铺路帮手-【追梦之旅·初中数学铺路卷】 2023-2024学年八年级下册数学（人教版 河南专版）

第一周　 二次根式(16. 1-16. 3) 测试时间:40 分钟　 测试分数:80 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 下列根式中,不是最简二次根式的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 7 B. 3 C. 0. 7 D. a2 +4 2. 下列说法正确的是(　 　 ) A. 1 的平方根是 1 B. ( -4) 2 的算术平方根是 4 C. 9 = ±3 D. 12是最简二次根式 3. 若 3的整数部分为 x,小数部分为 y,则 3 x -y 的值是(　 　 ) A. 3 3 -3 B. 3 C. 1 D. 3 4. 若 (x-4)(5-x) = x-4 · 5-x ,则 x 可取 的整数值有(　 　 )个. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 若等腰三角形的两边长分别为 12 和 50 , 则这个三角形的周长为(　 　 ) A. 2 3 +10 2 B. 4 3 +5 2 C. 4 3 +10 2 D. 4 3 +5 2或 2 3 +10 2 6. 若 x=a 时,代数式 x2 +2x+ n-2 的值为-1, 则当 x = -a 时,代数式 x2 + 2x+ n-2 的值 为(　 　 ) A. -1 B. 1 C. 2 D. 3 7. 按如图所示的运算程序,若输入数字“3”, 则输出的结果是(　 　 ) A. 3 2 -1 B. 3-5 2 C. 6 2 -3 D. 5-4 2 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 8. 2x+3在实数范围内有意义,则 x 的取值范 围是　 　 　 　 . 9. 27与最简二次根式 m-1 可以合并,则 m = 　 　 　 　 . 10. 对于任意不相等的两个实数 a,b,新定义 一种运算“※”如下:a※b= a × b b-a-1 ,则 2※ 6 = 　 　 　 　 . 11. 如图,a,b, c 在数轴上的位置如图所示, 化简 b2 - | b + c | - (c-a) 2 的 结 果 为　 　 　 　 . 三、解答题 12. (9 分)计算: (1) 2 × 6 -( 3 +1) 2 . (2)( 5 -2) ×( 5 +2) + | - 2 | + 8 . (3) | - 2 | +( 2 - 1 2 ) 2 -( 2 + 1 2 ) 2 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 1 页 13. ( 9 分 ) 先 化 简, 再 求 值: 1 -2a+a2 a-1 - a2 -2a+1 a2 -a ,其中 a= 1 2- 3 . 14. (9 分)下面是琪琪在解答某个题目时的计 算过程,请认真阅读并完成相应任务. 　 48 - 1 2 ×( 12 - 75 ) = 4 3 - 1 2 ×(2 3 -5 3 )……第一步 = 4 3 - 3 -5 3 2 ……第二步 = 3 3 -5 3 2 ……第三步 = 3 2 ……第四步 任务一:以上步骤中,第　 　 　 　 步开始出 现错误,这一步错误的原因是　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; 任务二:请写出正确的计算过程; 任务三:除纠正上述错误外,请你根据平时 的学习经验,就二次根式运算时还需注意 的事项给其他同学提一条建议. 15. (10 分) 在一个长为 ( 10 + 2 5 ),宽为 2 5的长方形内部挖去一个边长为 2 3 的 正方形,求剩余部分的面积. 16. [跨学科试题](10 分)钟的钟摆摆动一个 来回所需的时间称为一个周期,其计算公 式为 r = 2π 　 l g ,其中 r 表示周期(单位: s),l 表示摆长(单位:m),g 为重力加速度 且 g= 9. 8 m / s2,假如一台座钟的钟摆长为 0. 5 m,它每摆动一个来回发出一次滴答 声,那么在 1 min 内,该座钟发出多少次滴 答声? ( 10 ≈3. 16,π 取 3. 14,结果保留 整数) 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 2 页 第二周　 勾股定理(17. 1) 测试时间:40 分钟　 测试分数:50 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 在△ABC 中,AB= 30,AC = 25,高 AD = 24,则 BC 的长是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 25 B. 18 C. 25 或 11 D. 25 或 18 2. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,AB = 6, 若以 AC 边和 BC 边向外作等腰直角三角形 AFC 和等腰直角三角形 BEC. 若△BEC 的 面积为 S1, △AFC 的面积为 S2,则 S1 + S2 = (　 　 ) A. 4 B. 9 C. 18 D. 36 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 如图,数轴上点 A,B 分别对应 1,2,过点 B 作 PQ⊥AB,以点 B 为圆心,AB 长为半径画 弧,交 PQ 于点 C,以点 A 为圆心,AC 长为半 径画弧,交数轴于点 M,则点 M 对应的数 是(　 　 ) A. 2 B. 5 C. 2 +1 D. 5 +1 4. 如图,在△ABC 中,AB =AC = 13,BC = 10,AD ⊥BC 于点 D,则 AD 的长为(　 　 ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼 出不一样的空洞,而两个空洞的面积是相等 的,如图所示,证明了勾股定理,若设左边图 中空白部分的面积为 S1,右边图中空白部 分的面积为 S2,则下列对 S1,S2 所列等式不 正确的是(　 　 ) A. S1 =a2 +b2 +2ab B. S2 = c2 +ab C. S1 =S2 D. a2 +b2 = c2 6. [数学文化]《九章算术》中记载了一个“折 竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去 本三尺,问折者高几何? 题意是:一根竹子 原高 1 丈(1 丈 = 10 尺),中部有一处折断, 竹梢触地面处离竹根 3 尺,试问折断处离地 面多高? 设折断处离地面的高度为 x 尺,则 可列方程为(　 　 ) A. x2 -3 = (10-x) 2 　 　 　 B. x2 -32 = (10-x) 2 C. x2 +3 = (10-x) 2 　 D. x2 +32 = (10-x) 2 7. 如图,A(6,0),B( - 4,0),以 A 为圆心,AB 长为半径画弧,交 y 轴正半轴于点 C,则点 C 的坐标为(　 　 ) A. (0,8) B. (8,0) C. (0,10) D. (10,0) 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 8. 如图,四边形 ABCD 中,∠A= 90°,AB= 3,BC = 4, 对角线 BD = 5, BD 平分 ∠ABC, 则 △BCD 的面积为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 3 页 9. 已知 x、y 为直角三角形的两边且满足 x-3 +(x-y+1) 2 = 0,则该直角三角形的第三边 为 　 　 　 　 . 10. [新定义]对角线互相垂直的四边形叫作 “垂美”四边形,现有如图所示的“垂美”四 边形 ABCD,对角线 AC,BD 交于点 O. 若 AB= 3,CD= 2,则 AD2 +BC2 = 　 　 　 　 . 11. 由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时 候不太方便操作. 小敏设计了一种衣架,在 使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开 即可. 如图 1,衣架杆 OA=OB= 18 cm,若衣 架收拢时∠AOB= 60°,如图 2,若衣架打开 时∠AOB = 120°,则此时 A,B 两点之间的 距离扩大了　 　 　 　 cm. 图 1 　 　 图 2 三、解答题 12. (8 分)如图,AB⊥BC,DC⊥BC,AE⊥DE, 且 AE= 12,CD= 3,CE= 4,求 AD 的长. 13. [数学文化] (9 分) 《几何原本》中有一种 证明勾股定理的方法: 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,BC = a, AC= b,AB= c,分别以 BC,AC,AB 为边向外 作正方形 CBMN, 正方形 ACED, 正方形 ABHF,过点 C 作 CG⊥FH,垂足为 G,通过 证 明 S正方形ACED = S长方形AFGP, S正方形BCNM = S长方形BHGP 的方法来证明勾股定理. 下面展示的是这种方法的不完整思路,请 把内容补充完整. 证明:连接 BD,CF,通过观察、推理,可以 得到,△ADB≌　 　 　 　 . 由 AD∥CE 得: S正方形ACED 与 S△ADB 的数量关系满足 　 　 　 　 , 同理,可得, S长方形AFGP 与 　 　 　 　 的 数 量 关 系 和 S正方形ACED 与 S△ADB 的数量关系相同, ∴ S正方形ACED =S长方形AFGP,即 b2 =S长方形AFGP . 同理, 连接 AM, CH, 通过推理可得, a2 = 　 　 　 　 . ∴ S正方形ACED+S正方形BCNM =S正方形ABHF . ∴ a2 +b2 = c2 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 4 页 第三周　 勾股定理的逆定理(17. 2) 测试时间:40 分钟　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 21 分) 1. 下列各组数中,为勾股数的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 3,4,5 B. 2,3,4 C. 3 , 4 , 5 D. 13,14,15 2. 在三角形 ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分 别为 a,b,c,且满足 b2 -a2 = c2,则这个三角 形中互余的一对角是(　 　 ) A. ∠A 与∠B B. ∠C 与∠A C. ∠B 与∠C D. 以上都不正确 3. [趣味题]古埃及人曾经用如图所示的方法 画直角:把一根长绳打上等距离的 13 个结, 然后以 3 个结间距,4 个结间距,5 个结间距 的长度为边长,用木桩钉成一个三角形,其 中一角便是直角,这样做的道理是(　 　 ) A. 直角三角形两个锐角互余 B. 三角形的稳定性 C. 勾股定理 D. 勾股定理的逆定理 4. 在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别记 为 a,b,c,由下列条件不能判定△ABC 为直 角三角形的是(　 　 ) A. ∠A+∠B= ∠C B. ∠A ∶∠B ∶∠C= 1 ∶2 ∶3 C. a2 = c2 -b2 D. a ∶b ∶c= 1 3 ∶ 1 4 ∶ 1 5 5. 已知三角形三边长为 a,b,c,如果 a-10 + | b-8 | +(c-6) 2 = 0,则△ABC 是(　 　 ) A. 以 a 为斜边的直角三角形 B. 以 b 为斜边的直角三角形 C. 以 c 为斜边的直角三角形 D. 不是直角三角形 6. 如图,将△ABC 放在正方形网格中(图中每 个小正方形边长均为 1),点 A,B,C 恰好在 网格图中的格点上, 那么 ∠ABC 的度数 为(　 　 ) A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 第 6 题图 　 　 　 　 第 7 题图 7. 某工程的测量人员在规划一块如图所示的 三角形土地时,在 BC 上有一处古建筑 D, 使得 BC 的长不能直接测出,工作人员测得 AB= 130 米,AD= 120 米,BD= 50 米,在测出 AC= 150 米后,测量工具坏了,使得 DC 的长 无法测出,请你想办法求出 BC 的长度为 (　 　 )米. A. 90 B. 120 C. 140 D. 150 二、填空题(每小题 3 分,共 6 分) 8. 已知等腰△ABC 的底边 BC = 5,D 是腰 AB 上一点, 且 CD = 4, BD = 3, 则 AD 的长 为　 　 　 　 . 9. [数学文化]勾股定理 a2 +b2 = c2 本身就是 一个关于 a,b,c 的方程,满足这个方程的正 整数解(a,b,c)通常叫作勾股数组. 毕达哥 拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式, 根据该公式可以构造出如下勾股数组:(3, 4,5),(5,12,13),(7,24,25),…,分析上面 勾股数组可以发现,4 = 1×(3+1),12 = 2×(5 +1),24 = 3×(7+1),…分析上面规律,第 5 个勾股数组为　 　 　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 5 页 三、解答题 10. (10 分)如图,在△ABC 中,点 D 是 BC 边 上一点,连接 AD,若 AB = 10,AC = 17,BD = 6,AD= 8. (1)求证:△ABD 是直角三角形; (2)求 BC 的长. 11. (8 分)如图,某港口 P 位于东西方向的海 岸线上. “综合执法 1 号” 轮船沿北偏东 61°方向以每小时 16 海里的速度航行,“综 合执法 2 号”轮船以每小时 12 海里的速度 沿一定方向航行,它们离开港口 P 1. 5 小 时后分别位于点 Q,R 处,且相距 30 海里. 求“综合执法 2 号”轮船的航行方向. 12. (10 分)台风是一种自然灾害,它以台风中 心为圆心在周围上百千米的范围内形成极 端气候,有极强的破坏力,如图,有一台风 中心沿东西方向由 A 行驶向 B,台风的速 度为 20 千米 /小时,已知点 C 为一海港,且 点 C 与直线 AB 上的两点 A,B 的距离分 别为 AC = 300 km, BC = 400 km, AB = 500 km,以台风中心为圆心周围 250 km 以 内为受影响区域. (1)求∠ACB 的度数; (2)海港 C 是否受台风影响? 若受台风影 响,求台风影响该海港持续的时间有多长? 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 6 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 1 勾股定理的证明 ———教材 P30 阅读与思考变式 1. 下列两图均由四个全等的直角三角形拼接 而成,且它们的两条直角边分别为 a,b , 斜 边为 c,a>b. 请选择一个你喜欢的图形,利 用等面积法验证勾股定理. 你选择的是图 　 　 　 　 ,写出你的验证过程. 图 1 　 　 图 2 2. 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之 一,在《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则 弦五”的记载,汉代数学家赵爽为证明勾股 定理创制的“赵爽弦图”也流传至今. 迄今 为止已有 400 多种证明勾股定理的方法. 下 面是数学课上创新小组验证过程的一部分. 请认真阅读并根据他们的思路将后续的过 程补充完整:将两张全等的直角三角形纸片 按图 1 所示摆放,其中 b>a,点 E 在线段 AC 上,点 B、D 在边 AC 两侧,试证明: a2 + b2 = c2 . 图 1 　 　 图 2 证明:如图 2,连接 DB、DC,过点 D 作 BC 边 上的高 DF,则 DF=EC= b-a. ∵ △ABC≌△DAE, ∴ ∠ABC= ∠DAE, ∵ △ABC 是直角三角形,∠ACB= 90°, ∴ ∠ABC+∠BAC= 90°, ∴ ∠DAB= 　 　 　 +　 　 　 = 　 　 　 , ∴ S四边形ADCB =S△ADB+S△DCB = 　 　 　 　 , ∴ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 , ∴ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . 3. 学完了勾股定理后,张老师给同学们布置了 这样一道题:有两个形状、大小完全相同的 长方体盒子按照图 1 放置,从正前方看图 1 得到的图形如图 2 所示,你能运用这个图形 证明勾股定理吗? 赶紧试一试吧,相信你一 定能行! (提示:连接 AC、CF、AF) 图 1 　 　 图 2 即时训练 4. 如图中能用来证明勾股定理的有(　 　 ) ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ A. 3 个　 　 B. 4 个　 　 C. 5 个　 　 D. 6 个 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 7 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 2 与勾股定理有关的计算 ———教材 P34 习题 6 变式 变式角度 1　 将条件与结论互换 1. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 的中 点,AE⊥EF,连接 AE,AF,EF. 若 AB = 4,请 探究 CF 与 CD 之间的数量关系. 变式角度 2　 结合折叠求线段长 2. 如图,折叠长方形的一边 AD,使点 D 落在 边 BC 的点 F 处, 已知 AB = 8 cm, BC = 10 cm. (1)求 FC 的长; (2)计算 EF 的长. 变式角度 3　 变为动点求最值 3. 如图,在△ABO 中, ∠AOB = 90°, ∠BAO = 30°,BO= 6,圆 O 的面积为 12π,点 M,N 分 别在圆 O、线段 AB 上运动,则 MN 长度的最 小值等于(　 　 ) A. 3 4 　 　 B. 3 2 　 　 C. 3 　 　 D. 2 3 即时训练 4. 如图,方格纸中的每个小正方形的边长均为 1,小正方形的顶点称为格点. 已知 A、B、C 都是格点. 图 1 　 图 2 (1)小明发现图 1 中∠ABC 是直角,请在方 框中补全他的思路; 先利用勾股定理求出△ABC 的三条边长, 可得 AB= 　 　 　 　 ,BC = 　 　 　 　 ,AC = 　 　 　 　 . 从而可得三边数量关系为　 　 　 　 　 　 , 根据 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ,可以证明 ∠ABC 是直角. (2)请借助图 2 用一种不同于小明的方法 说明∠ABC 是直角. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 8 页 第四周　 平行四边形(18. 1) 测试时间:40 分钟　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 24 分) 1. 