追梦专项总结突破卷(三)四边形的性质、判定、折叠和动点问题-【追梦之旅·初中数学铺路卷】 2023-2024学年八年级下册数学（人教版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(三) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂四边形的性质、判定、折叠和动点问题 题型一　 四边形的性质与判定 1. 已知:如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是边 AB,CD 的 中点. (1)求证:四边形 EBFD 是平行四边形; (2)若 AD=AE= 2,∠A= 60°,求四边形 EBFD 的周长. 2. 如图,在菱形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 交于点 O,分别过点 B、 C 作 BE∥AC,CE∥BD,BE 与 CE 交于点 E. (1)求证:四边形 OBEC 是矩形; (2)当∠ABD= 60°,AD= 2 3时,求菱形 ABCD 的面积. 3. 如图,菱形 EFGH 的三个顶点 E、G、H 分别在正方形 ABCD 的边 AB、CD、DA 上,连接 CF. (1)求证:∠HEA= ∠CGF; (2)当 AH=DG 时,求证:菱形 EFGH 为正方形. 题型二　 探究线段间的和、差、相等关系 4. 在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 BC 边所在的直线上,过点 D 作 DE ∥AC 交直线 AB 于点 E,DF∥AB 交直线 AC 于点 F. (1)当点 D 在 BC 边上时,如图 1,求证 DE+DF=AC; (2)当点 D 在 BC 边的延长线上时,如图 2;当点 D 在 BC 边反向 延长线上时,如图 3,请分别写出图 2、图 3 中 DE,DF,AC 之间的 数量关系,不需要证明; (3)若 AC= 6,DE= 2,则 DF= 　 　 　 　 . 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 5. 【操作发现】 (1)如图 1,在矩形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,将△ABE 沿 AE 折 叠后得到△AFE,点 F 在矩形 ABCD 内部,延长 AF 交 CD 于点 G. 猜想线段 GF 与 GC 的数量关系是　 　 　 　 . 【类比探究】 (2)如图 2,将(1)中的矩形 ABCD 改为平行四边形,其他条件不 变,(1)中的结论是否仍然成立? 请说明理由; 【拓展应用】 (3)如图 3,将(1)中的矩形 ABCD 改为正方形,边长 AB = 8,其 他条件不变,求线段 GC 的长. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 题型三　 探究条件问题 6. (湖南娄底一模)如图,△ABC 为等边三角形,D、F 分别为 BC、 AB 上的点,且 CD=BF. (1)求证:△ACD≌△CBF; (2)以 AD 为边作等边三角形△ADE,点 D 在线段 BC 上的何处 时,四边形 CDEF 是平行四边形. ·33· 7. 如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AD 的中点,将△ABE 沿 BE 折叠, 点 A 的对应点为点 F. (1)如图 1,当点 F 恰好落在 BC 边上时,判断四边形 ABFE 的形 状,并说明理由. (2)如图 2,当点 F 在矩形 ABCD 内部时,延长 BF 交 DC 边于点 G. ①试探究线段 BG,AB,DG 之间的数量关系,并说明理由. ②当 G 点分 CD 边的比为 1 ∶3 时,试探究矩形 ABCD 的边长 AD 和 AB 之间的数量关系,并说明理由. 图 1 　 　 　 　 图 2 　 　 　 　 题型四　 探究动点问题 8. