2024年中考数学二轮复习——圆的综合题 讲义

2024中考数学二轮复习——圆的综合题 例1．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E． （1）若∠B＝70°，求∠CAD的度数；（2）若AB＝4，AC＝3，求DE的长． 解：（1）∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°， 又∵OD∥BC， ∴∠AEO＝90°，即OE⊥AC， ∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣70°＝20°，∠AOD＝∠B＝70°． ∵OA＝OD， ∴∠DAO＝∠ADO55° ∴∠CAD＝∠DAO﹣∠CAB＝55°﹣20°＝35°； （2）在直角△ABC中，BC． ∵OE⊥AC， ∴AE＝EC， 又∵OA＝OB， ∴OEBC． 又∵ODAB＝2， ∴DE＝OD﹣OE＝2． 例2．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作DF∥BC，交⊙O于点F． 求证：（1）四边形DBCF是平行四边形；（2）AF＝EF． 证明：（1）∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠B， ∵DF∥BC， ∴∠ADF＝∠B， ∵∠BAC＝∠CFD， ∴∠ADF＝∠CFD， ∴BD∥CF， ∵DF∥BC， ∴四边形DBCF是平行四边形； （2）连接AE， ∵∠ADF＝∠B，∠ADF＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠B， ∵四边形AECF是⊙O的内接四边形， ∴∠ECF+∠EAF＝180°， ∵BD∥CF， ∴∠ECF+∠B＝180°， ∴∠EAF＝∠B， ∴∠AEF＝∠EAF， ∴AF＝EF． 例3．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝40°，∠APD＝65° （1）求∠B的大小；（2）已知AD＝6，求圆心O到BD的距离． 解：（1）∵∠APD＝∠C+∠CAB， ∴∠C＝65°﹣40°＝25°， ∴∠B＝∠C＝25°； （2）作OE⊥BD于E， 则DE＝BE， 又∵AO＝BO， ∴OEAD， ∴圆心O到BD的距离为3． 例4．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M． （1）求证：AM•MB＝CM•MD； （2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值． 解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B， ∴△ADM∽△CBM ∴， 即AM•MB＝CM•MD． （2）连接OM、OC． ∵M为CD中点， ∴OM⊥CD 在Rt△OMC中， ∵OC＝3，OM＝2 ∴CM＝DM， 由（1）知AM•MB＝CM•MD． ∴AM•MB•5． 例5．如图，⊙O中，弦CD与直径AB交于点H． （1）当∠B+∠D＝90°时，求证：H是CD的中点； （2）若H为CD的中点，且CD＝2，BD，求AB的长． （1）证明：∵∠B+∠D＝90°， ∴∠BHD＝180°﹣90°＝90°， 即AB⊥CD， ∵AB过O， ∴CH＝DH， 即H是CD的中点； （2）解：连接OD， ∵H为CD的中点，CD＝2，AB过O， ∴DH＝CHCD，AB⊥CD， ∴∠BHD＝90°， 由勾股定理得：BH1， 设⊙O的半径为R，则AB＝2R，OB＝OD＝R， 在Rt△OHD中，由勾股定理得：OH2+DH2＝OD2， 即（R﹣1）2+（）2＝R2， 解得：R， ∴AB＝23． 平行练习 1．如图，AB，AC是内接于⊙O的两条弦，M、N分别为，的中点，MN分别交AB，AC于E，F．判断三角形AEF的形状并给予证明． 2．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°．若点P为上，求∠P的度数． 3．如图，在⊙O中，点P为的中点，弦AD、PC互相垂直，垂足为M，BC分别与AD、PD相交于点E、N，连接BD、MN． （1）求证：N为BE的中点． （2）若⊙O的半径为8，的度数为90°，求线段MN的长． 4．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长； （2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 5．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F， （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，以AB为直径的⊙O交BC于点F，连接OC，过点B作BD∥OC交⊙O于点D．连接AD交OC于点E （1）求证：BD＝AE． （2）若OE＝1，求DF的值． 7．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD． （1）判断△BDE的形状，并证明你的结论； （2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$