已知四边形 ABCD 中∠A,∠B,∠C,∠D 的 度数之比,能判定四边形是平行四边形的 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 1 ∶2 ∶3 ∶4 B. 1 ∶2 ∶2 ∶1 C. 2 ∶2 ∶3 ∶4 D. 2 ∶3 ∶2 ∶3 2. 如图,平行四边形 ABCD 的对角线交于点 O,且 AB= 6,△OCD 的周长为 18,则平行四 边形 ABCD 的两条对角线的和是(　 　 ) A. 12 B. 24 C. 28 D. 40 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 如图,在▱ABCD 中,BM 是∠ABC 的平分 线,交 CD 于点 M,MC = 2,AD +DC = 7,则 DM 等于(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. [注重生活实践]为了保证铁路的两条直铺 的铁轨互相平行,只要使夹在铁轨之间的互 相平行的枕木长相等就可以了,依据是:两 条铁轨和夹在铁轨之间的两根枕木构成一 个平行四边形,即可得到两条铁轨平行. 判 定铁轨和枕木构成平行四边形的依据 是(　 　 ) A. 平行线间的距离处处相等 B. 一组对边平行且相等的四边形是平行四 边形 C. 两组对边分别相等的四边形是平行四 边形 D. 两组对边分别平行的四边形是平行四 边形 5. 如图,在▱ABCD 中,CE 平分∠BCD 交 AD 于 点 E.若∠B= 46°,则∠AEC 的大小为(　 　 ) A. 110° B. 113° C. 125° D. 134° 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 如图,已知 AB =DC,AD = BC,E、F 是 DB 上 两点且 AE∥CF,若∠AEB = 115°,∠ADB = 35°,则∠BCF= (　 　 ) A. 150° B. 40° C. 80° D. 90° 7. 如图,点 D 是△ABC 内一点,BD⊥CD,AD = 11,BD= 8,CD= 6,点 E、F、G、H 分别是 AB、 AC、CD、BD 的中点,则四边形 EFGH 的周长 是(　 　 ) A. 14 B. 18 C. 21 D. 24 第 7 题图 　 　 第 8 题图 8. 如图,平行四边形 ABCD 的周长为 36 cm,对 角线 AC,BD 交于点O,若点 E 是 AD 的中点, 连接 OE.则线段 OE+AE 的值为(　 　 )cm. A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 9. [开放性试题]如图,在▱ABCD 中,E,F 是对 角线 AC 上的点,如果添加一个条件,使 △ADE≌△CBF,则添加的条件为　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 如图,直线 AB∥CD,GH 平分∠CGF,GI 平 分∠DGF,且 HG = 15 cm,GI = 20 cm,HI = 25 cm,则直线 AB 与直线 CD 之间的距离 是　 　 　 cm. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 9 页 11. [易错题]如图,点 A、B、C 的坐标分别是 (0,2)、(2,2)、(0,-1),那么以点 A、B、C 为顶点的平行四边形的第四个顶点 D 的 坐标是　 　 　 　 . 三、解答题 12. (8 分)如图,在四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交于点 O,且 AC =BD,E、F 分别 是 AB、CD 的中点,E、F 分别交 BD、AC 于 点 G、H,取 BC 边的中点 M,连接 EM、FM. 求证: (1)△MEF 是等腰三角形; (2)OG=OH. 13. (9 分)如图,▱ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,点 E,F 分别在 OB 和 OD 上, 且∠AEB= ∠CFD. (1) 求证:四边形 AECF 是平行四边形; (2)若∠AEB = 90°,AE =EF = 2,求线段 AC 的长. 14. (10 分)如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 交 于点 O,EF 过点 O 且分别与 AD,BC 交于 点 E,F. (1)求证:△AOE≌△COF; (2)记四边形 ABFE 的面积为 S1,▱ABCD 的面积为 S2,用等式表示 S1 和 S2 的关系. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 10 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 3 平行四边形的判定与性质 ———教材 P50 习题 5 变式 变式角度 1　 点 E,G 分别移动到点 A,C 处 1. 如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、 BD 相交于点 O,点 H、F 在线段 BD 上,且 BF=DH,连接 AF、CF、AH、CH. 求证:四边形 AFCH 为平行四边形. 变式角度 2　 在变式 1 的基础上 AF⊥BD,CH ⊥BD 2. 如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、 BD 相交于点 O,F、H 是 BD 上的两点,且 AF⊥BD、CH⊥BD,连接 CF、AH. (1)求证:AF=CH; (2)若 AF= 8,FH= 12,求 AC 的长. 变式角度 3　 点 E,G 分别移到边 AD,BC 的中 点上 3. 如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E,G 分别 为 AD,BC 的中点,点 F,H 在对角线 BD 上, 且 BF=DH. 求证:四边形 EFGH 是平行四边形. 变式角度 4　 点 E,F,G,H 分别移动到 AD, AB,BC,CD 上 4. 如图,▱ABCD 中,点 O 是对角线 AC 的中 点,EG 过点 O 与 AD,BC 分别相交于点 E, G,FH 过点 O 与 AB,CD 分别相交于点 F, H,连接 EF,FG,GH,EH. 求证:四边形 EFGH 是平行四边形. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 11 页 变式角度 5　 平行四边形 ABCD 改为三角形 A BC 5. 如图,在△ABC 中,BD,CE 分别是边 AC,AB 上的中线,BD 与 CE 相交于点 O,点M,N 分 别 为 BO, CO 的 中 点, 连 接 ED, EM, MN,ND. 求证:四边形 MNDE 是平行四边形. 即时训练 6. 如图,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC, BD 相交于点 O,点 E,F 在 AC 上,点 G,H 在 BD 上. (1) 若∠ADC = 60°,∠CAD = 50°,求∠BAC 和∠BCD 的度数; (2) 若四边形 EHFG 是平行四边形,求证: AE=CF. 7. (1)如图 1,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交 于点 O,EF 过点 O 且与 AD,BC 分别相交于 点 E,F. 连接 AF,CE. 求证:四边形 AECF 是 平行四边形; (2)如图 2,若四边形 ABCD 是平行四边形, 过点 O 作直线 EF 分别交 AD、BC 于 E、F, 过点 O 作直线 GH 分别交 AB、CD 于 G、H, 且 S四边形AGOE = 1 4 S▱ABCD,若 AD= 5,AB = 3,BG = 1,则 AE= 　 　 　 　 . 图 1 　 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 12 页 第五周　 矩形(18. 2. 1) 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:50 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O,添加一个条件使平行四边形 ABCD 为矩形的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. AD=AB B. AB⊥AD C. AB=AC D. CA⊥BD 第 1 题图 　 　 第 2 题图 2. 如图,矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 点 O,∠AOB= 60°,若矩形的对角线长为 4, 则 AD 的长是(　 　 ) A. 2 B. 4 C. 2 3 D. 4 3 3. 如图,一根竹竿 AB,斜靠在竖直的墙上,P 是 AB 中点,A′B′表示竹竿 AB 端沿墙上、下 滑动过程中的某个位置,则在竹竿 AB 滑动 过程中 OP(　 　 ) A. 下滑时,OP 增大 B. 上升时,OP 减小 C. 无论怎样滑动,OP 不变 D. 只要滑动,OP 就变化 第 3 题图 　 　 第 4 题图 4. 如图,D,E,F 分别是△ABC 各边的中点,AH 是 高,如果 ED=6 cm,那么 HF 的长为(　 　 ) A. 3 cm B. 4 cm C. 5 cm D. 6 cm 5. 如图,在矩形 ABCD 中,AB = 8,BC = 4,将矩 形沿 AC 折叠,点 B 落在点 B′处,则重叠部 分△AFC 的面积为(　 　 ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 矩形 ABCD 中,点 M 在对角线 AC 上,过 M 作 AB 的平行线交 AD 于 E,交 BC 于 F,连 接 DM 和 BM,已知,DE = 2,ME = 4,则图中 阴影部分的面积是(　 　 ) A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. [注重传统文化]两边之比为黄金分割比 5 -1 2 的矩形称为“黄金矩形”,许多经典的 艺术作品如希腊雅典的巴特农神庙、蒙娜丽 莎或断臂维纳斯等都包含有黄金分割比,它 能给人们带来视觉上的美感. 如图,矩形 AB- CD 就是一个“黄金矩形”,其对角线 AC 与边 AB 的夹角近似为 56°,F 为边 BC 上的一点, DF 与 AC 的交点为 O. 现将矩形一边 DC 沿 直线 DF 折叠,使点 C 落在点 E 上,且满足 DE 与 AC 垂直,则∠DOC=　 　 　 　 　 . 　 　 8. 如图,在△ABC 中,∠ACB= 90°,CD⊥AB,垂 足为 D, 点 E 是 AB 的中点, ∠BCD = 3 ∠ACD,CD= 3,则 AB 的长为　 　 　 　 . 9. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC = 90°,且 BA = 9,AC= 12,点 D 是斜边 BC 上的一个动点, 过点 D 分别作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 13 页 点 F,点 G 为四边形 DEAF 对角线交点,则 线段 GF 的最小值为　 　 　 　 　 . 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. [易错题]在矩形 ABCD 中,AB= 8 cm,BC= 3 cm,点 P 从点 A 出发沿 AB 以 2 cm / s 的 速度向终点 B 移动,同时,点 Q 从点 C 出 发沿 CD 以 3 cm / s 的速度向终点 D 移动, 其中一个点到达终点,另一个点也停止运 动. 经过　 　 　 　 秒 P、Q 两点之间的距离 是 5 cm. 三、解答题 11. (10 分)如图,在△ABC 中,点 D,E,F 分别 是边 AB,AC,BC 的中点,且 BC= 2AF. (1)求证:四边形 ADFE 为矩形; (2)若∠C= 30°,AF= 2,写出矩形 ADFE 的 周长. 12. (10 分)下面是课本第 54 页中的部分内 容,请认真阅读,并完成相应的任务. 工人师傅在做门窗或矩形零件时,不仅 要测量两组对边的长度是否分别相等, 常常还要测量它们的两条对角线是否相 等,以确保图形是矩形. 你知道其中的道 理吗? 任务: (1)填空:工人师傅测量对边长度相等,是 为了确保它的形状是　 　 　 　 　 ;再测量 它的对角线相等,就确保了它是矩形. 这里 主要依据了矩形的一个判定定理,即　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 . (2)请证明(1)中矩形的判定定理(先画出 图形,写出已知,求证,再给出证明), 已知:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; 求证:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; 证明: 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 14 页 第六周　 菱形、正方形(18. 2. 2-18. 2. 3) 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:50 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 正方形、菱形、矩形都具有的性质是(　 　 ) A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角 2. 如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,下 列结论中不正确的是(　 　 ) A. 当 AB=BC 时,四边形 ABCD 是菱形 B. 当 AC⊥BD 时,四边形 ABCD 是菱形 C. 当∠ABC= 90°时,四边形 ABCD 是矩形 D. 当 AC=BD 且∠ABC = 90°时,四边形 AB- CD 是正方形 第 2 题图 　 　 第 3 题图 3. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相交 于点 O,DO= 3,∠ADC = 120°,则菱形 ABCD 的面积是(　 　 ) A. 18　 　 B. 18 3 　 　 C. 36　 　 D. 36 3 4. 如图,四边形 ABCD 为菱形,对角线 AC,BD 交于点 O,E 为 AD 的中点,若 OE = 3. 5,则 菱形 ABCD 的周长等于(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. 14 B. 28 C. 7 D. 35 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,延长正方形 ABCD 的一边 BC 至 E,使 CE=AC,连接 AE 交 CD 于 F,则∠AFC 的度 数是(　 　 ) A. 112. 5° B. 120° C. 122. 5° D. 135° 6. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠, 得到菱形 AECF. 若 AB= 3,则 BE 的长为 (　 　 ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 3 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 7. 在▱ABCD 中,已知 AC,BD 为对角线,现有 以下四个条件:①∠ABC = 90°;②AC = BD; ③AC⊥BD;④AB =BC. 从中选取两个条件, 可以判定▱ABCD 为正方形的是　 　 　 　 . (写出一组即可) 8. 如图,若菱形 ABCD 的顶点 A,B 的坐标分别 为(2,0),( - 1,0),点 C 在 y 轴上,则点 D 的坐标是　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 第 9 题图 9. 如图,在正方形 ABCD 中,△ABE 为等边三 角形,连接 DE,CE,延长 AE 交 CD 于 F 点, 则∠DEF 的度数为　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 15 页 10. 如图,E,F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上 的两点, AC = 8, AE = CF = 2, 则四边形 BEDF 的面积是　 　 　 　 . 第 10 题图 　 　 第 11 题图 11. 如图,菱形 ABCD 的周长为 40,面积为 80, P 是对角线 BD 上一点,分别作 P 点到直 线 AB、AD 的垂线段 PE、PF,则 PE+PF 等 于　 　 　 　 　 . 三、解答题 12. (8 分)如图,在▱ABCD 中,BC = 2AB,点 E、F 分别是 BC、AD 的中点,AE、BF 交于点 O,连接 EF,OC. (1)求证:四边形 ABEF 是菱形; (2)若 AB= 4,∠ABC= 60°,求 OC 的长. 13. (9 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,点 P 在线段 AC 上,点 E 在射线 BC 上,且 PB = PE,连接 PD,点 O 为线段 AC 中点. 【感知】 如图 1,当点 P 在线段 AO 上时, ①易证:△ABP 与△ADP 全等( 不需要证 明) . 进而得到 PE 与 PD 的数量关系 是　 　 　 　 . ②过点 P 作 PM⊥CD 于点 M,PN⊥BC 于 点 N,易证:Rt△PNE≌Rt△PMD(不需要 证明) . 进而得到 PE 与 PD 的位置关系是 　 　 　 　 . 【探究】 如图 2,当点 P 在线段 OC 上(点 P 不与点 O,C 重合)时,试写出 PE 与 PD 的数量关 系和位置关系,并说明理由. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 16 页 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂教材习题变式 4 特殊平行四边形的折叠问题 ———教材 P64 教学活动变式 ★教学活动 1 变式 变式角度 1　 在原来折叠基础上再进行折叠 1. 如图,对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重 合,得到折痕 EF,把纸片展平. 再一次折叠 纸片,使点 A 落在 EF 上,并使折痕经过点 B,得到折痕 BM,同时,得到了线段 BN. 将 MN 延长交 BC 于点 G. 将△BMG 沿 MG 折 叠,点 B 刚好落在 AD 边上点 H 处,连接 GH,把纸片再次展平. 请判断四边形 BGHM 的形状,并说明理由. 变式角度 2　 将矩形纸片换成正方形纸片 2. 