如图①，当点落在矩形的对角线上时，求线段的长； (2)如图②，当点落在矩形的对角线的延长线上时，求的面积； (3)如图③，将矩形旋转一定角度后，连接交于点，连接，直接写出的值． 12．在中，，，以为边在三角形外部作正方形． (1)如图1，在正方形内部作，若，，则正方形的面积为________； (2)如图2，在正方形内部作正方形、正方形，，，、、分别表示四边形、四边形、四边形的面积； ①探究、、之间的数量关系，并证明你的结论； ②若，点恰好在线段上，求的值． 13．综合与实践课上，老师让同学们以“矩形与垂直”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图1，正方形纸片，在边上任意取一点，连接，过点作于点，与边交于点．根据以上操作，请直接写