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,∠B= 45°,BC= 10,过点 A 作 AD ∥BC,且点 D 在点 A 的右侧,点 P 从点 A 出发沿射线 AD 方向以 每秒 1 个单位的速度运动,同时点 Q 从点 C 出发沿射线 CB 方 向以每秒 2 个单位的速度运动,在线段 QC 上取点 E,使得 QE= 2,连接 PE,设点 P 的运动时间为 t 秒. (1)若 PE⊥BC,求 BQ 的长. (2)请问是否存在 t 的值,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平 行四边形? 若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由; 9. 已知,在矩形 ABCD 中,AB = 4 cm,BC = 8 cm,AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点 E、F,垂足为 O. (1) 如图 1,连接 AF、CE,求证四边形 AFCE 为菱形,并求 AF 的长; (2)如图 2,动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,沿△AFB 和 △CDE 各边匀速运动一周,即点 P 自 A→F→B→A 停止,点 Q 自 C→D→E→C 停止,在运动过程中,点 P 的速度为每秒 1 cm, 设运动时间为 t 秒. ①问在运动的过程中,以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能 是矩形吗? 若有可能,请求出运动时间 t 和点 Q 的速度;若不可 能,请说明理由; ②若点 Q 的速度为每秒 0. 8 cm,当 A、P、C、Q 四点为顶点的四 边形是平行四边形时,求 t 的值. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 10. 如图 1,正方形 ABCD 中,点 O 是对角线 AC 的中点,点 P 是线 段 AO 上(不与点 A,O 重合)的一个动点,过点 P 作 PE⊥PB 且 PE 交边 CD 于点 E. (1)求证:PE=PB; (2)如图 2,若正方形 ABCD 的边长为 2,过点 E 作 EF⊥AC 于 点 F,在点 P 运动的过程中,PF 的长度是否发生变化? 若不 变,试求出这个不变的值;若变化,请说明理由; (3)用等式表示线段 PC,PA,CE 之间的数量关系. 图 1 　 　 图 2 　 　 题型五　 四边形中的翻折问题 11. 如图,在▱ABCD 中,将△ADC 沿 AC 折叠后,点 D 恰好落在 DC 的延长线上的点 E 处. 若∠B = 60°,AB = 1,则▱ABCD 的周长 为(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第 11 题图 　 　 　 第 12 题图 12. 如图,已知矩形 ABCD,将△BCD 沿对角线 BD 折叠,记点 C 的 对应点为 C′,若∠ADC′= 20°,则∠BDC 的度数为(　 　 ) A. 55° B. 50° C. 60° D. 65° ·43· AD′=AD= 5,PD′=PD,∠PD′A= 90°,∴ CD′=AC- AD′= 13-5 = 8,设 PC = x,则:PD′ = PD = 12-x,在 Rt△PD′C 中,CD′2 +PD′2 =PC2,则:82 +(12-x) 2 = x2,解得 x= 26 3 ,∴ PC= 26 3 . 追梦专项总结突破卷(三) 1. (1)证明:在▱ABCD 中,AB = CD,AB∥CD. ∵ E、F 分别是 AB、CD 的中点,∴ BE = 1 2 AB,DF = 1 2 CD. ∴ BE=DF. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形. (2)解:∵ AD=AE,∠A= 60°,∴ △ADE 是等边三角 形. ∴ DE=AD= 2. ∵ E 是 AB 的中点,∴ BE = AE = 2,∴ 四边形 EBFD 的周长= 2(BE+DE)= 8. 2. (1)证明:∵ CE∥BD,BE∥AC,∴ 四边形 OBEC 是 平行四边形. 又∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥ BD,∴ ∠BOC= 90°. ∴ 四边形 OBEC 是矩形. (2)∵ AC⊥BD,∠ABD= 60°,AD= 2 3 ,∴ OD= 3 , AO=OC = 3. