2024年九年级中考数学二轮复习——二次函数的面积问题 讲义

2024中考数学二轮复习——二次函数的面积问题 例1．已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，顶点C在y轴的负半轴上，OA＝OC＝2．点M是抛物线上介于B，C之间的一个动点（不与B，C重合），直线AM与y轴交于点D，直线BM与y轴交于点E． （1）求抛物线的解析式； （2）探究：△ABM与△DEM的面积的和是否为定值，说明理由． 解：（1）由题意得，点A、C的坐标分别为：（﹣2，0）、（0，﹣2）， 设抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2， 将点A的坐标代入上式得：0＝4a﹣2， 解得：a， 则抛物线的表达式为：yx2﹣2； （2）是定值4，理由： 设点M（m，m2﹣2）， 由点B、M的坐标得，直线BM的表达式为：y（m+2）（x﹣2）， 则点E（0，﹣m﹣2）， 同理可得，点D（0，m﹣2）， 则DE＝m﹣2+m+2＝2m， 则△ABM与△DEM的面积的和DE×xMAB×（﹣yM）2m×m4×（m2﹣2）＝4，为定值． 例2．如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+4（b为常数）与x轴交于A，B两点，若（x1，y1），（x2，y2）是抛物线上不同的两点，当x1+x2＝0时，总有y1＝y2． （1）求b的值及点A的坐标； （2）点M，N的横坐标分别为m、n（m≠n，m﹣n≠4），且点M，N均在抛物线上，已知直线AM、BN相交于点H．当直线MN经过点O时，判断△ABH的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 解：（1）当x1+x2＝0时，总有y1＝y2， 则函数的对称轴为x＝0，即b＝0， 则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+4， 令y＝0，则x＝±2，即点A（﹣2，0）， 即b＝0，A（﹣2，0）； （2）△ABH的面积是定值16，理由如下： A（﹣2，0），M（m，﹣m2+4）， 设AM的表达式为 y＝k1x+b2，将A（﹣2，0）M（m，﹣m2+4）代入得， 由点A、M的坐标得，直线AM的表达式为 y＝（2﹣m）x+4﹣2m， 同理可得：BN的表达式为 y＝﹣（2+n）x+4+2n， MN的表达式为 y＝﹣（m+n）x+4+mn， ∵MN 经过点O， ∴0＝4+mn，mn＝﹣4， 直线AM、BN相交于点H，， 解得：， 当 时， ， ∴点H的纵坐标为8， ∴△ABH 的面积． 例3．如图，二次函数y＝﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B（4，0），另一个交点为A，且与y轴相交于C点． （1）求m的值及C点坐标； （2）P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q．点P的横坐标为t（0＜t＜4），当t为何值时，多边形PBQC的面积最大，请说明理由． 解：（1）将B（4，0）代入y＝﹣x2+3x+m，解得，m＝4， ∴二次函数解析式为y＝﹣x2+3x+4， 令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4）． （2）如图，设点P（t，﹣t2+3t+4），过点P作y轴的平行线l交BC于D，交x轴于E； 过点C作l的垂线交l于F， ∵点D在直线BC上， ∴D（t，﹣t+4）， ∵B（4，0），C（0，4）， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+4， ∵PD＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，BE+CF＝4， ∴S多边形PBQC＝2S△PCB＝2（S△PCD+S△PBD）＝2（PD×CFPD×BE）＝4PD＝﹣4t2+16t， ∵0＜t＜4， ∴当t＝2时，S多边形PBQC最大＝16 例4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点B（﹣3，0），与y轴交于点C，对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作直线PD∥y轴，交直线BC于点D，过点D作直线DE⊥BC，交y轴于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中取最大值的条件下，将该抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位，平移后的抛物线与过点的直线y＝mx+n（m≠0）交于M，N两点，点N关于y轴的对称点为N′，直线MN'交y轴于点Q．试探究：△PQF的面积是否为定值？若是，请求出△PQF的面积；若不是，请说明理由． 解：（1）∵x轴交于点A和点B（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1， 则点A（1，0）， 则抛物线的表达式为：y（x+3）（x﹣1）x2﹣x； （2）由抛物线的表达式知，点C（0，）， 由点C、B的坐标得，直线BC的表达式为：yx， tan∠CBOtan∠DEC， 则sin∠DEC， 过点D作DH⊥y轴于点H， 则DH＝DE×sin∠DECDE， 设点D（x，x），则点P（x，x2﹣x）， 则DP﹣DH＝DP+xx2﹣xxxx2x， ∵，故有最大值， 此时点P（，）； （3）△PQF的面积是定值为，理由： 将该抛物线向右平移1个单位，向下平移2个单位， 则平移