综合与实践课上,老师让同学们以“正方形 的折叠”为主题开展数学活动. (1)操作判断 操作一:对折正方形纸片 ABCD,使 AD 与 BC 重合,得到折痕 EF,把纸片展平; 操作二:在 AD 上选一点 P,沿 BP 折叠,使 点 A 落在正方形内部点 M 处,把纸片展平, 连接 PM,BM,延长 PM 交 CD 于点 Q,连 接 BQ. (2)迁移探究 ①如图 1,当点 M 在 EF 上时,∠EMB= 　 　 　 　 °; ②改变点 P 在 AD 上的位置(点 P 不与点 A,D 重合),如图 2,判断∠MBQ 与∠CBQ 的数量关系,并说明理由; ③已知正方形纸片 ABCD 的边长为 8,当 FQ = 1 时,直接写出 AP 的长. 图 1 　 　 图 2 ★教学活动 2 变式 变式角度 1　 在原来折叠基础上再进行折叠 3. 【教材呈现】 如图是根据人教版八年级下册数学教材第 65 页内容改编. 把一张矩形纸片如图那样 折一下,就可以裁出正方形纸片,为什么? 【问题解决】 如图①,已知矩形纸片 ABCD(AB>AD),将 矩形纸片沿过点 D 的直线折叠,使点 A 落 在边 DC 上,点 A 的对应点为 A′,折痕为 DE,点 E 在 AB 上. 求证:四边形 AEA′D 是正方形. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 17 页 【规律探索】 由【问题解决】可知,图①中的△A′DE 为等 腰三角形. 现将图①中的点 A′沿 DC 向右平 移至点 Q 处(点 Q 在点 C 的左侧),如图②, 折痕为 PF,点 F 在 DC 上,点 P 在 AB 上,那 么△PQF 还是等腰三角形吗? 请说明理由. 　 　 图① 　 　 图② 即时训练 4. 如图,一张矩形纸片,按照下面步骤进行 折叠: 第一步,在矩形纸片的一端,利用图①的方 法折出一个正方形,然后把纸片展平. 第二步,如图②,把这个正方形折成两个相 等的矩形,再把纸片展平. 第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB 折到图③中所示的 AD 处. 第四步,展平纸片,按照所得的点 D 折出 DE,得出矩形 BCDE(图④) . 则矩形 BCDE 的宽与长的比为 　 　 　 　 . 图① 　 　 　 图② 图③ 　 　 　 图④ 5. 综合与实践课上,同学们开展了以“折叠” 为主题的探究活动,如图 1,已知矩形纸片 ABCD,其中 AB= 3,BC= 3+2 3 . (1)动手实践 如图 1,将矩形纸片 ABCD 折叠,点 A 落在 BC 边上的 M 处,折痕为 BN,连接 MN,然后 将纸片展平,得到四边形 ABMN 和四边形 NMCD,则四边形 ABMN 的形状为　 　 　 　 , 四边形 NMCD 的形状为　 　 　 　 ; (2)探索发现 如图 2,将图 1 中的四边形 NMCD 剪下,取 ND 边上一点 E,使∠NME = 30°,将△MNE 沿 ME 折叠得到△MN′E,延长 MN′交 CD 于 点 F. 求证:DF=N′F. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 18 页 期中测前题组训练 1. 选填题 满分:63 分 一、选择题(每小题 3 分,共 45 分) 1. 下列各式中属于最简二次根式的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x2y B. x2 +1 C. 12 D. 0. 5 2. 已知△ABC 中,∠A = 1 2 ∠B = 1 3 ∠C,则它的 三条边之比为(　 　 ) A. 1 ∶1 ∶ 2 B. 1 ∶ 3 ∶2 C. 1 ∶ 2 ∶ 3 D. 1 ∶4 ∶1 3. 下列计算中,正确的是(　 　 ) A. ( -3) 2 = -3 B. 8 + 2 = 10 C. 3 2 - 2 = 3 D. 8 × 2 = 4 4. 在△ABC 中,BC = n2 -t2,AC = 2nt,AB = n2 + t2 (n、t 是正整数,且 n>t),则△ABC 是(　 　 ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 5. 下列判断中不正确的是(　 　 ) A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 两组对边分别平行的四边形是平行四 边形 6. 下列各数组中,是勾股数的是(　 　 ) A. 6,8,10 B. 2,2,2 C. 1,1, 2 D. 0. 4,0. 3,0. 5 7. 已知菱形 ABCD 的面积为 96 cm2,对角线 AC 的长为 16 cm,则此菱形的边长为(　 　 )cm. A. 20 B. 14 C. 3 2 D. 10 8. 如图,已知 E 是菱形 ABCD 的边 BC 上一 点,且∠DAE = ∠B = 80°,那么∠CDE 的度 数为(　 　 ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 9. 如图,公路 AC、BC 互相垂直,公路 AB 的 中点 M 与点 C 被湖隔开. 测得 AB 的长为 1. 6 km,则 M、C 两点间的距离为(　 　 ) A. 0. 5 km B. 0. 6 km C. 0. 8 km D. 1. 2 km 第 9 题图 　 　 第 10 题图 10. 如图,这是用面积为 24 的四个全等的直角 三角形△ABE,△BCF,△CDG 和△DAH 拼 成的“赵爽弦图”,如果 AB = 10,那么正方 形 EFGH 的边长为(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 如图,在矩形 ABCD 中,AD>AB,AB = 5 cm, AC,BD 交于点 O,∠AOD= 2∠AOB = 120°, 则 BC= (　 　 ) A. 5 cm B. 5 2 cm C. 5 3 cm D. 5 5 cm 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 19 页 12. 如图,在菱形 ABCD 中,AB = 6,∠A = 120°, 点 P 是菱形内部一点, 且满足 S△PCD = 1 6 S菱形ABCD,则 PC+PD 的最小值是(　 　 ) A. 2 3 B. 3 3 C. 6 D. 4 3 第 12 题图 　 　 第 13 题图 13. 两张全等的矩形纸片 ABCD,AECF 按如图 方式交叉叠放在一起,AB = AF,AE =BC. 若 AB = 2,BC = 6,则图中阴影部分的面积 为(　 　 ) A. 4 B. 8 3 C. 16 3 D. 6 14. 如图,在正方形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,E 为 BC 上一点,CE = 5,F 为 DE 的中点. 若△CEF 的周长为 18,则 OF 的长为(　 　 ) A. 7 2 B. 5 2 C. 3 D. 4 第 14 题图 　 　 第 15 题图 15. 如图,矩形 ABCD 中,O 为 AC 中点,过点 O 的直线分别与 AB,CD 交于点 E,F,连接 BF 交 AC 于点M,连接 DE,BO. 若∠COB= 60°,FO=FC,则下列结论:①FB⊥OC,OM =CM;②△EOB≌△CMB;③四边形 EBFD 是菱形;其中正确结论的个数是(　 　 ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 二、填空题(每小题 3 分,共 18 分) 16. 写出一个与 2能合并的二次根式 　 . 17. 如图,已知所有的四边形是正方形,三角形 是直角三角形,且其中最大的正方形面积 为 6 cm2,则图中所有的正方形的面积之和 为　 　 　 cm2 . 第 17 题图 　 　 第 18 题图 18. 如图,在△ABC 中,AC = BC,∠ACB = 90°, AB= 8,点 D 是边 AB 上一点,连接 CD,过 点 C 作 CE⊥CD,使 CE=CD,连接 DE,点 F 是 DE 的中点,连接 CF 并延长,交边 AB 于 点 G,若 BG= 2,则 AD 的长为　 　 　 　 　 . 19. 如图,正方形 ABCD 中,CE⊥MN,若∠MCE = 35°,则∠ANM 的度数是　 　 　 　 　 . 第 19 题图 　 　 第 20 题图 20. 如图,在菱形 ABCD 中,AB= 4 cm,∠ADC= 120°,点 E、F 同时由 A、C 两点出发,分别 沿 AB、CB 方向向点 B 匀速移动(到点 B 为止),点 E 的速度为 1 cm / s,点 F 的速度 为 2 cm / s,经过 t 秒△DEF 为等边三角形, 则 t 的值为　 　 　 　 . 21. 如图, 在矩形 ABCD 中, AB = 10 cm,BC = 6 cm,有一动点 P 以 2 cm / s 的速度沿着 B-C-D 的方向移动,连接 AP,沿 AP 翻折△ABP, 得到△APB′,则经过 　 　 　 　 s 点 B′落在 边 CD 所在直线上. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 20 页 期中测前题组训练 2. 简单解答题组(针对 16-20 题) 满分:70 分 1. (8 分)计算: (1)3 27 × 3 6 ÷3 2 ; (2)( 5 +1) ×( 5 -1) +2 - 2 2 . 2. (5 分)化简并代入求值:( 6 - 2x) 2 -(2x+ 3 )(2x- 3 ),其中 x= 1 6 -2 . 3. (5 分)已知 x = 3 + 2 ,y = 3 - 2 ,求代数 式 x2 +y2 +2xy-2x+2y 的值. 4. (8 分)如图,四边形 ABCD 中,AB = DC,AD =BC,点 E 在 AD 上,点 F 在 BC 上,AE = CF,EF 与对角线 BD 交于点 O. 求证:O 是 EF 的中点. 5. (8 分)如图,每个小正方形的边长都为 1. (1)求四边形 ABCD 的周长及面积; (2)求∠BCD 的度数. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 21 页 6. (9 分)如图,四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,若 AB∥CD,OA=OC. (1)求证:四边形 ABCD 是平行四边形; (2)请你在不添加辅助线的情况下,添一个 条件　 　 　 　 ,使四边形 ABCD 是菱形. 7. (9 分)如图,在 Rt△ABC 中,∠C= 90°,AB= 5 cm,AC= 3 cm,动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 1 cm / s 的速度移动,设运动的时间为 t s. (1)求 BC 边的长; (2)当△ABP 为直角三角形时,求 t 的值. 8. (9 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,AC, BD 交于点 O,且 AO =BO,∠ADB 的平分线 DE 交 AB 于点 E. (1)求证:四边形 ABCD 是矩形. (2)若 AB= 8,OC= 5,求 AE 的长. 9. (9 分)滑撑杆在悬窗中应用广泛. 如图,某 款滑撑杆由滑道 OC,撑杆 AB、BC 组成,滑 道 OC 固定在窗台上. 悬窗关闭或打开过程 中,撑杆 AB、BC 的长度始终保持不变. 当悬 窗关闭时,如图①,此时点 A 与点 O 重合, 撑杆 AB、BC 恰与滑道 OC 完全重合;当悬 窗完全打开时,如图②,此时撑杆 AB 与撑 杆 BC 恰成直角,即∠B = 90°,测量得 OA = 12 cm,撑杆 AB= 15 cm,求滑道 OC 的长度. 图① 图② 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 22 页 期中测前题组训练 3. 中档解答题组(针对 21-23 题) 满分:50 分 1. (10 分)(1)用“ = ”“ >”“ <”填空: 4+3　 　 　 2 4×3 , 1+ 1 6 　 　 　 2 1× 1 6 , 5+5　 　 　 2 5×5 . (2)由(1)中各式猜想 m+n 与 2 mn (m≥ 0,n≥0)的大小,并说明理由. (3)请利用上述结论解决下面问题: 某园林设计师要对园林的一个区域进行设 计改造,将该区域用篱笆围成矩形的花圃. 如图所示,花圃恰好可以借用一段墙体,为 了围成面积为 200 平方米的花圃,所用的篱 笆至少需要　 　 　 米. 2. (10 分)感知:如图①,在正方形 ABCD 中, 点 E 在对角线 AC 上(不与点 A、C 重合),连 接 ED,EB,过点 E 作 EF⊥ED,交边 BC 于 点 F. 易知∠EFC+∠EDC = 180°,进而证出 EB=EF. 探究:如图②,点 E 在射线 CA 上(不与点 A、C 重合),连接 ED、EB,过点 E 作 EF⊥ ED,交 CB 的延长线于点 F. 求证:EB=EF. 应用:如图②,若 DE = 2,CD = 1,则四边形 EFCD 的面积为　 　 　 　 . 　 　 　 　 　 　 　 图①　 　 　 　 　 　 图② 3. [传统文化] (10 分)我国是世界上最早发 明历法的国家之一. 《周礼》中记载:垒土为 圭,立木为表,测日影,正地中,定四时. 如图 1,圭是地面上一根水平标尺,指向正北,表 是一根垂直于地面的杆. 正午,表的日影 (即表影)落在圭上,根据表影的长度可以 测定节气. 在一次数学活动课上,要制作一 个圭表模型. 如图 2,地面上放置一根长 2 m 的杆 AB,向正北方向画一条射线 BC,在 BC 上取点 D,测得 BD = 1. 5 m,AD = 2. 5 m. 这 个模型中 AB 与 BC 是否垂直,请说明理由. 图 1 　 　 图 2 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 23 页 4. (10 分)如图,在菱形 ABCD 中,AB = 4 cm, ∠BAD= 60°. 动点 E、F 分别从点 B、D 同时 出发,以 1 cm / s 的速度向点 A、C 运动,连接 AF、CE,取 AF、CE 的中点 G、H,连接 GE、 FH. 设运动的时间为 t s(0<t<4) . (1)求证:AF∥CE; (2)当 t 为何值时,四边形 EHFG 为菱形. 　 　 备用图 5. (10 分)综合与实践 问题背景: 我们知道,三角形的中位线平行于三角形的 第三边,并且等于第三边的一半,如何证明 三角形中位线定理呢? 图 1 图 2 图 3 已知:如图 1,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、 AC 的中点. 求证:DE∥BC. DE= 1 2 BC. 思路分析: 问题中既要证明两条线段所在的直线平行, 又要证明其中一条线段的长等于另一条线 段长的一半,我们可以用“倍长法”将 DE 延 长一倍:即延长 DE 到 F. 使得 EF=DE,连接 FC,DC,AF,通过证明四边形 ADCF 与四边 形 DBCF 是平行四边形从而得出最后结论. 问题解决: (1)上述材料中“倍长法”体现的数学思想 主要是　 　 　 . (填入选项前的字母代号即 可) A. 数形结合思想　 　 　 B. 转化思想 C. 分类讨论思想　 　 　 D. 方程思想 (2)请根据以上思路分析,完成“三角形中 位线定理”的证明过程. 方法迁移: (3)如图 3,四边形 ABCD 和 DEFG 均为正 方形,连接 AG,CE,N 是 AG 的中点,连接 DN,已知线段 DN= 2,请求出线段 CE 的长. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 24 页 第七周　 函数(19. 1) 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:50 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列各图 y 是 x 的函数的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 2. 函数 y = x +2 x-1 的自变量 x 的取值范围 是(　 　 ) A. x≥-2 B. -2≤x<1 C. x>1 D. x≥-2 且 x≠1 3. [注重生活实践]游乐园里的大摆锤如图 1 所示,它的简化模型如图 2,当摆锤第一次 到达左侧最高点 A 点时开始计时,摆锤相对 地面的高度 y 随时间 t 变化的图象如图 3 所示. 摆锤从 A 点出发再次回到 A 点需要 (　 　 )秒. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 4. “龟兔赛跑” 讲述了这样的故事:领先的兔 子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一 觉. 当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是 急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了 终点,用 S1,S2 分别表示乌龟和兔子所行的 路程,t 为时间,则下列图象中与故事情节 相吻合的是(　 　 ) A. B. C. D. 5. [跨学科试题]某校八年级数学兴趣小组利 用同一块长为 1 米的光滑木板,测量小车从 不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所 用的时间,支撑物的高度 h( cm) 与小车下 滑时间 t(s)之间的关系如下表所示: 支撑物高 度 h(cm) 10 20 30 40 50 60 70 小车下滑 时间 t(s) 4. 23 3. 00 2. 45 2. 13 1. 89 1. 71 1. 59 根据表格所提供的信息,下列说法中错误的 是(　 　 ) A. 支撑物的高度为 50 cm,小车下滑的时间 为 1. 89 s B. 支撑物的高度 h 越大,小车下滑时间 越小 C. 若支撑物的高度每增加 10 cm,则对应的 小车下滑时间的变化情况都相同 D. 若小车下滑的时间为 2. 5 s,则支撑物的 高度在 20 cm 至 30 cm 之间 6. 如图 1,矩形 ABCD 中,点 E 为 BC 的中点, 点 P 沿 BC 从点 B 运动到点 C,设 B,P 两点 间的距离为 x,PA-PE = y,图 2 是点 P 运动 时 y 随 x 变化的关系图象,根据题意,下列 说法错误的是(　 　 ) 图 1 　 　 图 2 A. PA-PE≤AE　 　 B. AB-BE= 1 C. AE= 5 D. PA 最大时,y 值最大 二、填空题(每小题 3 分,共 12 分) 7. [跨学科试题]电流通过导线时会产生热量, 电流 I(单位:A)、导线电阻 R(单位:Ω)、通 电时间 t(单位:s)与产生的热量 Q(单位:J) 满足 Q = I2Rt. 已知导线的电阻为 9 Ω,1 s 时间导线产生 72 J 的热量,则电流的值 是　 　 　 　 A. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 25 页 8. [跨学科试题]宋代词人蒋捷曾在《一剪梅 ·舟过吴江》中提到:“流光容易把人抛. 红 了樱桃,绿了芭蕉”. 昭通鲁甸樱桃上市后, 每千克樱桃 16 元,则购买樱桃的费用 y (元) 与樱桃重量 x ( kg) 之间的关系式 是　 　 　 　 　 　 . 9. 按如图所示的程序计算 y 的值,若输入的 x 值为-3,则输出 y 的结果为　 　 　 . 10. 要围一个长方形菜园. 菜园的一边利用足 够长的墙,用 24 米长的篱笆围成的另外三 边,如图所示的矩形 ABCD,为了方便进 出,在 BC 边上留了一个 1 米宽的小门. 设 BC 边的长为 x 米,AB 边的长为 y 米,则 y 与 x 之间的关系式是　 　 　 　 　 　 　 　 . 