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ S菱形ABCD = 4S△AOD = 4× 1 2 ×3× 3 = 6 3 . 3. 证明:(1)连接 GE. ∵ AB∥CD,∴ ∠AEG = ∠CGE. ∵ GF∥HE,∴ ∠HEG= ∠FGE,∴ ∠HEA= ∠CGF; (2)∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠D = ∠A = 90°. ∵ 四边形 EFGH 是菱形,∴ HG = HE,在 Rt△HAE 和 Rt △GDH 中 AH =DG HE=HG{ ,∴ Rt △HAE≌ Rt △GDH (HL),∴ ∠AHE = ∠DGH,又∵ ∠DHG + ∠DGH = 90°,∴ ∠DHG+∠AHE = 90°,∴ ∠GHE = 90°,∴ 菱 形 EFGH 为正方形; 4. (1)证明:∵ DE∥AC,DF∥AB,∴ 四边形 AEDF 是 平行四边形,∴ DE = AF,∠FDC = ∠B,又∵ AB = AC,∴ ∠B= ∠C,∴ ∠FDC = ∠C,∴ DF =FC,∴ DE +DF=AF+FC=AC; (2)图 2 中:AC+DF=DE,图 3 中,AC+DE=DF. (3)4 或 8 5. 解:(1)GF=GC. (2)成立,理由如下:连接 CF,易知 BE = EF = EC, ∠B= ∠AFE,∴ ∠EFC = ∠ECF. ∵ ∠B+∠BCD = 180°,∠AFE + ∠EFG = 180°, ∴ ∠BCD = ∠EFG. ∴ ∠GFC= ∠GCF,∴ GF=GC. (3)由于正方形是特殊的平行四边形,∴ GF = GC 仍成立. 设 GC= x,则 GF= x,GD= 8-x,AG = 8+x. 在 Rt△ADG 中,根据勾股定理,得 AD2 +DG2 = AG2,即 82 +(8-x) 2 = (8+x) 2,解得 x= 2. 即 GC 长为 2. 6. (1)证明:∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠B = ∠ACD = 60°, AC = BC, 在 △ACD 和 △CBF 中 AC=BC ∠ACD= ∠B CD=BF { ,∴ △ACD≌△CBF(SAS); (2) 解:D 在线段 BC 上任意位置(但 D,C 不重 合),四边形 CDEF 是平行四边形. ∵ △ACD ≌ △CBF,∴ ∠BCF = ∠DAC,AD = CF. ∵ AD = DE, ∴ DE=CF. ∵ ∠ACD = ∠ADE = 60°,∠C+∠CAD = ∠ADB,∴ ∠DAC = ∠BDE. ∵ ∠BCF = ∠DAC, ∴ ∠BDE= ∠BCF,∴ DE∥CF. ∵ DE = CF,∴ 四边形 CDEF 是平行四边形. 7. (1)四边形 ABFE 是正方形,理由如下:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠BAE = ∠ABF = 90°,由题意得 ∠EAB= ∠EFB = 90°,∴ 四边形 ABFE 为矩形. 又 ∵ AB=BF,∴ 四边形 ABFE 为正方形; (2)①BG= AB+DG,理由如下:连接 EG,由图形的 翻折可知,EF = AE,BF = AB,∠EFB = ∠A = 90°,∴ ∠EFG= ∠EDG = 90°. ∵ 点 E 是 AD 的中点,∴ AE = ED, ∴ EF = ED. 又 ∵ EG = EG, ∴ Rt △EFG ≌ Rt△EDG(HL),∴ DG = FG,∴ BG = BF+FG,即 BG =AB+DG; ②AD= 3AB 或 AB = AD　 【解析】当 CG ∶DG = 1 ∶3 时,设 CG=m,则 DG= 3m,∴ AB =CD=BF = 4m,BG = 4m + 3m = 7m, 在 Rt △BCG 中, AD = BC = BG2 -CG2 = 4 3m= 4m× 3 ,∴ AD= 3AB;当 DG ∶ CG= 1 ∶3时,设 DG=n,则 CG= 3n,∴ AB=CD=BF = 4n,BG = 4n + n = 5n,在 Rt △BCG 中, AD = BC = BG2 -CG2 = (5n) 2 -(3n) 2 = 4n,∴ AD = AB. 