重难点6-3 立体几何外接球与内切球问题（12题型+满分技巧+限时检测）-2024年高考数学【热点·重点·难点】专练（新高考专用）

重难点6-3 立体几何外接球与内切球问题 有关多面体外接球和内切球的问题，是立体几何的一个重点和难点，也是高考的热门考点，要求学生具有较强的空间想象能力和准确的计算能力。新高考考查一般出现在选择题与填空题，难度中上。 【题型1 正方体与长方体的外接球】 满分技巧 1、长方体的外接球：长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则 2、正方体的外接球：正方体的棱长为，外接球半径为R，则 长方体的外接球 正方体的外接球 【例1】（2022·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）若一个正方体的顶点都在球面上，则该正方体表面积与球表面积的比值是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2024·四川·高三校联考期末）在长方体中，，侧面的面积为6，与底面所成角的正切值为，则该长方体外接球的表面积为 ． 【变式1-2】（2024·四川成都·高三石室中学校考期末）已知长方体在球的内部，球心在平面上， 若球的半径为，，则该长方体体积的最大值是（ ） A．4 B．8 C．12 D．18 【变式1-3】（2023·甘肃·统考一模）在长方体中，底面为正方形，，其外接球的体积为，则此长方体的表面积为（ ） A．34 B．64 C． D． 【题型2 正棱锥的外接球】 满分技巧 正棱锥的外接球：正棱锥顶点在底面的投影为底面多边形的外心，球心在高线上。 （1）正三棱锥：设正三棱锥的棱长a，外接球的半径. （2）正四棱锥：设正四棱锥的棱长为，外接球半径 【例2】（2023·河南新乡·统考一模）已知正三棱锥的侧棱，，两两垂直，且，以为球心的球与底面相切，则该球的半径为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·浙江绍兴·高三统考期末）小张同学将一块棱长为的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该四面体外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2022·全国·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成的角为，顶点S，A，B，C，D在球O的球面上，则球O的表面积为 . 【变式2-3】（2023·重庆·高三西南大学附中校考期中）正四棱锥的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【题型3 能补形为长方体的外接球】 满分技巧 1、墙角模型 找三条两两垂直的线段，直接用公式，即，求出 【补充】图1为阳马，图2和图4为鳖臑 2、对棱相等：对棱相等指四面体的三组对棱分别对应相等，这三组对棱构成长方体的三组对面的对角线。 【例3】（2023·江苏徐州·高三沛县湖西中学学业考试）在三棱锥中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且，若三棱锥的所有顶点都在同一个球的表面上，则该球的体积是（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2022·河南·高三校联考专题练习）已知三棱锥中，平面，若，，，，则三棱锥的外接球表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·云南德宏·高三统考期末）在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2024·浙江宁波·高三统考期末）在平行四边形中，已知，将沿翻折得四面体．作一平面分别与交于点．若四边形是边长为的正方形，则四面体外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【题型4 直棱柱汉堡模型的外接球】 满分技巧 直棱柱的外接球：直棱柱的外接球球形是上下底面三角形外心的连线的中点 1、补形：补成长方体，若各个顶点在长方体的顶点上，则外接球与长方体相同 2、作图：构造直角三角形，利用勾股定理 例如：直三棱柱内接与一球（棱柱的上下底面为直角三角形） 此类题为上面题的特殊情况，解法更简单，AH的长即为底面三角形斜边的一般， 勾股定理：，则 注意：对于侧棱垂直于的棱锥可考虑补形为直棱柱后再求外接球。 【例4】（2023·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ） A． B． C．