三、解答题 11. (9 分)周末,小明坐公交车到滨海公园游 玩,他从家出发 0. 8 小时后达到中心书城, 逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公 园,小明离家一段时间后,爸爸驾车沿相同 的路线前往滨海公园. 如图是他们离家路 程 s(km)与小明离家时间 t(h)的关系图, 请根据图回答下列问题: (1) 图中自变量是 　 　 　 　 , 因变量 是　 　 　 　 ; (2)小明家到滨海公园的路程为　 　 　 km, 小明在中心书城逗留的时间为　 　 　 　 h; (3)小明出发 　 　 　 　 小时后,爸爸驾车 出发; (4)图中 A 点表示　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (5)小明从中心书城到滨海公园的平均速 度为　 　 　 　 km / h;小明爸爸驾车的平均 速度为　 　 　 　 km / h; (6)爸爸离家路程 s(km)与小明离家时间 t(h)之间的关系为　 　 　 　 　 　 　 　 ; 12. (11 分)有这样一个问题:探究函数 y = | x-1 | -2 的图象与性质. 乐乐根据学习一次函数的经验,对函数 y= | x-1 | -2 的图象与性质进行了探究. 下面是乐乐的探究过程,请补充完整: (1)下表是 x 与 y 的几组对应值 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … 2 m 0 -1 -2 -1 0 1 … m 的值为　 　 　 　 ; (2)在如图所示的平面直角坐标系中,描 出上表中各组对应值为坐标的点,并画出 该函数图象; (3) 结合函数图象,写出该函数的两条 性质. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 26 页 第八周　 一次函数(19. 2. 1-19. 2. 2) 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:60 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 下列函数中,y 是 x 的一次函数的是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. y= 2 x B. y= x2 +2 C. y= 3+2x D. y= - 5 x 2. 下面四个点中有一个点和其它三个点不在 同一个正比例函数图象上,这个点是(　 　 ) A. ( -1,2) B. (1,-2) C. ( -2,4) D. (2,-1) 3. (湖南三模)一次函数 y = (2m-1) x+3 的值 随 x 的增大而增大,则点 P( -m,m)所在象 限是(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 对于函数 y=2x-2,下列结论正确的是(　 　 ) A. 它的图象必经过点( -1,2) B. 当 x>1 时,y<0 C. y 的值随 x 值的增大而增大 D. 它的图象经过第一、二、三象限 5. (合肥三模)直线 l1:y = kx+b 和 l2:y = bx-k 在同一平面直角坐标系中的图象可能 是(　 　 ) A. B. C. D. 6. [注重传统文化]象棋起源于中国,中国象 棋文化历史悠久. 如图所示是某次对弈的残 图,如果建立平面直角坐标系,使棋子“帅” 位于点( - 2,- 1) 的位置,则在同一坐标系 下,经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次 函数解析式为(　 　 ) A. y= x+1 B. y= x-1 C. y= 2x+1 D. y= 2x-1 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 7. 若函数 y = (m+1)xm 2-3 是正比例函数,且图 象在第一、三象限,则 m= 　 　 　 　 . 8. 已知点 A( x1,y1 )、B( x1 - 3,y2 ) 在直线 y = -2x+3 上,则 y1 　 　 　 　 y2 . (选填“ >” “ <” 或“ = ”) 9. 若点(a,b)在一次函数 y = 3x-2 的图象上, 则 2b-6a+2 的值是　 　 　 　 . 10. 如图,三个正比例函数的图象分别对应的解 析式是:①y=ax,②y=bx,③y=cx,请用“>”表 示 a,b,c 的不等关系　 　 　 　 　 　 . 11. (深圳期末)在平面直角坐标系中,若将一 次函数 y= -2x+6 的图象向下平移 n(n>0) 个单位长度后恰好经过点( - 1,- 2),则 n 的值为　 　 　 　 . 三、解答题 12. (7 分)如图,一次函数的图象分别与 x 轴、 y 轴交于点 A(2,0),B(0,4) . (1)求一次函数的解析式. (2)在该一次函数图象上有一点 P 到 x 轴 的距离为 6,求点 P 的坐标. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 27 页 13. (10 分)已知直线 AB:y = kx+b 经过点 B (1,4)、A(5,0)两点,且与直线 y= 2x-4 交 于点 C. (1) 求直线 AB 的解析式并求出点 C 的 坐标; (2)求出直线 y = kx+b、直线 y = 2x-4 及 y 轴所围成的三角形面积; (3)现有一点 P 在直线 AB 上,过点 P 作 PO∥y 轴交直线 y = 2x- 4 于点 Q,若线段 PQ 的长为 3,求点 P 的坐标. 14. (10 分) (广东期末)阅读如下材料,然后 解答后面的问题: 已知直线 l1:y= -2x-2 和直线 l2:y= -2x+4 如图所示,可以看到直线 l1∥l2,且直线 l2 可以由直线 l1 向上平移 6 个单位长度得 到,直线 l2 可以由直线 l1 向右平移 3 个单 位长度得到. 这样,求直线 l2 的函数表达 式,可以由直线 l1 的函数表达式直接得 到. 即:如果将直线 l1 向上平移 6 个单位 长度后得到 l2, l2 的函数表达式为: y = -2x-2+6,即 y = -2x+4;如果将直线 l1 向 右平移 3 个单位长度后得到得 l2,l2 的函 数表达式为:y = - 2( x- 3) - 2,即 y = - 2x +4. (1)将直线 y = 2x- 3 向上平移 2 个单位 长度 后 所 得 的 直 线 的 函 数 表 达 式 是　 　 　 　 ; (2)将直线 y= 3x+1 向右平移 m(m>0)个 单位长度后所得的直线的函数表达式 是　 　 　 　 ; (3)已知将直线 y = 1 2 x+1 向左平移 n(n> 0)个单位长度后得到直线 y = 1 2 x+5,求 n 的值. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 28 页 第九周　 一次函数与方程、不等式(19. 2. 3-19. 3) 测试时间:40 分钟　 　 测试分数:55 分 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1. 一次函数 y=ax+b(a≠0)过点 A(0,1),B(2, 0),则关于 x 的方程 ax+b= 0 的解为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x= 0 B. x= 1 C. x= 2 D. x= 3 2. 已知直线 l1:y= kx+b 与直线 l2:y= -2x+4 交 于点 C ( m, 2), 则方程组 y= kx+b y= -2x+4{ 的解 是(　 　 ) A. x= 1 y= 2{ B. x= -1 y= 2{ C. x= 2 y= 1{ D. x= 2 y= -1{ 3. 如图,直线 y1 = kx 和直线 y2 = ax+b 相交于 点(1,2),则不等式组 ax+b>kx> 0 的解集 为(　 　 ) A. x<0 B. 0<x<1 C. x<1 D. x<0 或 x>1 4. (兰 州 模 拟) 已 知 关 于 x, y 的 方 程 组 y= -x+b y= -3x+2{ 的解是 x= -1 y=m{ ,则直线 y = - x+ b 与 y= -3x+2 的交点在(　 　 ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. (天津期末)如图,l1 反映了某公司的销售 收入(单位:元)与销售量(单位:t)的关系, l2 反映了该公司产品的销售成本(单位: 元)与销售量(单位:t)的关系,当该公司盈 利(收入大于成本)时,销售量应满足的范 围是(　 　 ) A. 小于 3 t B. 小于 4 t C. 大于 3 t D. 大于 4 t 第 5 题图 　 　 第 6 题图 6. 甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客,在草莓售 价相同的条件下,分别推出下列优惠方案:进 入甲园,顾客需购买门票,采摘的草莓按六折 优惠;进入乙园,顾客免门票,采摘草莓超过 一定数量后,超过的部分打折销售,活动期 间,某顾客的草莓采摘量为 x 千克,若在甲园 采摘需总费用 y1 元,在乙园采摘需总费用 y2 元. y1、y2 与 x 之间的函数图象如图所示,则 下列说法中错误的是(　 　 ) A. 乙园草莓优惠前的销售价格是 30 元 / 千克 B. 甲园的门票费用是 60 元 C. 乙园超过 5 千克后,超过部分的价格按 五折优惠 D. 顾客用 280 元在甲园采摘草莓比到乙园 采摘草莓更多 二、填空题(每小题 3 分,共 9 分) 7. 一次函数 y = kx+b(k≠0)中,x 与 y 的部分 对应值如表, x -2 -1 0 1 2 y 9 6 3 0 -3 则关于 x 的一元一次方程 kx+b = 0 的解为 　 　 　 　 . 8. 已知方程 2x+1 = -x+4 的解是 x = 1,则在同 一平面直角坐标系中直线 y= 2x+1 与 y= -x +4 的交点坐标是　 　 　 　 . 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 29 页 9. 已知一次函数 y= kx+b 的图象如图所示,当 x>1 时,y 的取值范围是　 　 　 　 　 . 三、解答题 10. (9 分)(杭州模拟)已知直线 y= kx+b 经过 点 A(8,0),B(4,4) . (1)求直线 AB 的解析式; (2)若直线 y= x-2 与直线 AB 相交于点 C, 求点 C 的坐标. (3)根据图象,写出关于 x 的不等式 x>kx+ b+2 的解集. 11. (9 分)如图,l1,l2 分别表示一种白炽灯和 一种节能灯的费用 y(费用=灯的售价+电 费,单位:元)与照明时间 x(h)之间的函数 图象, 假 设 两 种 灯 的 使 用 寿 命 都 是 2 000 h,照明效果一样. 根据图象解答下 列问题: (1)分别求出直线 l1 和直线 l2 的解析式. (2)当照明时间为多少时,两种灯的费用 相同? 12. (10 分)(河南三模)某园区准备进行二次 绿化,计划购进 A,B 两种绿化树,经调查 可知购进 5 棵 A 种绿化树和 10 棵 B 种绿 化树共需 1 100 元,购进 10 棵 A 种绿化树 和 8 棵 B 种绿化树共需 1 600 元. (1)求 A,B 两种绿化树每棵的价格; (2)若最终决定购买 A,B 两种绿化树共 24 棵,且 A 种绿化树的数量不少于 B 种绿化 树数量的 3 倍,请你设计一种费用最低的 购买方案,并求出最低费用. 追梦之旅铺路卷·铺路帮手·八年级下·RJ·数学　 第 30 页 (2)∵ AO= 6,BC = 10,∴ S△ABC = 1 2 ×6×10 = 30. ∵ 点 M(3,m) 在直线 AC 上,∴ m = 3 - 6 = - 3,∴ M (3,-3) . ∵ △CMN 的面积等于△ABC 面积的一 半,∴ S△CMN =S△CAN-S△NMA = 1 2 ×(6-n) ×6- 1 2 ×(6 -n) ×3 = 15,解得 n= -4; (3)5 2 　 【解析】如图 1,过 N 点 作 NG⊥AC 交于点 G,连接 BG. ∵ OA = OC = 6,∴ AC = 62 +62 = 6 2 ,∠OAC= 45°,∴ NG = 2 2 AN, ∴ 2 2 AN+BN = NG+BN≥BG,当 BG 最小时, 2 2 AN+BN 的值最小,此时 BG⊥AC, ∵ S△ABC = 1 2 ×6×10 = 30,∴ 30 = 1 2 ×6 2 ×BG,解得 BG= 5 2 ,∴ 2 2 AN+BN 的最小值为 5 2 ; (4) -6　 【解析】设 D( x,y),如 图 2,当 D 点在线段 AB 上时,过 点 D 作 EF∥x 轴,过点 N 作 NE ⊥EF 交于 E 点,过点 M 作 MF ⊥ EF 交 于 点 F. ∵ ∠MDN = 90°,∴ ∠EDN+∠MDF = 90°. ∵ ∠NDE+∠DNE= 90°,∴ ∠MDF = ∠DNE. ∵ ND = MD,∴ △DEN≌△MFD(AAS),∴ DE =MF,DF = NE,∴ x-n= y+3,3-x= y,∴ x= 3 + 1 2 n, y = - 1 2 n,∴ D ( 3 + 1 2 n, - 1 2 n) . ∵ D 点在线段 AB 上, ∴ - 2 3 (3+ 1 2 n) +4 = - 1 2 n,解得 n= -12,∴ D(-3,6),此时 D 点不在线段 AB 上, 舍去;如图 3,当 D 点在线段 BC 上时,D 点横坐 标为 0,同理可得-n= y+3,y= 3,∴ n= -6. 23. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠BAD = 90°,AB=AD,∴ ∠BAG+∠DAE = 90°. ∵ DE⊥AG, ∴ ∠AED= ∠DEF = 90°,∴ ∠DAE+∠ADE = 90°, ∴ ∠ADE = ∠BAG. ∵ BF∥DE,∴ ∠AFB = ∠DEF = 90°, ∴ ∠AED = ∠AFB, ∴ △ADE ≌ △BAF (AAS),∴ BF=AE,∴ AF-BF=AF-AE=EF; (2)解:AF+BF=EF,理由如下:∵ AB = AD,∠AED = 90°, ∠BAD = 90°, ∴ ∠BAF + ∠DAE = 90°, ∠DAE+ ∠ADE = 90°,∴ ∠BAF = ∠ADE. ∵ BF∥ DE,∴ ∠AFB = 180°-∠E = 90°,∴ ∠E = ∠AFB, ∴ △ADE≌△BAF(AAS),∴ AE =BF,∴ AF+BF = AF+AE=EF; (3) △ABE 的面积为 8 　 【解析】如 图,作 BF∥DE,由(1)得:BF = AE = 4,∴ S△ABE = 1 2 AE·BF= 1 2 ×4×4 = 8. 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂《铺路帮手》答案 第一周　 二次根式 1. C　 2. B 3. C　 【解析】由题意,得 x= 1,y = 3 -1,∴ 原式 = 3 -( 3 -1)= 1. 故选 C. 4. B　 【解析】由题意得,x-4≥0,5-x≥0,解得,4≤x ≤5,则 x 可取的整数是 4,5,共 2 个. 故选 B. 5. A 6. D　 【解析】由题意,得 a2 +2a+ n-2 = -1,∴ (a+ 1) 2 + n-2 = 0,∴ a= -1,n= 2,∴ 当 x = -a 时,原式 =(-a) 2 -2a+ n-2 = 1+2+0 = 3. 故选 D. 7. D　 8. x≥- 3 2 　 9. 4　 10. 2 11. a　 【解析】由数轴可知:a<b<0<c<-b,∴ b+c<0,c -a>0,∴ 原式= | b | - | b+c | - | c-a | = -b+b+c-c+a =a. 12. 解:(1)原式= 2 3 -3-2 3 -1 = -4; (2)原式= ( 5 ) 2 -22 + 2 +2 2 = 1+3 2 ; (3)原式 = 2 +( 2 - 1 2 + 2 + 1 2 ) ×( 2 - 1 2 - 2 - 1 2 )= 2 +2 2 ×( -1)= - 2 . 13. 解:a= 1 2- 3 = 2+ 3 (2- 3 )(2+ 3 ) = 2+ 3 ,则 1 a = 2- 3 . ∴ 原式= (a -1) 2 a-1 - (a-1) 2 a(a-1) = a-1- 1 a = 2+ 3 -1-2+ 3 = 2 3 -1. 14. 解:任务一:二 　 去括号时,括号前是负,没有各 项都改变符号 任务二: 48 - 1 2 ×( 12 - 75 )= 4 3 - 1 2 ×(2 3 -5 3 ) = 4 3 - 3 +5 3 2 = 3 3 +5 3 2 = 11 3 2 ; 任务三:在进行二次根式运算时,结果必须化成 最简二次根式. 15. 解:( 10 +2 5 ) ×2 5 -(2 3 ) 2 = 10 2 +8. 即剩余 部分的面积为 10 2 +8. 16. 解: r = 2π 0. 5 9. 8 = π 7 10 ≈ 3. 16 × 3. 14 7 ≈ 1. 42 (s),60÷1. 42≈42(次). 即在 1 min 内,该座钟发 出约 42 次滴答声. 第二周　 勾股定理 1. C 2. C　 【解析】在 Rt△ABC 中,由勾股定理得,AC2 + BC2 = AB2 = 36. ∵ △AFC 和△CBE 是等腰直角三 角形,∴ S1 +S2 = 1 2 AC2 + 1 2 BC2 = 1 2 ×36 = 18. 故选 C. 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 27 页 3. C　 【解析】由题意得,BC = AB = 1,由勾股定理得, AC= AB2 +BC2 = 2 ,则 AM = 2 ,∴ 点 M 对应的 数是 2 +1. 故选 C. 4. C　 5. A　 6. D 7. A　 【解析】∵ A(6,0),B(-4,0),∴ AO= 6,BO= 4, ∴ AB= 10. ∵ 以点 A 为圆心,以 AB 长为半径画弧, ∴ AB = AC = 10,由勾股定理得:OC = AC2 -OA2 = 8. ∵ 交 y 轴正半轴于点 C,∴ 点 C 的坐标为(0, 8) . 故选 A. 8. 8　 【解析】过点 D 作 DE⊥BC 于 E,在 Rt△ABD 中,∠A= 90°,AB = 3,BD = 5,则 AD = BD2 -AB2 = 4. ∵ BD 平分∠ABC,∠A = 90°,DE⊥BC,∴ DE = AD= 4,∴ S△DBC = 1 2 ×4×4 = 8. 9. 5 或 7 　 【解析】由题意,得 x = 3,y = 4. 当 y = 4 是 直角边时,第三边为 32 +42 = 5. 当 y = 4 是斜边 时,第三边为 42 -32 = 7 . 10. 13 11. 18 3 -18　 【解析】在题图 1 中,过点O 作OC⊥AB 于点 C. ∵ OA=OB= 18 cm,∠AOB= 120°,∴ ∠AOC = 60°. ∴ ∠OAC= 30°. ∴ OC = 1 2 OA = 9 cm. ∴ AC = OA2 -OC2 = 9 3 cm. ∴ AB = 2AC = 18 3 cm. 在题 图 2 中,∵ OA =OB,∠AOB = 60°,∴ △AOB 是等边 三角形,∴ AB=OA =OB = 18 cm. 故扩大了(18 3 - 18)cm. 12. 解:∵ DC⊥BC,AE⊥DE,∴ ∠C = ∠AED = 90°,在 Rt△CDE 中,由勾股定理得:DE = CD2 +CE2 = 32 +42 = 5,在 Rt△ADE 中,由勾股定理得:AD = AE2 +DE2 = 122 +52 = 13,即 AD 的长为 13. 