2024年九年级数学中考专题训练：垂径定理

2024年九年级数学中考专题训练：垂径定理 一、单选题 1．如图，⊙O的半径为5，弦，P是弦上的一个动点，则的长可能是（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，圆弧形桥拱的跨度为米，拱桥所在圆的半径为米，则拱高为（    ） A．2米 B．4米 C．8米 D．10米 3．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，C为弦中点，点D是弧的中点，cm，杯内水面宽cm，则圆的半径的长是（    ）    A．6cm B．5cm C．4cm D． 4．如图，是圆的弦，直径，垂足为，若，，则的长为（    ） A． B．9 C． D． 5．如图，是的外接圆，，连接．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．如图，的半径是，，那么圆心到弦的距离是（    ）． A．2 B．4 C．6 D．8 7．如图是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于点．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，半径，，点在弦上，，连接，过点作交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知的直径，弦，，那么圆心O到的距离是 ． 10．如图，是的直径，弦，垂足为E，连接，若，则弦的长为 ． 11．如图，是的直径，切于点于点，交于点．若，则 ． 12．如图，是的弦，半径，，则弦的长是 ．    13．如图，在中，直径长为4，弦于点G，且，点E为上一点，连，过点C作于点F，若，则的长为 ． 14．如图，在圆中，弦，点在圆上(与，不重合），连接、，过点分别作，，垂足分别是点、．若点到的距离为3，则圆的半径为 ．      15．如图．的直径垂直于弦，垂足是E，，， 的长为 ． 16．如图，⊙O是的外接圆，，是的中点，连接并延长交⊙O于点，连接，则的度数为 ． 三、解答题 17．如图，为半圆的直径，为半圆上一点，为弧的中点，交弦于点，若，求：    (1)的长． (2)阴影部分的面积． 18．如图，为的直径，为弦，于点E，连接并延长交于点F，连接交于点G，，连接．    (1)求证：； (2)若，求和的长． 19．如图，在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于两点，若． (1)求的长； (2)若大圆半径为，求小圆的半径． 20．如图，是的直径，是的中点，弦于点，过点作交的延长线于点． (1)连接，求； (2)点F在上，，交于点．若，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题考查圆的概念辨析，垂径定理，根据点的位置，为半径时，最长，时，最短，求出的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：当点与点或点重合时，为半径，长度最长为5； 当时，由垂线段最短，可知此时最短， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长可能是； 故选C． 2．C 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理的运用，根据题意，，，在中运用勾股定理可求出的值，由即可求解，掌握垂径定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， ∴，且， 设，则， 在中，， ∴，解得，，负值舍去， ∴， 故选：C． 3．B 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：连接并延长，交圆于点，，，    ∵，C为弦中点， ∴，， ∴平分， ∵为的中点， ∴点重合， ∴三点共线， 设圆的半径为，则：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故选B． 4．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，垂径定理，熟练掌握和运用垂径定理是解决本题的关键．连接，首先根据题意可求得，根据勾股定理即可求得的长，再根据垂径定理即可求得的长． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴． 故选：C 5．B 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，垂径定理的应用，圆的内接四边形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；如图，连接，，求解，证明，再利用圆的内接四边形可得答案． 【详解】解：如图，连接，，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 6．B 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，作出弦心距，结合直角三角形的性质即可得出答案，熟练掌握垂径定理和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作 则由垂径定理得 又∵, 故选：． 7．B 【分析】本题考查的是垂径定理，勾股定理及弧长的计算公式，先根据垂径定理求出的长，由题意得，在中利用勾股定理即可求出的值，然后再利用三角比计算出所对的圆心角的度数． 【详解】解： ， ， 在 中, ， ， ， 解得:， ， ， ， 的长 故选: B． 8．B 【分析】本题考查了垂径定理，三角函数，勾