综 上,矩形 ABCD 的边长 AD 和 AB 之间的数量关系 为 AD= 3AB 或 AD=AB. 8. 解:(1) 如图:过 A 作 AM⊥BC 于 M, 设 AC 交 PE 于 N. ∵ ∠BAC= 90°,∠B= 45°,∴ ∠C= 45° = ∠B. ∴ AB = AC, ∴ BM = CM,∴ AM= 1 2 BC = 5. ∵ AD∥BC,∴ ∠PAN = ∠C = 45°. ∵ PE⊥BC,∴ PE = AM = 5,PE⊥AD,∴ △APN 和△CEN 是等腰直角三角形,∴ PN = AP = t,CE = NE= 5-t. ∵ CE=CQ-QE= 2t-2,∴ 5-t = 2t-2,解得 t= 7 3 ,∴ BQ=BC-CQ= 10-2× 7 3 = 16 3 . (2)存在,t= 4 秒或 12 秒;理由如下:①当点 Q、E 在线段 BC 上时,若以 A,B,E,P 为顶点的四边形 为平行四边形,则 AP=BE,∴ t = 10-2t+2,解得 t = 4,②当点 Q、E 在线段 CB 的延长线上时,若以 A, B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形,则 AP = BE,∴ t= 2t-2-10,解得 t= 12,∴ 存在 t 的值,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形,t = 4 秒 或 12 秒; 9. 解:(1)∵ EF 是 AC 的垂直平分线,∴ AE = EC,AF =FC. ∵ AO=OC,∠EAC = ∠BCA,∠AOE = ∠COF, ∴ △AOE≌△COF(ASA),∴ AE =CF,∴ AE = CF = EC=AF,∴ 四边形 AFCE 为菱形,设 AF = x,则 FC = x,BF= 8-x,在 Rt△ABF 中,x2 = 42 +(8-x) 2,x = 5,则 AF= 5; (2)①在运动的过程中,以 A、P、C、Q 四点为顶点 的四边形有可能是矩形,只有当 P 运动到 B 点,Q 运动到 D 点时,以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形 是矩形,P 点运动的时间是:t = (5+3) ÷1 = 8(s) . Q 的速度是:4÷8 = 0. 5(cm / s),即当 A、P、C、Q 四点 为顶点的四边形是矩形时,运动的时间为 8s,此时 Q 的速度是 0. 5cm / s; 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 21 页 ②分为三种情况: i)P 在 AF 上,0≤t≤5. ∵ 点 P 的速度为每秒 1cm, 点 Q 的速度为每秒 0. 8cm,∴ Q 只能在 CD 上,此 时以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形不可能是平 行四边形; ii)当 P 在 BF 上时,5<t≤8,Q 在 DE 上,A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是平行四边形;如图. ∵ AQ= 8-(0. 8t-4),CP=PF+FC=PF+AF= t,∴ 8- (0. 8t-4)= t,t= 20 3 ; iii)当 P 在 AB 上时,8<t≤12,Q 在 DE 或 CE 上,此 时以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形不是平行四 边形,综上所述:当 A、P、C、Q 四点为顶点的四边 形是平行四边形时,t= 20 3 . 10. (1)证明:如图 1,过点 P 作 MN∥AD,交 AB 于点 M,交 CD 于点 N. ∵ PB⊥PE, ∴ ∠BPE = 90°, ∴ ∠MPB+∠EPN = 90°. ∵ 四边形 ABCD 是正方 形,∴ ∠BAD = ∠D = 90°. ∵ AD∥MN,∴ ∠BMP = ∠BAD= ∠PNE = ∠D = 90°. ∵ ∠MPB+∠MBP = 90°,∴ ∠EPN= ∠MBP. 在 Rt△PNC 中,∠PCN = 45°,∴ △PNC 是等腰直角三角形, ∴ PN = CN, ∴ BM=CN=PN,∴ △BMP≌△PNE(ASA),∴ PB =PE. 　 　 　 (2)解:在 P 点运动的过程中,PF 的长度不发生 变化. 理由:如图 2,连接 OB,∵ 点 O 是正方形 ABCD 对角线 AC 的中点,∴ OB⊥AC,∴ ∠AOB = 90°,∴ ∠AOB = ∠EFP = 90°,∴ ∠OBP+∠BPO = 90°. ∵ ∠BPE = 90°,∴ ∠BPO+ ∠OPE = 90°,∴ ∠OBP= ∠OPE. 由( 1) 得 PB = PE,∴ △OBP≌ △FPE(AAS),∴ OB = PF. ∵ AB = 2,△ABO 是等 腰直角三角形,∴ OB= 2 . ∴ PF 的长为定值 2 . (3)解:PC=PA+ 2 EC. 理由:如图 1,∵ ∠BAC = 45°,∴ △AMP 是等腰直角三角形,∴ PA= 2PM. 由(1)知 PM = NE,∴ PA = 2 NE. ∵ △PCN 是等 腰直角三角形,∴ PC = 2 NC = 2 (NE+EC) = 2 NE+ 2EC=PA+ 2EC. 11. C　 12. A 追梦专项总结突破卷(四) 1. B　 【解析】由题意 k +3>0 2-k>0{ ,解得-3<k<2. ∵ k+1 +(k-1) 0 有意义,∴ 1+k≥0,k-1≠0,∴ k≥ -1 且 k≠1,∴ -1≤k<2 且 k≠1,∴ k 的值可能为-1. 故 选 B. 2. B　 3. C　 4. B 5. B　 【解析】由题意,得 m>01-m>0{ ,解得 0<m<1. 故选 B. 6. A　 7. C 8. 解:(1)①0 ②-12 或 12 (2)描点,画出函数的图象如图: (3)①4 ②函数 y= - | x | +4 的图象关于 y 轴对称(答案不 唯一) 9. B　 【解析】∵ 直线 l 的解析式为:y= 3 3 x,A(0,1), ∴ B( 3 ,1),则 OA= 1,AB = 3 ,∴ OB = OA2 +AB2 = 2. ∵ AB∥x 轴,∠ABO = 30°,A1B⊥l,∴ ∠ABA1 = 60°,∠BA1O= 30°,∴ A1O = 4,∴ A1(0,4),同理可 得 A2(0,16),…∴ A4 纵坐标为 44 = 256,∴ A4(0, 256) . 故选 B. 10. B　 【解析】由题意可得,点 A1 的坐标为(1,2), 设点 B1 的坐标为 ( a, 1 2 a) . ∵ a2 +( 1 2 a) 2 = 12 +22 ,解得 a = 2,∴ 点 B1 的坐标为(2,1),同 理可得,点 A2 的坐标为(2,4),点 B2 的坐标为 (4,2),点 A3 的坐标为(4,8),点 B3 的坐标为(8, 4),…∴ 点 B2 023 的坐标为(22 023,22 022) . 故选 B. 11. B　 【解析】∵ OA1 = 1,∴ 点 A1 的坐标为(1,0) . ∵ △OA1B1 是等腰直角三角形,∴ A1B1 = 1,∴ B1 (1,1) . ∵ △B1A1A2 是等腰直角三角形,∴ A1A2 = 1,∴ OA2 = 2,∵ △B2A2A3 为等腰直角三角形,∴ B2(2,2),同理可得,B3(22,22),B4(23,23),…Bn (2n-1,2n-1),∴ 点 B2 024 的坐标是(22 023,22 023) . 故 选 B. 12. (22 023,22 024 -1) 　 【解析】由于直线 y = x-1 与 x 轴交于点 A1(1,0),与 y 轴的交点坐标为(0,- 1),因此有 OA1 = 1 =A1B1 =B1C1 =OC1,△A1B1A2、 △A2B2A3、△A3B3A4,…都是等腰直角三角形,所 以点 B1 的横坐标为 1 = 20,纵坐标为 1 = 21 -1,点 B2 的横坐标为 2 = 21,纵坐标为 1+2 = 3 = 22 -1,点 B3 的横坐标为 4 = 22,纵坐标为 1+2+4 = 7 = 23 -1, 点 B4 的横坐标为 8 = 23,纵坐标为 1+2+4+8 = 15 = 24 -1,……点 B2 024 的横坐标为 22 023,纵坐标为 22024 -1,即点 B2024(22 023,22 024 -1) . 13. A　 14. A 15. B　 【解析】根据题意画出相应的图形,如图所示: 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 22 页