13. 解:△ACF　 S正方形ACED = 2S△ADB 　 S△ACF 　 S长方形BHGP 第三周　 勾股定理的逆定理 1. A　 2. B　 3. D　 4. D 5. A　 【解析】由题意,得 a-10 = 0,b-8 = 0,c-6 = 0, ∴ a= 10,b = 8,c = 6. ∵ 62 +82 = 102,∴ △ABC 是直 角三角形(a 为斜边) . 故选 A. 6. C 7. C　 【解析】∵ AD2 +BD2 = 1202 +502 = 16 900,AB2 = 16 900,∴ AD2 +BD2 = AB2,∴ △ABD 是直角三角 形,∠ADB= 90°,∴ ∠ADC = 180°-∠ADB = 90°,∴ CD= AC2 -AD2 = 90 米∴ BC = 50+90 = 140(米), ∴ BC 的长是 140 米. 故选 C. 8. 7 6 　 【解析】设 AB= AC = a. ∵ BC = 5,CD = 4,BD = 3,∴ BD2 +CD2 = BC2,∴ ∠BDC = 90°,∴ ∠ADC = 90°,在 Rt △ADC 中,由勾股定理得:AC2 = AD2 + CD2,∴ a2 = (a- 3) 2 + 42,∴ a = 25 6 ,∴ AD = 25 6 - 3 = 7 6 . 9. (11,60,61) 10. (1)证明:∵ BD = 6,AD = 8,∴ BD2 +AD2 = 62 +82 = 100. ∵ AB = 10,∴ BD2 +AD2 = AB2,∴ △ABD 是直 角三角形; (2)解:根据(1)得,△ABD 是直角三角形,∠ADB = 90°,∴ ∠ADC= 90°,在 Rt△ADC 中,AD2 +CD2 = AC2 . ∵ AD= 8,AC= 17,∴ CD = 15. ∵ BD = 6,∴ BC =BD+CD= 21. 11. 解:由题意得 PQ = 16×1. 5 = 24(海里),PR = 12× 1. 5 = 18(海里),QR= 30 海里. ∵ PQ2 +PR2 = 242 + 182 = 900,QR2 = 900,∴ PQ2 +PR2 =QR2,∴ △PQR 是直角三角形,且∠QPR = 90°. ∵ ∠SPQ= 61°,∴ ∠SPR= 90°-61° = 29°. 即“综合执法 2 号”轮船 的航行方向是北偏西 29°. 12. 解:(1)因为 3002 +4002 = 5002,即 AC2 +BC2 =AB2, ∴ △ABC 是直角三角形,∴ ∠ACB= 90°; (2)海港 C 受台风影响,理由如下:过点 C 作 CD ⊥AB, ∵ △ABC 是直角三角形,∴ 300×400 = 500×CD,∴ CD= 240 km. ∵ 以台风中心为圆心周围 250 km 以内为受影响区域,∴ 海港 C 受台风影响;当 EC = 250 km,FC = 250 km 时,正好影响 C 港口. ∵ ED= EC2 -CD2 = 70 km,∴ EF = 140 km. ∵ 台风 的速度为 20 千米 /小时,∴ 140÷20 = 7(小时),即 海港 C 受台风影响;海港 C 受台风影响的时间会 持续 7 小时. 教材习题变式 1　 勾股定理的证明 1. 解:选择的是图 2, 证明:∵ S大正方形 = c2,S大正方形 = 4S三角形 +S小正方形 = 4 × 1 2 ab+(b-a) 2,∴ c2 = 4× 1 2 ab+(b-a) 2,整理得 c2 = 2ab+b2 -2ab+a2,∴ c2 =a2 +b2 . 2. 解:∠DAE　 ∠BAC　 90° 1 2 c2 + 1 2 a(b-a) S四边形ADCB =S△ADC+S△ABC = 1 2 b2 + 1 2 ab　 c2 =a2 +b2 3. 证明:连接 AC、CF、AF. 由上图我们根据梯形的面积公式可知,S梯形ABEF = 1 2 (a+c) ( a+ c) = 1 2 ( a+ c) 2 . 从上图我们还发现 S梯形ABEF =S△ABC+S△CEF +S△ACF = 1 2 ac+ 1 2 ac+ 1 2 b2 . 则 1 2 (a+c) 2 = 1 2 ac+ 1 2 ac+ 1 2 b2,化简即可得:a2 +c2 = 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 28 页 b2 . 4. C　 【解析】图①的面积可表示为:c2 或 1 2 ab×4+(b -a) 2,即 c2 = 2ab+b2 -2ab+a2,∴ c2 = a2 +b2;图②的 面积可表示为:(a+b) 2 或 1 2 ab×4+c2,即(a+b) 2 = 1 2 ab×4+c2,∴ a2 +b2 = c2;图③不能证明勾股定理; 图④的面积可表示为:c2 + 1 2 ab×2 或 a2 +b2 + 1 2 ab× 2,即 c2 + 1 2 ab×2 = a2 +b2 + 1 2 ab×2,∴ c2 = a2 +b2;图 ⑤的面积可表示为:(a +b)·(a+b) 2 或 1 2 c2 + 1 2 ab× 2,即为(a +b)·(a+b) 2 = 1 2 c2 + 1 2 ab×2,∴ a2 +b2 = c2;图⑥中△ABD 的面积可表示为: 1 2 c2 或 1 2 ab×2 +b(b-a)- 1 2 (a+b)(b-a),即 1 2 c2 = 1 2 ab×2+b(b- a)- 1 2 (a+b)(b-a),∴ c2 = a2 +b2;图⑦不能证明勾 股定理;∴ 能用来证明勾股定理的有①②④⑤⑥ 共 5 个. 故选 C. 教材习题变式 2　 与勾股定理有关的计算 1. 解:∵ 在正方形 ABCD 中,点 E 为 BC 的中点,AB = 4,∴ ∠B= ∠C = ∠D = 90°,BE = EC = 2,AB = CD = AD= 4,设 CF=a,则 FD = 4-a,在 Rt△ABE 中,AE2 =AB2 +BE2 = 16+4 = 20,在 Rt△CEF 中,EF2 =CE2 + CF2 = 4+a2,在 Rt△ADF 中,AF2 = AD2 +FD2 = 16 + (4-a) 2,又∵ AE⊥EF,∴ 在 Rt△AEF 中,AF2 = AE2 +EF2,即 16+(4-a) 2 = 20+4+a2,解得 a= 1,∴ CF = 1 4 CD. 2. 解:( 1) ∵ 四边形 ABCD 是长方形,∴ AD = BC = 10 cm,∠B= 90°. ∵ 根据折叠得出 AF=AD= 10 cm, 在 Rt△ABF 中,由勾股定理得:BF = AF2 -AB2 = 6 cm,∴ FC=BC-BF= 10-6= 4 (cm); (2)∵ 四边形 ABCD 是长方形,∴ AB = CD = 8 cm, ∠D= 90°. ∵ 根据折叠得出 DE=EF,设 EC = x cm, 则 DE = ( 8 - x) cm,在 Rt △ECF 中,CE2 +CF2 = EF2,x2 + (10 - 6) 2 = (8 - x) 2,解得 x = 3,即 EC = 3 cm. ∴ DE=EF= 5 cm. 3. C　 【解析】过点 O 作 OC⊥AB,交圆 O 于点 P,交 AB 于点 C,当点 M 与点 P 重合,点 N 与点 C 重合 时,MN 长度的最小值即为线段 PC 的长度. ∵ ∠AOB= 90°,∠BAO = 30°,BO = 6,∴ AB = 2BO = 12,∴ AO= AB2 -BO2 = 6 3 ,∴ 1 2 AO×BO = 1 2 AB× OC,解得 OC= 3 3 . 设半径为 r,πr2 = 12π,则 r = 2 3 ,即 OP= 2 3 ,PC = OC-OP = 3 ,即 MN 长度的 最小值为 3 . 故选 C. 4. 解:(1) 10 　 10 　 2 5 　 AB2 +BC2 = AC2 　 勾股 定理的逆定理 (2)过 A 点作 AD⊥BE 于 D,过 C 作 CE⊥DB 于 E,由图可知:AD = BE,BD = CE, ∠ADB = ∠BEC = 90°,在△ADB 和△BEC 中,AD = BE,∠ADB= ∠BEC,BD = CE, ∴ △ADB≌ △BEC (SAS),∴ ∠ABD = ∠BCE,在△BEC 中,∠BEC + ∠BCE+ ∠EBC = 180°,∴ ∠BCE + ∠EBC = 180° - ∠BEC= 90°,∴ ∠ABD+∠EBC = 90°. ∵ D,B,E 三 点共线,∴ ∠ABD+∠EBC+∠ABC = 180°,∴ ∠ABC = 180°-(∠ABD+∠EBC)= 90°,∴ ∠ABC 是直角. 第四周　 平行四边形 1. D　 2. B 3. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD= BC,DC∥AB,∴ ∠CMB= ∠MBA. ∵ BM 是∠ABC 的 平分线,∴ ∠CBM = ∠MBA,∴ ∠CMB = ∠CBM, ∴ CM=BC= 2. ∵ AD+DC= 7,∴ DC= 5,∴ DM = 5-2 = 3. 故选 C. 4. B 5. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ CD,AD∥BC,∴ ∠BCD + ∠B = 180°, ∴ ∠BCD = 180°- 46° = 134°. ∵ CE 平分 ∠BCD,∴ ∠BCE = 1 2 ∠BCD= 67°,∴ ∠AEC = 180°- 67° = 113°. 故选 B. 6. C　 7. C 8. B　 【解析】由题意,得 O 为 BD 的中点,AD+AB = 18. 又∵ E 是 AD 的中点,∴ OE 为△ABD 的中位 线,AE= 1 2 AD,∴ OE = 1 2 AB. ∴ OE+AE = 1 2 × 18 = 9(cm) . 故选 B. 9. ∠1 = ∠2(答案不唯一) 10. 12 11. ( -2,-1)或(2,-1)或(2,5) 　 【解析】由题意,得 AB= 2,OA= 2,OC = 1,①AC 为对角线时,CD = AB = 2,∴ 点 D 的坐标为( -2,-1);②BC 为对角线 时,AB = CD = 2,∴ 点 D 的坐标为(2,- 1);③AB 为对角线时,BD = AC = 3,∴ 点 D 的坐标为(2, 5) . 12. 证明:(1)∵ M、F 分别是 BC、CD 的中点,∴ MF∥ BD,MF= 1 2 BD,同理:ME∥AC,ME= 1 2 AC. ∵ AC= BD,∴ ME=MF,即△MEF 是等腰三角形; (2)∵ ME = MF,∴ ∠MEF = ∠MFE. ∵ MF∥BD, ∴ ∠MFE = ∠OGH, 同 理, ∠MEF = ∠OHG, ∴ ∠OGH= ∠OHG,∴ OG=OH. 13. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB = CD,AB ∥CD, ∴ ∠ABE = ∠CDF, 在 △ABE 和 △CDF 中, ∠AEB= ∠CFD ∠ABE= ∠CDF AB=CD { , ∴ △ABE ≌ △CDF 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 29 页 (AAS),∴ AE=CF,∵ ∠AEB = ∠CFD,∴ ∠AEO= ∠CFO,∴ AE∥CF,∴ 四边形 AECF 是平行四边 形; (2) 解:∵ 四边形 AECF 是平行四边形,EF = 2, ∴ OE= OF = 1,OA = OC. ∵ ∠AEB = 90°,AE = 2, ∴ OA= AE2 +OE2 = 22 +12 = 5 ,∴ AC = 2OA = 2 5 . 14. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,对角线 AC,BD 交于点 O,∴ AD∥BC,OA=OC,∴ ∠OAE = ∠OCF,在△AOE 和△COF 中, ∠OAE= ∠OCF OA=OC ∠AOE= ∠COF { , ∴ △AOE≌△COF(ASA) . (2)在△ABC 和△CDA 中, AB=CD BC=DA AC=CA { ,∴ △ABC≌ △CDA ( SSS ), ∴ S△ABC = S△CDA = 1 2 S▱ABCD, ∵ △AOE ≌ △COF, ∴ S△AOE = S△COF, ∴ S四边形ABFE = S△四边形ABFO +S△AOE = S△四边形ABFO +S△COF = S△ABC = 1 2 S▱ABCD,∴ S1 = 1 2 S2 . 教材习题变式 3　 平行四边形的判定与性质 1. 证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ OA = OC, OB=OD. ∵ BF = DH,∴ OH = OF,∵ OA = OC,OH = OF,∴ 四边形 AFCH 为平行四边形. 2. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ OA = OC. ∵ AF ⊥ BD、 CH ⊥ BD, ∴ AF∥CH, ∠AFH = ∠CHB = 90°. ∵ ∠AOF = ∠COH, ∴ △AOF ≌ △COH(AAS),∴ AF=CH. (2)解:∵ AF∥CH,AF = CH,∴ 四边形 AFCH 为平 行四边形. ∴ OF=OH. ∵ FH= 12,∴ OF = 6. ∵ AF = 8,∠AFH= 90°,∴ AO = AF2 +OF2 = 82 +62 = 10, ∴ AC= 20. 3. 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD = BC, AD∥BC,∴ ∠EDH = ∠FBG. ∵ E,G 分别为 AD,BC 的中点,∴ DE=AE= 1 2 AD,BG =CG = 1 2 BC,∴ DE = BG,在 △DHE 和 △BFG 中, DE = BG, ∠EDH = ∠FBG,DH= BF,∴ △DHE≌△BFG( SAS),∴ EH =FG,∠EHD = ∠GFB,∴ ∠EHF = ∠HFG,∴ EH∥ FG,∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 4. 证明:∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AD∥BC. ∴ ∠EAO= ∠GCO. ∵ O 为 AC 的中点,∴ OA =OC. 在△OAE 和△OCG 中,∠EAO = ∠GCO,OA = OC, ∠AOE= ∠COG,∴ △OAE≌△OCG(ASA) . ∴ OE = OG. 同理可证得 OF =OH. ∴ 四边形 EFGH 是平行 四边形. 5. 证明:△ABC 的边 AC、AB 上的中线 BD、CE 相交于 点 O,M、N 分别是 BO、CO 的中点,∴ ED∥BC 且 ED= 1 2 BC,MN∥BC 且 MN = 1 2 BC,∴ ED∥MN 且 ED=MN,∴ 四边形 MNDE 是平行四边形. 6. (1)解:∵ 在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,点 E,F 在 AC 上,点 G,H 在 BD 上, ∠ADC= 60°,∠CAD= 50°,∴ ∠ACD = 180°-∠ADC -∠CAD = 70°. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AD∥BC,AB∥CD,∴ ∠BCA= ∠CAD= 50°,∠BAC = ∠ACD= 70°,∴ ∠BCD= ∠BCA+∠ACD= 120°; (2)证明:∵ 四边形 EHFG 和四边形 ABCD 是平行 四边形,∴ OE =OF,OA =OC,∴ OA-OE = OC-OF, 即 AE=CF. 7. (1) 证明:在▱ABCD 中. ∵ AD∥BC,AO = CO, ∴ ∠EAO = ∠FCO, ∠AEO = ∠CFO, 在 △EAO 和 △FCO 中,∠AEO = ∠CFO,∠EAO = ∠FCO,AO = CO,∴ △EAO≌△FCO( AAS),∴ EA = FC,又∵ EA ∥FC,∴ 四边形 AECF 是平行四边形; (2) 5 3 　 【解析】 ∵ S△AOB = 1 2 S△ABD = 1 4 S▱ABCD, S四边形AGOE = 1 4 S▱ABCD,∴ S△AOB = S四边形AGOE,即 S△AOG + S△BOG = S△AOG + S△AOE, ∴ S△BOG = S△AOE, ∵ S△AOB = S△AOD,∴ S△BOG S△AOB = S△AOE S△AOD . ∵ S△BOG S△AOB = BG AB , S△AOE S△AOD = AE AD , ∴ AE=BG·AD AB = 1×5 3 = 5 3 . 第五周　 矩形 1. B 2. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AC = 2AO, BD= 2BO,AC = BD = 4,∴ AO = OB = 2. ∵ ∠AOB = 60°,∴ △AOB 是等边三角形,∴ AB = 2,∴ AD = BD2 -AB2 = 2 3 . 故选 C. 3. C 4. D　 【解析】∵ D、E 分别是 BC,AB 的中点,∴ DE 为 △ABC 的 中 位 线. ∵ ED = 6 cm, ∴ AC = 2DE = 12 cm. ∵ AH⊥CD,且 F 为 AC 的中点,∴ HF = 1 2 AC= 6 cm. 故选 D. 5. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ DC=AB= 8, AD=BC = 4,∠D= 90°,AB∥DC,∴ ∠BAC = ∠FCA, 由折 叠 的 性 质 得: ∠FAC = ∠BAC, ∴ ∠FCA = ∠FAC,∴ AF = CF,设 AF = CF = x,DF = 8 - x,在 Rt△ADF 中,根据勾股定理得:AD2 +DF2 = AF2,即 42 +(8-x) 2 = x2,解得 x= 5,∴ S△AFC = 1 2 CF×AD = 1 2 ×5×4 = 10. 故选 B. 6. C 7. 107° 　 【解析】设 DE 与 AC 交于点 G. ∵ 四边形 ABCD 是矩 形, ∴ ∠ADC = 90°. ∵ ∠BAC = 56°, ∴ ∠DAC= 90°-56° = 34°. ∵ DE⊥AC,∴ ∠DGA = ∠DGC= 90°,∴ ∠ADE= 56°,∴ ∠CDE= 90°-56° = 34°. ∵ 将矩形一边 DC 沿直线 DF 折叠,使点 C 落 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 30 页 在点 E 上,∴ ∠EDO = ∠CDO = 17°,∴ ∠COD = ∠DGC+∠EDO= 107°. 8. 6 2 　 【解析】 ∵ ∠ACB = 90°,∠BCD = 3 ∠ACD, ∴ ∠ACD= 22. 5°. ∵ CD⊥AB,∴ ∠ACD+∠A= 90°. ∵ ∠A+∠B= 90°,∴ ∠B = ∠ACD = 22. 5°. ∵ 点 E 是 AB 的中点,∴ CE =BE = 1 2 AB,∴ ∠BCE = ∠B = 22. 5°,∴ ∠DCE = 45°. ∵ ∠CDE = 90°,∴ CD = DE = 3,∴ CE= CD2 +DE2 = 3 2 ,∴ AB= 2CE= 6 2 . 9. 18 5 　 【解析】连接 AD、EF. ∵ ∠BAC = 90°,且 BA = 9,AC= 12,∴ BC = 92 +122 = 15. ∵ DE⊥AB,DF⊥ AC,∴ ∠DEA = ∠DFA = ∠BAC = 90°, ∴ 四边形 DEAF 是矩形,∴ EF = AD,∴ 当 AD⊥BC 时,AD 的 值最小,此时,S△ABC = 1 2 AB×AC= 1 2 BC×AD,∴ AD= 36 5 ,∴ EF 的最小值为36 5 . ∵ 点 G 为四边形 DEAF 对角线交点,∴ GF= 1 2 EF= 18 5 . 