2024年中考数学二轮复习——圆中的九大模型 同步练

圆中的九大模型 训练题 一．中点弧（过弧或弦中点作半径的垂线） 1．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的中点，弦CE⊥AB于点H，连接AD，分别交CE、BC于点P、Q，连接BD （1）求证：∠ACH＝∠CBD； （2）求证：P是线段AQ的中点； （3）若⊙O的半径为5，BH＝8，求CE的长． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD．过点D作DE⊥AB于点E．连接AC交DE于点F．若AE＝4，BE＝16，则DF的长为（　　） A．4 B．4.8 C．5 D．6 二．切割互垂 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是AB上的一点，以AD为直径的圆O与BC相切于点E，连接AE，DE．求证：AE平分∠BAC． 4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB上一点，以AE为直径作⊙O与BC相切于点D，连接ED并延长交AC的延长线于点F． （1）求证：AE＝AF； （2）若BE＝5，AC＝12，求CF的长． 三．双切模型 5．已知，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O与BC相交于点E，在AC上取一点D，使得DE＝AD． （1）求证：DE是⊙O的切线． （2）当BC＝5，AD＝2时，求⊙O的半径． 6．如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，BC＝9，．求BE的长． 四．圆配旋转 7．如图，点P为等边△ABC外接圆，劣弧为BC上的一点． （1）求∠BPC的度数； （2）求证：PA＝PB+PC． 8．如图所示，⊙O的直径AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D， （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）求CD的长． 五．三切问题 9．如图，AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，E为⊙O上一点，过点E作直线DC分别交AM，BN于点D，C，且BC＝CE． （1）求证：DA＝DE； （2）若AB＝6，∠BCD＝60°，求图中阴影部分的面积． 10．已知：如图，AB是圆O的直径，CD切圆于点E，CA、DB都是圆O的切线，AD、BC相交于点P，EP的延长线交AB于点F． （1）求证：EF⊥AB． （2）求证：PE＝PF． 六．圆外一点作垂线（半径的垂线） 11．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA＝5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． （1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； （2）若PC＝2，求⊙O的半径； （3）若在⊙O上存在唯一点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径． 12．如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的⊙O的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P．求证：CP＝CB． 七．圆配等腰 13．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC于E，连接AD，求证：DE是⊙O的切线． 14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E． （1）求证：DC＝BD； （2）求证：DE为⊙O的切线； （3）若DE的长为，∠BAC＝60°，求⊙O的半径． 八．圆配角平分线（垂直+全等） 15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF； （3）若CD＝1，EF，求AF长． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF； （3）已知：CD＝1，EH＝3，求AF的长． 九．内心问题 17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC． （1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数； （2）求证：∠1＝∠2． 18．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，交BC于F． （1）若∠ABC＝40°，∠C＝80°，求∠CBD的度数； （2）求证：DB＝DE； （3）若AB＝6，AC＝4，BC＝5，求DE的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$