10. 12 5 或 4 5 　 【解析】过点 Q 作 QH⊥AB 于 H,则 QH =AD= 3cm. ∵ PQ= 5cm,∴ PH= PQ2 -QH2 = 4cm, 当点 P 在点 Q 右侧时,则 3t-4 = 8-2t,∴ t = 12 5 ;当 点 P 在点 Q 左侧时,则 3t+4 = 8-2t,∴ t= 4 5 . 11. (1)证明:连接 DE. ∵ E,F 分别是边 AC,BC 的中 点,∴ EF∥AB,EF = 1 2 AB. ∵ 点 D 是边 AB 的中 点,∴ AD= 1 2 AB. ∴ AD=EF. ∴ 四边形 ADFE 为平 行四边形;∵ 点 D,E 分别是边 AB,AC 的中点,∴ DE= 1 2 BC. ∵ BC= 2AF,∴ DE = AF,∴ 四边形 AD- FE 为矩形; (2) 解: ∵ 四边形 ADFE 为矩形, ∴ ∠BAC = ∠FEC= 90°. ∵ AF = 2,∴ BC = 4,CF = 2. ∵ ∠C = 30°,∴ AB= 2,EF= 1,∴ AC = BC2 -AB2 = 2 3 ,∴ AE= 3 ,∴ 矩形 ADFE 的周长= 2 3 +2. 12. 解:(1)平行四边形　 对角线相等的平行四边形 是矩形 (2)已知:AB = CD,AD = BC,AC = BD; 求证:四边形 ABCD 是矩形; 证明:∵ AB=CD,AD=BC,∴ 四边 形 ABCD 是平行四边形. ∴ AO = CO,BO=DO. 又∵ AC = BD,∴ OA =OC =OB =OD, ∴ ∠OAB = ∠OBA, ∠OBC = ∠OCB. ∵ ∠OAB + ∠OBA+∠OBC+∠OCB = 180°,∴ ∠OBA+∠OBC = 90°,∴ 四边形 ABCD 是矩形. ∴ 对角线相等的 平行四边形是矩形. 第六周　 菱形、正方形 1. B　 2. D 3. B 　 【解析】 ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ ∠ADO = 1 2 ∠ADC= 60°,AC⊥BD,∴ ∠AOD = 90°,∴ ∠DAO = 30°,∴ AD = 2OD = 6,∴ AO = AD2 -OD2 = 3 3 , ∴ BD= 2OD= 6,AC = 2AO = 6 3 ,∴ S菱形ABCD = 1 2 AC ·BD= 18 3 . 故选 B. 4. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AB = BC = CD = AD,AC⊥BD. ∵ E 为 AD 边中点,∴ OE 是 Rt△AOD 斜边的中线,∴ AD= 2OE= 7,∴ 菱形的周 长为 4×7 = 28. 故选 B. 5. A　 【解析】∵ AC 是正方形的对角线,∴ ∠ACD = ∠ACB= 45°,∴ ∠ACE = ∠ACD+∠DCE = 135°,又 ∵ CE= AC,∴ ∠CEF = 22. 5°,∴ ∠AFC = 90°+ 22. 5° = 112. 5°. 故选 A. 6. A　 【解析】由折叠可得,△EOC≌△EBC,∴ CB = CO. ∵ 四边形 AECF 是菱形,∴ AO = CO,AE = CE. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠B = 90°,设 BC = x,则 AC= 2x. ∵ 在 Rt△ABC 中,AC2 =BC2 +AB2,∴ (2x) 2 = x2 +32,解得 x= 3 ,∴ BC = 3 ,设 BE = a,则 AE = CE= 3 -a,在 Rt△BCE 中,BE2 +BC2 = CE2,∴ a2 + ( 3 ) 2 =(3-a) 2,∴ a= 1,即 BE= 1. 故选 A. 7. ①③(答案不唯一) 8. (3,2 2 )　 【解析】∵ 点 A,B 的坐标分别为(2,0), (-1,0),∴ OA= 2,OB = 1,AB = 3. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD = AB = CD = 3,在 Rt△BOC 中,OC = BC2 -OB2 = 2 2 ,∴ C(0,2 2 ),∴ D(3,2 2 ) . 9. 105° 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD,∠BAD= 90°. ∵ △ABE 为等边三角形,∴ AE = BE=AB,∠EAB = 60°,∴ AE = AD,∠EAD = ∠BAD- ∠BAE= 30°,∴ ∠AED= ∠ADE= 1 2 ×(180°-30°)= 75°,∴ ∠DEF= 180°-75° = 105°. 10. 16　 【解析】连接 BD 交 AC 于点 O. ∵ 四边形 AB- CD 为正方形,∴ BD⊥ AC,OD = OB = OA = OC. ∵ AE=CF= 2,∴ OE=OF,∴ 四边形 BEDF 为平行 四边形,且 BD⊥EF,∴ 四边形 BEDF 为菱形, ∴ DE=DF=BE=BF. ∵ AC=BD= 8,EF = 8-2-2 = 4,∴ S菱形BEDF = 1 2 ×EF×BD= 16. 11. 8　 【解析】 连接 AP,由题意,得 AB = AD = 10, S△ABD = 1 2 ×80 = 40. ∵ 分别作 P 点到直线 AB、AD 的垂线段 PE、PF,∴ S△ABD =S△ABP+S△ADP = 1 2 ×AB× PE+ 1 2 ×PF×AD= 40,即 1 2 ×10×(PE+PF)= 40,解 得 PE+PF= 8. 12. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ BC∥ 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 31 页 AD,BC=AD. ∵ E,F 分别是 BC,AD 的中点,∴ BE = 1 2 BC,AF= 1 2 AD,∴ BE=AF,∴ 四边形 ABEF 是 平行四边形. ∵ BC = 2AB,∴ AB =BE,∴ 平行四边 形 ABEF 是菱形; (2)解:过点 O 作 OG⊥BC 于点 G,∵ E 是 BC 的 中点,BC = 2AB, ∴ BE = CE = AB = 4. ∵ 四边形 ABEF 是 菱 形, ∠ABC = 60°, ∴ ∠OBE = 30°, ∠BOE= 90°,OE = 2,∴ ∠OEB = 60°,∴ ∠EOG = 30°,∴ GE= 1,OG= 3 ,∴ GC=GE+CE= 5,∴ OC= OG2 +GC2 = 2 7 . 13. 【感知】①PE=PD　 ②PE⊥PD 【探究】PE 与 PD 的数量关系和位置关系为:PE =PD,PE⊥PD,理由如下:设 PE 交 CD 于 F. ∵ 四 边形 ABCD 是正方形,∴ 直线 AC 是正方形 ABCD 的对称轴,B 与 D 是一对对应点,BC = CD,∴ PD =PB. ∵ PB = PE,∴ PD = PE,∠PBC = ∠PEB,在 △CBP 和△CDP 中,BC = CD,PB = PD,PC = PC, ∴ △CBP ≌ △CDP ( SSS ), ∴ ∠PBC = ∠PDF, ∴ ∠PDF= ∠PEB. ∵ ∠PFD = ∠CFE, ∴ 180° - ∠PFD-∠PDC = 180°-∠CFE-∠PEB,即∠DPF = ∠ECF. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠ECF = ∠BCD= 90°,∴ ∠DPF= 90°,∴ PD⊥PE. 教材习题变式 4　 特殊平行四边形的折叠问题 1. 解:四边形 BGHM 为菱形,理由:连接 AN,由折叠 可得,EF 垂直平分 AB,∴ AN=BN,由折叠可得,AB =NB,∴ AB = BN = AN,∴ △ABN 是等边三角形, ∴ ∠ABM= ∠MBN = 30°. ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ ∠A = ∠ABC = 90°, ∴ ∠AMB = ∠BMN = 60°, ∠MBG = 60°, ∴ △BMG 是等边三角形, ∴ BM = BG,由折叠得 BM=MH,BG=GH,∴ BM=MH=BG= GH,∴ 四边形 BGHM 是菱形. 2. 解:(2)①30 ②∠MBQ= ∠CBQ,理由如下:∵ 四边形 ABCD 是 正方形,∴ AB = BC,∠BAD = ∠C = 90°,由折叠可 得:AB = BM, ∠BAD = ∠BMP = 90°, ∴ BM = BC, ∠BMQ= ∠C = 90°,又∵ BQ = BQ, ∴ Rt △BCQ≌ Rt△BMQ(HL),∴ ∠MBQ= ∠CBQ; ③40 11 或 24 13 　 【解析】由折叠的性质可得 DF = CF = 4,AP=PM. ∵ Rt△BCQ≌Rt△BMQ,∴ CQ=MQ,当 点 Q 在线段 CF 上时. ∵ FQ= 1,∴ MQ=CQ= 3,DQ = 5. ∵ PQ2 =PD2 +DQ2,∴ (AP+3) 2 =(8-AP) 2 +52, ∴ AP = 40 11 ;当点 Q 在线段 DF 上时. ∵ FQ = 1, ∴ MQ=CQ= 5,DQ= 3. ∵ PQ2 = PD2 +DQ2,∴ (AP+ 5) 2 =(8-AP) 2 +32,∴ AP= 24 13 ,综上所述 AP 的长为 40 11 或 24 13 . 3. 解:【问题解决】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠A = ∠ADA′= 90°,由翻折可知,∠DA′E = ∠A = 90°,∴ ∠A= ∠ADA′ = ∠DA′E = 90°,∴ 四边形 AEA′D 是 矩形. ∵ DA=DA′,∴ 四边形 AEA′D 是正方形. 【规律探索】△PQF 是等腰三角形. 理由如下:∵ 四 边形 ABCD 是矩形,∴ AB∥CD,∴ ∠QFP = ∠APF, 由翻折可知,∠APF = ∠FPQ,∴ ∠QFP = ∠FPQ, ∴ QF=QP,∴ △PFQ 是等腰三角形. 4. 5 -1 2 　 【解析】设 BC =NC =MN = 2a. ∵ 把这个正 方形折成两个相等的矩形,∴ NA = AC = a,∴ AB = AC2 +BC2 = 5 a. ∵ 把 AB 折到图③中所示的 AD 处. ∴ AD=AB= 5 a,∴ CD= ( 5 -1)a,∴ 矩形 BC- DE 的宽与长的比= 5 -1 2 . 5. (1)正方形　 矩形　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩 形,∴ AD∥BC,∠A = ∠ABC = 90°,由折叠可知, ∠ABN = ∠NBM = 45°,∴ ∠ANB = ∠BNM = 45°, ∴ ∠ANM= 90°,∴ 四边形 ABMN 是矩形. ∵ AB = BM,∴ 四边形 ABMN 是正方形;∴ ∠DNM = ∠D = ∠C= 90°,∴ 四边形 NMCD 为矩形; (2) 证明: 连接 EF. ∵ 四边形 NMCD 是矩形, ∴ ∠N= ∠D= 90°,由折叠知, NE = N′ E, ∠N = ∠MN′E = 90°,∴ ∠EN′F = 180° - ∠MN′E = 90°, ∴ ∠EN′F= ∠D. ∵ ∠NME = 30°,∠N = 90°,NM = AB= 3,∴ NE= 1 2 ME,NE2 +NM2 =ME2,得 NE = 3 , ∴ N′E=NE= 3 . ∵ DE=AD-AN-NE = 3 ,∴ N′E = DE,又 EF = EF,∴ Rt △EN′F≌ Rt △EDF ( HL), ∴ DF=N′F. 期中测前题组训练 1.选填题 1. B 2. B　 【解析】∵ ∠A = 1 2 ∠B = 1 3 ∠C,∴ ∠A = 30°, ∠B= 60°,∠C= 90°,∴ c= 2a,b = 3 a,∴ 三条边的 比是 1 ∶ 3 ∶2. 故选 B. 3. D 4. B　 【解析】∵ BC2 +AC2 = (n2 - t2) 2 +(2nt) 2 = n4 + 2n2 t2 +t4 =(n2 +t2) 2 =AB2,∴ ∠C = 90°,∴ △ABC 是 直角三角形. 故选 B. 5. B 6. A　 【解析】勾股数均为正整数. 故选 A. 7. D　 【解析】设 AC 与 BD 交于点 O. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,AC = 16 cm,∴ AB=BC=CD=AD,OB = OD, OA=OC= 1 2 AC= 8 cm,AC⊥BD. ∵ S = 1 2 ×16·BD= 96,解得 BD = 12,∴ OB= 1 2 BD= 6 cm,在 Rt△AOB 中,由勾股定理得:AB = OA2 +OB2 = 10 cm,即菱形 的边长为 10 cm. 故选 D. 8. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AD∥BC,AB =AD,∠ADC= ∠B= 80°,∴ ∠AEB = ∠DAE = ∠B = 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 32 页 80°,∴ AE=AB=AD,∴ ∠ADE= 1 2 ×(180°-∠DAE) = 1 2 ×(180°-80°)= 50°,∴ ∠CDE = ∠ADC-∠ADE = 80°-50° = 30°. 故选 C. 9. C　 10. B 11. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠ABC = 90°,OA= 1 2 AC,OB = 1 2 BD,AC = BD,∴ OA = OB. ∵ ∠AOD = 2 ∠AOB = 120°, ∴ ∠AOB = 60°, ∴ △AOB 是等边三角形,∴ OA = AB = 5 cm,∴ AC = 2OA= 10 cm,∴ BC = AC2 -AB2 = 102 -52 = 5 3 (cm) . 故选 C. 12. D 　 【解析】如图,在 BC 上 取一点 E,使得 EC = 1 3 BC = 2,作 EF∥AB,作点 C 关于 EF 的对称点 H,连接 CH 交 EF 于 G,连接 DH 交 EF 于 P,连接 PC,此时 CH ⊥EF,S△PDC = 1 6 S菱形ABCD,PD+PC 的值最小. PD+ PC 的最小值 = PD+PH = DH. ∵ 四边形 ABCD 是 菱形,∠A = 120°,∴ ∠B = ∠CEG = 60°,∠BCD = 120°,∴ ∠GCE = 30°,则∠DCH = 90°. ∵ ∠CGE = 90°,CE= 2,∴ GE= 1 2 CE = 1,∴ CG =GH = 22 -12 = 3 ,在 Rt△DHC 中,CD = 6,CH = 2 3 ,∴ DH = 62 +(2 3 ) 2 = 4 3 . 故选 D. 13. B　 【解析】令 AE 与 BC 的交点为 H,FC 与 AD 的 交点为 G. 由题意,得 AD∥BC,AE∥CF,∠B = ∠BAD= ∠EAF= ∠F= 90°,AD=BC = 6,∴ 四边形 AHCG 是平行四边形,∠BAH = ∠FAG,在△AFG 和△ABH 中, ∠F= ∠B AF=AB ∠FAG= ∠BAH { ,∴ △AFG≌△ABH (ASA),∴ AG=AH,∴ 平行四边形 AHCG 是菱形, ∴ AH = CH,设 AH = CH = x,则 BH = 6 - x,在 Rt △ABH 中,由勾股定理得:22 +(6-x) 2 = x2,解得 x = 10 3 ,∴ BH= 6-10 3 = 8 3 ,∴ S阴影 = 1 2 × 8 3 ×2 = 8 3 . 故 选 B. 14. A　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠DCE = 90°,OD = OB. ∵ F 为 DE 的中点,∴ CF = FE = FD. ∵ EC+EF+CF = 18,EC = 5,∴ EF+FC = 13,∴ DE= 13,∴ DC= DE2 -EC2 = 12,∴ BC =CD = 12, ∴ BE= BC-EC = 7. ∵ OD = OB,DF = FE,∴ OF = 1 2 BE= 7 2 . 故选 A. 15. B　 【解析】连接 BD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AC=BD,AC、BD 互相平分. ∵ O 为 AC 中点,∴ BD 也过 O 点,∴ OB = OC. ∵ ∠COB = 60°,OB = OC, ∴ △OBC 是等边三角形,∴ OB = BC =OC,∠OBC = 60°,在△OBF 与△CBF 中 FO=FC BF=BF OB=BC { ,∴ △OBF ≌△CBF(SSS),∴ △OBF 与△CBF 关于直线 BF 对称,∴ FB⊥OC,OM=CM;∴ ①正确. ∵ ∠OBC = 60°,∴ ∠ABO= 30°. ∵ △OBF≌△CBF,∴ ∠OBM = ∠CBM = 30°,∴ ∠ABO = ∠OBF. ∵ AB∥CD, ∴ ∠OCF= ∠OAE. ∵ OA = OC, ∠AOE = ∠COF, ∴ △AOE≌△COF(ASA),∴ OE = OF, ∴ OB ⊥ EF,∴ 四边形 EBFD 是菱形,∴ ③正确. ∵ △EOB ≌△FOB≌△FCB,∴ △EOB≌△CMB 错误. ∴ ② 错误,综上可知其中正确结论的个数是 2 个. 故 选 B. 16. 2 2 (答案不唯一)　 17. 12 18. 8 3 　 【解析】 连接 BE,GE. ∵ ∠ACB = ∠DCE = 90°,∴ ∠ACD = ∠BCE. ∵ AC = BC,DC = EC,∴ △ACD≌△BCE(SAS),∴ ∠A = ∠CBE = 45°,AD =BE. ∵ ∠ABC= 45°,∴ ∠ABE = ∠ABC+∠CBE = 90°. ∵ CD = CE, F 为 DE 的中点, ∴ ∠DCF = ∠ECF. 又∵ CG = CG,∴ △DCG≌△ECG( SAS), ∴ DG=EG. 设 AD = x,∵ AB = 8,BG = 2,∴ DG = 6- x. ∵ BG2 +BE2 =EG2,∴ 22 +x2 = (6-x) 2,∴ x = 8 3 , ∴ AD= 8 3 . 19. 55° 20. 4 3 　 【解析】延长 AB 至 M,使 BM = AE,连接 FM. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∠ADC = 120°,∴ AB = AD,∠A = 60°. ∵ BM = AE,∴ AD = ME. ∵ △DEF 为等边三角形,∴ ∠DAE = ∠DFE = 60°,DE = EF =FD,∴ ∠MEF = ∠ADE,∴ 在△DAE 和△EMF 中, AD=ME ∠ADE= ∠MEF DE=EF { ,∴ △DAE≌△EMF( SAS), ∴ AE = MF,∠M = ∠A = 60°,又 ∵ BM = AE,∴ △BMF 是等边三角形,∴ BF = AE. ∵ AE = t,CF = 2t,∴ BC=CF+BF= 3t. ∵ BC= 4,∴ 3t= 4,∴ t= 4 3 . 21. 5 3 或 7　 【解析】①当点 P 在 BC 上,点 B′在边 CD 上时. ∵ 四边形 ABCD 为矩 形,AB= 10 cm,BC= 6 cm,∴ AB =CD= 10 cm,BC=AD= 6 cm,∠B= ∠C = ∠D = 90°,根据折叠的性质可得,AB=AB′= 10 cm,BP = B′ P, 在 Rt △ADB′ 中, B′ D = AB′2 -AD2 = 102 -62 = 8 ( cm),∴ B′C = CD -B′D = 10 - 8 = 2(cm),设 BP = B′P = x cm,则 CP = BC - BP = (6-x)cm,在 Rt△B′CP 中,CP2 +B′C2 = B′P2,∴ 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 33 页 (6-x) 2 +22 = x2,解得 x= 10 3 ,∴ BP= 10 3 cm,即动点 P 走过的路程为10 3 cm. ∵ 动点 P 以 2 cm / s 的速 度沿着 B-C-D 的方向移动,∴ 运动时间 t = 10 3 2 = 5 3 (s);②当点 P 在 CD 上,点 B′在边 CD 的延长线上时,如图. ∵ 四边形 AB- CD 为矩形,AB = 10 cm,BC = 6 cm,∴ AB=CD= 10 cm,BC = AD = 6 cm,∠C = ∠ADC = 90°,∴ ∠ADB′ = 90°,根据折 叠的性质可得,AB = AB′ = 10 cm,BP = B′ P, 在 Rt △AB′ D 中, B′ D = AB′2 -AD2 = 102 -62 = 8 ( cm), 设 DP=a cm,则 CP=CD-DP = (10-a) cm,BP =B′P =B′D+DP = (8+a) cm,在 Rt△BCP 中,BC2 +CP2 =BP2,∴ 62 +(10-a) 2 = (8+a) 2,解得 a = 2,∴ CP = 10-a= 8(cm),∴ 动点 P 走过的路程为 BC+CP = 6+8 = 14(cm) . ∵ 动点 P 以 2 cm / s 的速度沿着 B-C-D 的方向移动,∴ 运动时间 t= 14 2 = 7( s) . 综 上,经过 5 3 s 或 7 s,点 B′落在边 CD 所在直线上. 期中测前题组训练 2.简单解答题组 1. 解:(1)原式= (3× 1 6 × 1 3 ) 27 ×3 2 = 3 4 2 ; (2)原式= 5-1+2 2 -2 2 = 3+ 2 . 2. 解:原式 = 6 - 4 6 x+ 4x2 - 4x2 + 3 = 9 - 4 6 x. ∵ x = 1 6 -2 = 6 +2 2 ,∴ 原式= -3-4 6 . 3. 解:由题意,得 x+y = 2 3 ,x-y = 2 2 ,∴ 原式 = (x+ y) 2 -2(x-y)= (2 3 ) 2 -2×2 2 = 12-4 2 . 4. 证明:连接 EB、DF. ∵ AB =DC,AD = BC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. ∴ ED∥BF. 又∵ AD = BC,AE =CF,∴ ED =BF. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形. ∴ EO=OF. 即 O 是 EF 的中点. 5. 解:(1)根据勾股定理得 AB = 12 +72 = 5 2 ,AD = 32 +42 = 5, CD = 12 +22 = 5 , BC = 22 +42 = 2 5 ,周长:5 2 +5+ 5 +2 5 = 5 2 +5+3 5 ;面积:5 ×7- 1 2 ×1×7- 1 2 ×1×2- 1 2 ×3×4- 1 2 ×2×4-1×3 = 17. 5; (2)连接 BD. ∵ BC = 2 5 ,CD = 5 ,BD = 32 +42 = 5,∴ BC2 +CD2 =BD2,∴ ∠BCD= 90°. 6. (1)证明:∵ AB∥CD,∴ ∠BAO = ∠DCO,∠ABO = ∠CDO,在△ABO 与△CDO 中, ∠BAO= ∠DCO ∠ABO= ∠CDO OA=OC { , ∴ △ABO≌ △CDO( AAS),∴ AB = CD, ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形; (2)AB=BC 或 AC⊥BD 7. 解:(1)在 Rt△ABC 中,由勾股定理得:BC2 = AB2 - AC2 = 52 -32 = 16,∴ BC= 4 cm. (2)由题意得:BP= t cm. ①当∠APB 为直角时,点 P 与点 C 重合,BP=BC = 4 cm,∴ t = 4;②当∠BAP 为直角时,BP= t cm,CP = ( t-4) cm,AC = 3 cm,在 Rt△ACP 中, AP2 = AC2 + CP2 = 32 + ( t - 4 ) 2, 在 Rt△BAP 中,AB2 +AP2 =BP2,即 52 +32 +( t-4) 2 = t2, 解得 t = 25 4 . 即当△ABP 为直角三角形时,t = 4 或 25 4 . 8. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC = 2AO,BD= 2BO. ∵ AO=BO,∴ AC =BD,∴ 平行四边 形 ABCD 为矩形; (2)解:过点 E 作 EG⊥BD 于点 G. ∵ 四边形 ABCD 是矩形,OC = 5,∴ ∠BAD = 90°,BD = AC = 2OC = 10. 在 Rt △ABD 中, AB = 8, BD = 10, ∴ AD = BD2 -AB2 = 6. ∵ ∠DAB = 90°,∴ EA⊥AD. ∵ DE 为∠ADB 的平分线,EG⊥BD,∴ EG = EA,∠EGB = 90°. 在 Rt △ADE 和 Rt △GDE 中, DE =DE EA=EG{ , ∴ Rt△ADE≌Rt△GDE( HL),∴ AD = GD = 6,∴ BG = BD-GD = 4,在 Rt△BEG 中,由勾股定理得:BE2 = EG2 +BG2,即(8-AE) 2 =AE2 +42,解得 AE= 3. 9. 解:设 OC= x cm. ∵ OA= 12 cm,AB= 15 cm,∴ AC = (x-12) cm,BC = (x-15) cm. ∵ ∠B = 90°,∴ BC2 + AB2 =AC2,∴ (x-15) 2 +152 = (x-12) 2,解得 x = 51, ∴ 滑道 OC 的长度为 51 cm. 期中测前题组训练 3.中档解答题组 1. 解:(1) >　 >　 = (2)m+n≥2 mn (m≥0,n≥0) . 理由如下:当 m≥ 0,n≥0 时. ∵ ( m - n ) 2 ≥0,∴ ( m ) 2 -2 m · n + ( n ) 2 ≥ 0, ∴ m - 2 mn + n ≥ 0, ∴ m + n ≥ 2 mn . (3)40　 【解析】设花圃的长为 a 米,宽为 b 米,则 a>0,b>0,S = ab = 200,根据(2)的结论可得:a+2b ≥2 a·2b = 2 2ab = 2 2×200 = 2×20 = 40(米) . 篱笆至少需要 40 米 . 2.探究:证明:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = BC =CD=DA,∠ABC= ∠ADC = ∠BCD= 90°. ∴ ∠ACB = ∠ACD = 45°,又∵ EC = EC, ∴ △EDC≌ △EBC (SAS),∴ ED = EB,∠EDC = ∠EBC. ∵ EF⊥ED, ∴ ∠DEF= 90°,∴ ∠EFC+∠EDC = 180°. ∵ ∠EBC +∠EBF= 180°,∴ ∠EBF= ∠EFB,∴ EB=EF; 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 34 页 应用:4 + 7 2 　 【解析】连接 DF. ∵ EB = ED,EB = EF,∴ EF=DE,∵ ∠DEF= 90°,∴ △DEF 是等腰直 角三角形. ∵ DE= 2,∴ EF = 2,DF = 2 2 . ∵ ∠DCB = 90°,CD= 1,∴ CF = DF2 -CD2 = 7 ,∴ S四边形EFCD =S△DEF+S△CDF = 4+ 7 2 . 3. 解:AB 与 BC 垂直. 理由:∵ AB = 2 m,BD = 1. 5 m, AD= 2. 5 m,∴ AD2 = 6. 25,AB2 +BD2 = 6. 25,∴ AD2 =AB2 +BD2,∴ ∠ABD = 90°,∴ △ABD 是直角三角 形. 4. (1)证明:由题意,得 DF = BE. ∵ 四边形 ABCD 是 菱形,∴ ∠B = ∠D,AD = BC,AB∥DC,在△ADF 与 △CBE 中, DF=BE ∠D= ∠B AD=BC { ,∴ △ADF≌△CBE( SAS), ∴ ∠DFA = ∠BEC. ∵ AB∥DC,∴ ∠DFA = ∠FAB, ∴ ∠FAB= ∠BEC,∴ AF∥CE; (2)解:如图,过 D 作 DM⊥AB 于 M,连接 GH,EF,∴ DF = BE = t. ∵ AF∥CE,AB∥CD,∴ 四边 形 AECF 是平行四边形. ∵ G、 H 是 AF、CE 的中点, ∴ GH∥ AB. ∵ 四边形 EGFH 是菱形,∴ GH⊥EF,∴ EF⊥ AB,∠FEM= 90°. ∵ DM⊥AB,∴ DM∥EF,∴ 四边 形 DMEF 是矩形,∴ ME=DF= t. ∵ AD= 4,∠DAB= 60°,DM⊥AB,∴ AM = 1 2 AD = 2,∴ BE = 4-2-t = t, ∴ t= 1. 5. (1)B (2)证明:延长 DE 到 F. 使得 EF= DE,连接 FC,DC,AF,如 图. ∵ E 是 AC 中点, ∴ AE = CE. ∵ EF = DE,∴ 四边形 AD- CF 是平行四边形,∴ AD = CF, AD∥CF. ∵ D 是 AB 中点,∴ AD=BD,∴ CF=BD,又 CF∥BD,∴ 四边形 BCFD 是平行四边形,∴ BC∥ DF,BC=DF. ∵ DE= 1 2 DF,∴ BC∥DE,DE= 1 2 BC; (3)解:如图,延长 DN 到点 M, 使得 NM = DN,连接 AM、MG. ∵ 点 N 是 AG 的中点, ∴ AN = NG,∴ 四边形 ADGM 是平行四 边形, ∴ AM ∥DG, AM = DG, ∴ ∠MAD+∠ADG= 180°. ∵ 四边形 ABCD 和 DEFG 都是正方形, ∴ AD = DC,DG = DE = AM, ∠ADG + ∠EDC = 180°, ∴ ∠MAD = ∠EDC, ∴ △MAD ≌ △EDC( SAS) . ∴ DM = CE. ∵ DM = 2DN, ∴ CE = 2DN= 4. 第七周　 函数 1. D 2. D　 【解析】由题意,得 x+2≥0 且 x-1≠0,解得 x ≥-2 且 x≠1. 故选 D. 3. D　 4. D 5. C 　 【解析】 A. 由表格可知,当 h = 50 cm 时, t = 1. 89 s,故 A 正确;B. 通过观察表格可得,支撑物 的高度 h 越大,小车下滑时间越小,故 B 正确;C. 通过观察表格,当支撑物的高度每增加 10 cm,对 应小车下滑时间的变化情况不相同,故 C 错误;D. 若小车下滑时间为 2. 5s,通过表格容易判断出支 撑物的高度在 20 cm ~ 30 cm 之间,故 D 正确;故选 C. 6. D　 【解析】由函数图象知:当 x = 0,即 P 在 B 点 时,BA-BE= 1,利用三角形两边之差小于第三边, 得到 PA-PE≤AE,∴ y 的最大值为 AE,∴ AE = 5. 当 PA 取最大值时,此时点 P 和点 C 重合,y 值不 是最大,故 D 错误. 故选 D. 7. 2 2 　 8. y= 16x 9. -3　 【解析】∵ -3<-1,∴ 把 x = -3 代入 y = 2x+3, 得 y= 2×(-3)+3 = -3. 10. y= - 1 2 x+12. 5 11. 解:(1)时间　 路程 (2)30　 1. 7 (3)2. 5 (4)小明离家 2. 5 小时后继续坐公交车到滨海公 园 (5)12　 30　 【解析】小明从中心书城到滨海公园 的平均速度为 30-12 4-2. 5 = 12(km / h),小明爸爸驾车 的平均速度为 30 3. 5-2. 5 = 30(km / h); (6) s= 30t-75( t≥2. 5) 12. 解:(1)1 (2)如图所示: (3)①当 x> 1 时,y 随 x 的增大而增大;当 x< 1 时,y 随 x 的增大而减小; ②函数图象关于直线 x= 1 对称. 第八周　 一次函数 1. C 2. D　 【解析】设正比例函数解析式为 y = kx,A. ∵ A (-1,2),∴ k= -2,B. ∵ B(1,-2),∴ k = -2,C. ∵ C (-2,4),∴ k= -2,D. ∵ D(-2,1),∴ k = - 1 2 . 故选 D. 3. B　 【解析】由题意,得 2m-1>0,解得 m> 1 2 ,∴ P 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 35 页 (-m,m)在第二象限. 故选 B. 4. C　 【解析】∵ k = 2>0,b = -2<0,∴ 图象经过第一、 三、四象限,y 随 x 增大而增大,C 正确,D 错误;当 x= -1 时,y= 2×(-1) -2 = -4,它的图象必经过点 (-1,-4),A 错误;当 x = 1 时,y = 2x-2 = 0,当 x>1 时,y>0,B 错误. 故选 C. 5. A　 【解析】A 图∵ 直线 l1:经过第一、二、三象限, ∴ k>0,b>0,∴ -k<0. ∴ 直线 l2 经过第一、三、四象 限. 故选 A. 6. A　 【解析】∵ “帅”位于点(-2,-1)可得出“马”位 于点(1,2),设经过棋子“帅”和“马”所在的点的 一次函数解析式为 y = kx+b,∴ -1 = -2k+b 2 = k+b{ ,解得 k= 1 b= 1{ ,∴ y= x+1. 故选 A. 7. 2　 【解析】由题意,得 m2 -3 = 1,且 m+1≠0,解得 m= ±2. ∵ 图象在第一、三象限,∴ m+ 1 > 0,∴ m> -1,∴ m= 2. 8. <　 【解析】∵ 直线 y= -2x+3 中 k = -2<0,∴ y 随 x 的增大而减小. ∵ x1 >x1 -3,∴ y1 <y2 . 9. -2　 【解析】把点(a,b)代入 y= 3x-2,得 b= 3a-2, 则 3a-b= 2,∴ 2b-6a+2 = -2(3a-b)+2 = -2. 10. b>a>c 11. 10　 【解析】由题意,得平移后的一次函数解析式 为 y= -2x+6-n,根据题意,将点(-1,-2)代入 y= - 2x+6-n,得 2+6-n= -2,解得 n= 10. 12. 解:(1)设一次函数的解析式为 y = kx+b,把点 A (2,0),B(0,4)代入 y = kx+b 中, b = 4 2k+b= 0{ ,解得 k= -2 b= 4{ ,∴ 一次函数的解析式为 y= -2x+4. (2)点 P 为一次函数图象上一点,设 P( x,-2x+ 4),当-2x+4 = 6,解得 x = -1,此时 P( -1,6);当 -2x+4 = -6,解得 x= 5,此时 P(5,-6) . 故点 P 的 坐标( -1,6)或(5,-6) . 13. 解:(1) 把( 1,4), ( 5,0) 分别代入 y = kx + b 得 4 = k+b 0 = 5k+b{ ,解得 k= -1 b= 5{ ,∴ 直线 AB 解析式为 y = -x+5,由-x+5 = 2x-4 解得 x = 3,把 x = 3 代入 y = -2x-4 中得 y= 2,∴ C 点坐标(3,2); (2) ∵ 直线 y = 2x-4 交 y 轴于(0,-4),直线 AB 交 y 轴于(0,5),∴ 三角形的面积为 1 2 ×(5+4) ×3 = 27 2 ; (3)设 P(x,-x+5),则 Q(x,2x-4) . 当 x≤3 时, PQ= -x+ 5 -(2x- 4) = 3,解得 x = 2,∴ P 点坐标 (2,3);当 x>3 时,PQ= 2x-4-( -x+5)= 3,解得 x = 4,∴ P 点坐标(4,1),故点 P 的坐标为(2,3)或 (4,1) . 14. 解:(1)y= 2x-1 (2)y= 3x-3m+1 (3)∵ 将直线 y= 1 2 x+1 向左平移 n(n>0)个单位 长度后得到直线 y= 1 2 (x+n) +1,即 y = 1 2 x+ 1 2 n+ 1,∴ 1 2 n+1 = 5,解得 n= 8. 第九周　 一次函数与方程、不等式 1. C　 【解析】解方程 ax+b = 0 的解,即为一次函数 y =ax+b 图象与 x 轴交点的横坐标. ∵ 直线 y = ax+b 过 B(2,0),∴ 方程 ax+b= 0 的解是 x= 2. 故选 C. 2. A　 【解析】∵ 点 C(m,2)在直线 l2:y = -2x+4 上, ∴ 2 = -2m+4,解得 m = 1,∴ 点 C 的坐标为(1,2), ∴ 方程组 y = kx+b y= -2x+4{ 的解为 x= 1 y= 2{ . 故选 A. 3. B 4. B　 【解析】将 x = -1 代入 y = -3x+2,得 y = 3+2 = 5,∴ 交点坐标为(-1,5),∴ 交点在第二象限. 故 选 B. 5. D 6. D　 【解析】由图象可得,乙园草莓优惠前的销售 价格是 150÷5 = 30(元 / 千克),A 正确;甲园的门票 费用是 60 元,B 正确;乙园超过 5 千克后,超过的 部分价格是 300-150 15-5 = 15(元 / 千克),15÷30×100% = 50%,C 正确;由图象得,顾客用 280 元在甲园采 摘草莓比到乙园采摘草莓更少. 故 D 错误. 故选 D. 7. x= 1　 【解析】∵ x= 1 时,y = 0,∴ 一元一次方程 kx +b= 0 的解为 x= 1. 8. (1,3)　 【解析】∵ x = 1 是方程 2x+1 = -x+4 的解 ∴ y= 2×1+1 = 3,∴ 交点坐标为(1,3) . 9. y>0 10. 解:(1)∵ 把点 A(8,0)和 B(4,4)代入直线 y = kx +b,得 8k +b= 0 4k+b= 4{ ,解得 k= -1 b= 8{ ,∴ 直线 AB 的解析 式为 y= -x+8; (2)联立方程组,得 y = -x+8 y= x-2{ ,解得 x= 5 y= 3{ ,∴ 点 C 的坐标是(5,3); (3)由图可知,x>5 时,x-2>-x+8,∴ 不等式 x>kx +b+2 的解集为 x>5. 11. 解:(1)设 l1 的解析式为 y1 = k1x+b1,l2 的解析式 为 y2 = k2x+b2 . ∵ 由图可知 l1 过点(0,2),(500, 17), 代入 y1 = k1x + b1 得 b1 = 2 500k1 +b1 = 17{ , 解得 k1 = 0. 03 b1 = 2{ ,∴ y1 = 0. 03x+2(0≤x≤2 000);由图 可知 l2 过点(0,20),(500,26),同理 y2 = 0. 012x+ 20(0≤x≤2 000); (2)两种灯的费用相同,即 y1 = y2,则 0. 03x+2 = 0. 012x+ 20, 解得 x = 1 000, 即当照明时间为 1 000h 时,两种灯的费用相同. 12. 解:(1)设 A 种绿化树每棵 x 元,B 种绿化树每棵 y 元. 依题意得 5x +10y= 1 100 10x+8y= 1 600{ ,解得 x= 120 y= 50{ ,即 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 36 页 A 种绿化树每棵 120 元,B 种绿化树每棵 50 元; (2)设购买 B 种绿化树数量 m 棵,则购买 A 种绿 化树数量(24-m)棵. 依题意得:24-m≥3m,解得 m≤6,设实际付款总额是 w 元,则 w = 120×(24- m) +50m= -70m+2 880,w= -70m+2 880. ∵ -70< 0,∴ w 随 m 增大而减小,∴ 当 m = 6 时,w最小 = -70×6+2 880 = 2460(元) . 即当购买 A 种绿化树 18 棵,B 种绿化树 6 棵时,所需费用最少,最少费 用为 2 460 元. 教材习题变式 5　 一次函数与面积相关问题 1. 解:(1)∵ 点 C(1,m)在一次函数 y = x+3 的图象 上,∴ m= 1+3 = 4,∴ 点 C(1,4) . 设一次函数图象 l2 相应的函数表达式为 y = kx+b,把点 A(3,0),C (1,4) 代入得 3k +b= 0 k+b= 4{ ,解得 k= -2 b= 6{ ,∴ 一次函数 图象 l2 相应的函数表达式 y= -2x+6; (2)∵ 一次函数 y = x+ 3 的图象 l1 与 x 轴交于点 B,∴ 当 y= 0 时,0 = x+3,解得 x = -3,∴ B( -3,0) . ∵ A(3,0),C(1,4),∴ AB = 6,∴ S△ABC = 1 2 ×6×4 = 12. 2. 解:(1) 把 A( - 2, - 1),B(1,3) 代入 y = kx+b 得 -2k+b= -1 k+b= 3{ ,解得 k= 4 3 b= 5 3 ì î í ï ï ï ï . 所以一次函数解析式为 y= 4 3 x+ 5 3 ; (2)令 y= 0,则 0 = 4 3 x+ 5 3 ,解得 x = - 5 4 ,所以 C 点 的坐标为( - 5 4 ,0),把 x = 0 代入 y = 4 3 x+ 5 3 得 y = 5 3 ,所以 D 点坐标为(0, 5 3 ); (3)S△AOB =S△AOD+S△BOD = 1 2 × 5 3 ×2+ 1 2 × 5 3 ×1 = 5 2 . 3. 解:(1)设直线 l2 的解析式为 y= kx+b. ∵ 直线 l1:y = -x+2 与 x 轴,y 轴分别交于 A、B 两点,∴ 令 x = 0,得 y= 2,故 B(0,2),令 y = 0,得 x = 2,故 A(2, 0) . ∵ 直线 l2 经过点 A,与 y 轴交于点 C(0,-4), ∴ 2k+b= 0b= -4{ ,∴ k= 2 b= -4{ ,∴ 直线 l2 的解析式为 y= 2x -4; (2)由题意得 BC = 6,设点 P 的横坐标为 t, ∴ S△PAC = 1 2 ·( xA -xP) ·BC = 1 2 × | 2-t | ×6 = 10,∴ t = - 4 3 或 t = 16 3 . ∵ 点 P 为直线 l1 上的一个动 点,∴ P( - 4 3 ,10 3 )或(16 3 ,-10 3 ) . 4. 解:(1)∵ 直线 y= - 4 3 x+4 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、点 B,令 x= 0,则 y= 4,∴ B(0,4),∴ OB = 4,令 y = 0,则 - 4 3 x+4 = 0,解得 x = 3,∴ A(3,0),∴ OA = 3,在 Rt△OAB 中,AB= OA2 +OB2 = 5; (2)∵ OC=OA+AC= 3+5 = 8,∴ C(8,0),设 OD= x, 则 CD=DB= x+4,在 Rt△OCD 中,DC2 =OD2 +OC2, 即(x+4) 2 = x2 +82,解得 x= 6,∴ D(0,-6); (3)(0,12)或(0,-4) 　 【解析】∵ S△PAB = 1 2 S△OCD, ∴ S△PAB = 1 2 × 1 2 ×6×8 = 12. ∵ 点 P 在 y 轴上,S△PAB = 12,∴ 1 2 ×BP×OA= 12,即 1 2 ×3BP= 12,解得 BP = 8. ∵ P 点在 B 点上方或 B 点下方,∴ P 点的坐标 为(0,12)或(0,-4) . 第十周　 数据的分析 1. B 2. C 　 【 解 析 】 学 生 甲 最 终 的 综 合 成 绩 为 94×5+80×2+90×3 5+2+3 = 90(分) . 故选 C. 3. D　 【解析】对鞋店再次进货来说,店主最关注的 是哪一型号的卖得最多,即是这组数据的众数. 故 选 D. 4. 8 　 【解析】 这名运动员所得环数的平均数为 8+6+10+7+9 5 = 8. 5. 10　 6. 小亮　 7. 军事 8. 21　 【解析】因为五个整数从小到大排列后,其中 位数是 4,这组数据的唯一众数是 6,所以这 5 个 数据分别是 x,y,4,6,6,其中 x = 1,y = 2 或 x = 2,y = 3. 所以这 5 个数的和的最大值是 2+3+4+6+6 = 21. 9. 79. 5　 【解析】该应聘者最后的得分为 70×35%+ 80×40%+92×25% = 79. 5(分) . 10. 解:(1)247　 246 (2)①乙 ②t<226　 【解析】设丙同学第 5 次训练的用时为 t. 根 据 题 意, 得 270 +255+249+240+t 5 < 248, 即 1014+t 5 <248,解得 t<226. 11. 解:(1)48　 49　 45% (2)乙班的学生测试成绩较好,理由:乙班的优秀 率大于甲班; (3)20×35% = 7(人),1 000× 7 +9 20+20 = 400(人),即 估计该校初三年级参加此次测试中成绩优秀的 学生人数是 400 人. 期末测前题组训练 1.选填题 1. C　 2. A　 3. A　 4. B 5. B　 【解析】∵ A(4,0),B(0,6),∴ AB = OA2 +OB2 = 42 +62 = 2 13 . 故选 B. 6. B 7. B 　 【解析】连接 AC、CF,如图. ∵ 四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是 正 方 形, ∴ ∠ACD = 45°, ∠FCG= 45°,AC = 2 ,CF = 3 2 , ∴ ∠ACF = 45° + 45° = 90°, 在 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 37 页 Rt△ACF 中,AF= ( 2 ) 2 +(3 2 ) 2 = 2 5 . ∵ H 是 AF 的中点,∴ CH= 1 2 AF= 5 . 故选 B. 8. B 9. C　 【解析】C. ∵ 当 x= 1 时,y = -6≠2,∴ 图象不经 过点(1,2) . 故选 C. 10. C　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ ∠BCD = 90°,AB=CD= 1. ∵ 点 B 表示的数为-1,点 C 表示 的数为 1,∴ BC= 1-(-1)= 2,在 Rt△BCD 中,由勾 股定理得:BD= BC2 +CD2 = 5 ,∴ 点 E 表示的实 数是 5 -1. 故选 C. 11. A 12. C　 【解析】连接 BN、MB,MB 交 AC 于 N′,此时 DN+MN 最小. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ B、D 关于 AC 对称,∴ DN =BN,∴ DN+MN =BN+NM≥ BM,当点 B、N、M 在一条直线上,即 BN′+MN′ = BM 时,DN+MN 最小,在Rt△BMC 中. ∵ ∠BCM = 90°,BC= 16,CM = CD-DM = 16 - 4 = 12,∴ BM = BC2 +CM2 = 162 +122 = 20. 故选 C. 13. C　 【解析】如图,连接 MN,MN 分 别交 HE,GF 于点 L,K. 设正方形 的边长为 a. ∵ 四边形 ABCD 为正 方形,∴ ∠B = ∠C = 90°,BM∥CN. ∵ BM = CN,∴ 四边形 MBCN 为矩 形,∴ MN=BC=a. ∵ 四边形 ABCD 为正方形,BM =BE=CF=CN= 1 4 AB= 1 4 a,∴ 四边形 MBEL 和四 边形 KFCN 为正方形,∴ ML = LE =KF =KN = 1 4 a. ∴ EF=EH=HG=BC-BE-CF= 1 2 a. ∴ HL=HE-LE = 1 4 a,∴ ML =HL,∴ △MHL 为等腰直角三角形, 同理: △KNG 为等腰直角三角形, ∴ ∠MHL = ∠NGK= 45°. ∵ ∠EHG= ∠HGF = 90°,∴ ∠PHG = ∠PGH= 45°,∴ △PHG 为等腰直角三角形,∴ PH =PG = 2 4 a,∴ S△PGH = 1 2 × PH·PG = 1 16 a2 . ∵ S正方形ABCD = a2,∴ 三角形 PHG 的面积是正方形 ABCD 面积的 1 16 . 故选 C. 14. 5 　 15. 7. 3　 16. x= 2y= 1{ 17. 2 3 　 【解析】连接 EC. ∵ 四边形 ABCD 是菱形, ∴ BD 平分 ∠ABC,AB = BC,在 △ABE 和 △CBE 中, AB=BC ∠ABE= ∠CBE BE=BE{ ,∴ △ABE≌ △CBE ( SAS), ∴ ∠BAE= ∠BCE= 90°,则 AE=CE= 2 3 . 18. 4 13 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形,∴ AB∥ CD,∠C= 90°,∴ ∠B′FE = ∠BEF,由翻折的性质 可知:∠BEF= ∠B′EF,BE=EB′,CF =C′F = 5,BC =B′C′ = 12,∴ ∠B′EF = ∠B′FE,∴ EB′ = FB′ = B′C′2 +C′F2 = 13,∴ BE= 13,过点 F 作 FM⊥AB 于点 M,则 BM=CF= 5,FM=BC= 12,∴ EM=BE- BM= 8,∴ EF= EM2 +FM2 = 4 13 . 期末测前题组训练 2.简单解答题组 1. 解:(1)原式= 3+3-2 3 +1 = 7-2 3 ; (2)原式= 3 2 + 2 4 -(2-3)= 5 2 + 2 4 . 2. 解:(1)CH 是从工厂 C 到河边最近的一条路,理由 是:在△CHB 中. ∵ CH2 +BH2 = 22 +(1. 5) 2 = 6. 25,BC2 = 6. 25,∴ CH2 +BH2 = BC2,∴ △CHB 是直角三角形, ∠CHB= 90°,∴ CH 与 AB 垂直,即 CH 是从工厂 C 到 河边最近的一条路; (2)设 AC = x 千米,在 Rt△ACH 中,由已知得 AC = x 千米,AH= ( x- 1. 5) 千米,CH = 2 千米,由勾股定理 得:AC2 =AH2 +CH2,∴ x2 = ( x-1. 5) 2 +22,解得 x = 25 12 . 即 AC 的长为 25 12 千米. 3. 解:(1)3÷15% = 20(人),20×30% = 6(人),补全频数 分布直方图: 被抽取的学生的跳绳个数分布直方图 (2)193 (3)600× 2+3 20 = 150(人),即估计全年级学生跳绳个数 不少于 200 个的人数为 150 人. 4. (1)证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB =CD, AB∥CD, ∴ ∠BAC = ∠DCA. ∵ DE ⊥ AC,BF ⊥ AC, ∴ BF∥DE,∠AFB = ∠CED = 90°,在△ABF 和△CDE 中, ∠BAC= ∠DCA ∠AFB= ∠CED AB=CD{ ,∴ △ABF≌△CDE( AAS),∴ BF =DE,AF= EC. ∵ BF∥DE,∴ 四边形 BEDF 是平行四 边形. (2) ∵ AB = 13, ∴ CD = 13, ∴ EC = CD2 -DE2 = 5, ∴ AF= 5. ∵ AE= AD2 -DE2 = 202 -122 = 16,∴ EF = AE-AF= 11,∴ S▱BEDF = 2× 1 2 ×11×12 = 132. 5. 解:(1)由题意,得 b= -4-4k+b= 0{ ,解得 k= -1 b= -4{ ,∴ k= -1,b = -4; (2)如图:由图象得:当 m≥3 时,函数 y = mx(m≠0) 的值小于一次函数 y= kx+b 的值. 6. (1)证明:∵ △ABC 是等边三角形,CE⊥AB,AD⊥BC, ∴ BG⊥AC,AE = BE,AG = CG,BD = CD. ∵ H 是 AF 的 中点,∴ EH 是△ABF 的中位线,GH 是△ACF 的中位 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 38 页 线,∴ EH∥BF,EH = 1 2 BF,HG∥CF,HG = 1 2 CF,∴ EH ∥BG. (2)解:四边形 EFGH 是菱形,理由如下:由(1)知 EH∥ FG,HG∥EF,∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. ∵ AD⊥ BC,BD=CD,∴ AD 垂直平分 BC,∴ BF =CF. ∵ EH= 1 2 BF,HG= 1 2 CF,∴ EH=HG,∴ 四边形 EFGH 是菱形. 7. 解:(1)设甲种苹果销售额 y甲 与销售量 x 之间的函 数关系式是 y甲 = kx,∵ 点(120,2 400)在该函数图象 上,∴ 2400 = 120k,解得 k = 20,即甲种苹果销售额 y甲 与销售量 x 之间的函数关系式是 y甲 = 20x; (2)当 30≤x≤120 时,设乙对应的函数解析式为 y = mx+n. ∵ 点(30,750),(120,2 100)在该函数图象上, ∴ 30m+n= 750120m+n= 2 100{ ,解得 m= 15 n= 300{ ,即当 30 ≤ x≤120 时,乙 对 应 的 函 数 解 析 式 为 y = 15x + 300, 由 y= 20x y= 15x+300{ 可得 x= 60 y= 1 200{ ,即点 B 的坐标为 ( 60, 1 200),点 B 表示的实际意义是当销售量为 60kg 时, 甲和乙两种苹果的销售额相同,都是 1 200 元; (3)甲种苹果的销售单价为:2 400÷120 = 20(元),当 x≤30 时,乙种苹果的销售单价为:750÷30 = 25(元), 当 x>30 时,乙种苹果的销售单价为:(2 100-750) ÷ (120-30)= 15(元),由题意可得:(20-8)a+(25-12) ×30+(15-12)(a-30)= 1 695,解得 a = 93,即 a 的值 为 93. 期末测前题组训练 3.中档解答题组 1. 解:(1)四边形 BMCN 是菱形,理由如下:∵ BE∥AC, CF∥BD,∴ 四边形 BMCN 是平行四边形,在△ABC 和 △DCB 中, AB=CD ∠ABC= ∠DCB BC=BC{ , ∴ △ABC ≌ △DCB (SAS),∴ ∠ACB= ∠DBC,∴ MB =MC,∴ 四边形 BM- CN 是菱形; (2) 连接 AD. ∵ ∠ABC = ∠DCB = 90°, ∴ AB∥CD. ∵ AB=DC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AM = CM,∴ S△BCM = 1 2 S△ABC = 1 2 × 1 2 × 4 × 6 = 6. ∵ 四边形 BMCN 是菱形,∴ S四边形BMCN = 2S△BCM = 12. 2. 解:(1)当 x = 1 时,y = 3x = 3,∴ C(1,3),将 A ( - 1, 5),C(1,3)代入 y = kx+b,得 -k+b= 5k+b= 3{ ,解得 k= -1 b= 4{ , ∴ 直线 AB 的函数解析式是 y= -x+4; (2)y= -x+4 中,令 y= 0,则 x= 4,∴ B(4,0),设 D(0, m)(m<0),S△BOC = 1 2 ×OB× | yC | = 1 2 ×4×3 = 6,S△COD = 1 2 ×OD· | xC | = 1 2 | m | ×1 = - 1 2 m. ∵ S△COD = 1 3 S△BOC, ∴ - 1 2 m= 1 3 ×6,解得 m= -4,∴ D(0,-4); (3)观察图象可知,kx+b<3x,则 x 的取值范围是 x>1. 3. 解:(1)设第一次网店购进 A 款汴绣 x 件,则购进 B 款汴绣为(20-x)件. 根据题意得,800x+1 400(20-x) = 24 400,解得 x= 6,此时 20-x = 14,即第一次网店购 进 A 款汴绣 6 件,则购进 B 款汴绣为 14 件; (2)设第二次网店购进 A 款汴绣 t 件,则购进 B 款汴 绣为(30-t)件,售完获得利润为 w 元,根据题意得:w = (980-800) t+(1 680-1 400) (30-t)= 180t+8 400- 280t= -100t+8 400. ∵ 购进 A 款汴绣数量不少于 B 款汴绣数量的 2 3 , ∴ t ≥ 2 3 ( 30 - t), 解得 t ≥ 12. ∵ -100<0,∴ 当 t= 12 时,w 有最大值,最大值为 7 200, 此时 30-12= 18(件),即小明应购进 A 款汴绣 12 件,B 款汴绣 18 件才能获得最大利润,最大利润是 7 200 元. 4. 解:(1)①∠CBM(答案不唯一) ②等边三角形 (2)∠MBQ= ∠CBQ,理由如下:∵ 四边形 ABCD 是正 方形,∴ AB = BC,∠A = ∠C = 90°,由折叠可知,BM = AB,∠BMP = ∠A = 90°,∴ BM = BC,∠BMQ = 90°,在 Rt △BMQ 和 Rt △BCQ 中, BM=BCBQ=BQ{ ,∴ Rt △BMQ≌ Rt△BCQ(HL),∴ ∠MBQ= ∠CBQ; (3) 6 5 cm 或 3 cm　 【解析】同(2)可证:Rt△BMQ≌ Rt△BCQ(HL), ∴ MQ =CQ. ①如图 1,当 PD = 2 cm, AP = 4 cm 时,由折叠可知,AP = MP = 4 cm,设 CQ = MQ= x cm,则 DQ = ( 6 - x) cm,PQ = ( 4 + x) cm,在 Rt△PQD 中,PD2 +DQ2 =PQ2,∴ 22 +(6-x) 2 = (4+x) 2, 解得 x= 6 5 ,∴ CQ= 6 5 cm;②如图 2,当 AP = 2 cm,PD = 4 cm 时,由折叠可知,AP=MP = 2 cm,设 CQ=MQ = a cm,则 DQ= (6-a) cm,PQ = (2+a) cm,在 Rt△PQD 中,PD2 +DQ2 =PQ2,∴ 42 +(6-a) 2 = (2+a) 2,解得 a = 3,∴ CQ= 3 cm. 综上,CQ 的长为 6 5 cm 或 3 cm. 图 1 　 　 　 图 2 5. 解:(1)结论:EF=BE+DF. (2)结论:EF=BE+DF 成立. 理由如下: 如图 2 中,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连接 AG. ∵ ∠B = ∠ADC = 90°, ∴ ∠B = ∠ADG = 90°, ∵ AB = AD,DG = BE, ∴ △ABE≌ △ADG ( SAS), ∴ AE = AG, ∠BAE = ∠DAG, ∵ ∠EAF = 1 2 ∠BAD, ∴ ∠BAE + ∠DAF = ∠EAF, ∴ ∠FAE = ∠FAG, ∵ AF = AF, ∴ △FAE≌△FAG( SAS),∴ EF = FG,∴ EF = FG = DG+ DF=BE+DF. (3)结论不成立,应为:EF =BE-DF. 理由如下:在 BE 上截取 BG,使 BG = DF,连接 AG. ∵ ∠B + ∠ADC = 180°,∠ADF+∠ADC = 180°,∴ ∠B = ∠ADF. ∵ AB = AD,∴ △ABG≌△ADF(SAS),∴ ∠BAG = ∠DAF,AG = AF. ∴ ∠BAG + ∠EAD = ∠DAF + ∠EAD = ∠EAF = 1 2 ∠BAD,∴ ∠GAE = ∠EAF,∵ AE = AE,∴ △AEG≌ △AEF(SAS),∴ EG=EF,∵ EG =BE-BG,∴ EF =BE- FD. 图 2 　 　 　 　 　 图 3 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 39 页