追梦专项总结突破卷(二)勾股定理-【追梦之旅·初中数学铺路卷】 2023-2024学年八年级下册数学（人教版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(二) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂勾股定理 题型一　 折叠问题 类型 1　 三角形中的折叠问题 1. 下图是一张直角三角形的纸片,两直角边 AC= 6 cm,BC = 8 cm, 现将△ABC 折叠,使点 B 与点 A 重合,折痕为 DE,则 DE 的长为 (　 　 )cm. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. 4 B. 5 C. 15 4 D. 25 4 第 1 题图 　 　 　 　 　 　 　 　 第 2 题图 2. 如图,Rt△ABC 中,AB= 9,BC = 6,∠B = 90°,将△ABC 折叠,使 A 点与 BC 的中点 D 重合,折痕为 MN,则线段 BN 的长为(　 　 ) A. 4 B. 5 C. 5 3 D. 5 2 3. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是( -3,0),点 B 的坐标 是(0,4),点 M 是 OB 上一点,将△ABM 沿 AM 折叠,点 B 恰好 落在 x 轴上的点 B′处,则点 M 的坐标为(　 　 ) A. ( 3 2 ,0) B. (0, 3 2 ) C. ( 5 2 ,0) D. (0, 5 2 ) 第 3 题图 　 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,在 Rt△ABC 中,∠BAC= 90°,AB= 2 2 ,AC= 6,点 E 在线段 AC 上,D 是线段 BC 上的一点,连接 DE,将四边形 ABDE 沿直线 DE 翻折,得到四边形 FGDE,当点 G 恰好落在线段 AC 上时,CG = 2,则 AE= 　 　 　 　 . 5. 如图所示,在△ABC 中,AB= 20,AC= 12,BC= 16,点 D 在 BC 上, 把△ABD 沿 AD 折叠,使 AB 落在直线 AC 上. (1)判断△ABC 的形状. (2)求重叠部分(阴影部分)的面积. 类型 2　 特殊四边形中的折叠问题 6. 如图,在矩形 ABCD 中,点 E 在边 CD 上,将矩形 ABCD 沿 AE 所 在直线折叠,点 D 恰好落在边 BC 上的点 F 处. 若 AB = 8,DE = 5,则 AD 的长为(　 　 ) A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 第 6 题图 　 　 　 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,在长方形 ABCD 中,AB= 3 cm,AD= 9 cm,将此长方形折叠, 使点 D 与点 B 重合,折痕为 EF,则△ABE 的面积为(　 　 )cm2 . A. 12 B. 10 C. 6 D. 15 8. 如图,矩形纸片 ABCD,AB= 4,BC= 3,点 P 在 BC 边上,将△CDP 沿 DP 折叠,点 C 落在点 E 处,PE、DE 分别交 AB 于点 O、F,且 OP=OF,则 BF 的长为　 　 　 　 . 第 8 题图 　 　 　 　 　 　 第 9 题图 9. 如图,在正方形 ABCD 中,AB = 4,点 E 是 CD 边的中点,将该纸 片折叠,使点 B 与点 E 重合,折痕交 AD,BC 边于点 M,N,连接 ME,NE. 则 ME 的长为　 　 　 　 . 10. 如图所示,折叠长方形一边 AD,点 D 落在 BC 边的点 F 处,已 知 BC= 10 厘米,AB= 8 厘米. (1)求 BF 与 FC 的长. (2)求 EC 的长. 题型二　 最短路径问题 类型 1　 平面中的最短路径问题 11. 如图,A、B 两个小镇在河流的同侧,分别到河岸 l 的距离为 AC = 10 千米,BD= 30 千米,且 CD= 30 千米,现在要在河边建一自 来水厂,分别向 A、B 两镇供水,铺设水管的费用为每千米 2 万 元,请你在河岸 l 上选择水厂的位置 M(作图并标注出来),使 铺设水管的费用最节省,并求出总费用是多少? ·13· 类型 2　 立体图形中的最短路径问题 12. 如图,一圆柱体的底面周长为 10 cm,高 AB 为 12 cm,BC 是直 径,一只蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱的表面爬行到点 C 的最短 路程为(　 　 ) A. 17 cm B. 13 cm C. 12 cm D. 14 cm 第 12 题图 　 　 　 　 第 13 题图 　 　 13. 如图,长方体的底面边长分别为 2 cm 和 4 cm,高为 5 cm. 若一 只蚂蚁从 P 点开始经过 4 个侧面爬行一圈到达 Q 点,则蚂蚁 爬行的最短路径长为(　 　 ) A. 61 cm B. 11 cm C. 13 cm D. 17 cm 14. 如图,一只蚂蚁从长为 5 cm、宽为 3 cm,高是 4 cm 的长方体纸 箱的 A 点沿纸箱爬到 B 点,那么它所爬行的最短路线的长 是　 　 　 　 cm. 第 14 题图 　 　 　 　 　 　 第 15 题图 15. 如图是棱长为 4 cm 的立方体木块,一只蚂蚁在 A 点,若在 B 点 处有一块糖,它想尽快吃到这块糖,则蚂蚁沿正方体表面爬行 的最短路程是　 　 　 　 cm. 16. (苏州期中)如图所示,ABCD 是长方形地面,长 AB = 20 m,宽 AD= 10 m. 中间竖有一堵砖墙高 MN = 2 m. 一只蚂蚱从 A 点爬 到 C 点,它必须翻过中间那堵墙,求它至少要走多少 m 的 路程. 题型三　 勾股定理中的思想方法 类型 1　 分类讨论思想 17. 在 Rt△ABC 中,AB= 8,BC= 6,则以 AC 为边的正方形的面积为 　 　 　 　 . 18. 在等腰直角三角形 ABC 中,∠ACB = 90°,AC = 3,点 P 为边 BC 的三等分点,连接 AP,则 AP 的长为　 　 　 　 . 19. 在 Rt△ABC 中,∠ABC = 90°,AB = 3,BC = 4,过点 B 的直线把 △ABC 分割成两个三角形且交线段 AC 于点 P,使其中只有一 个是等腰三角形,则 AP= 　 　 　 　 . 20. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,且 AC = 8,BC = 6. 点 P 是边 AC 上一动点,以直线 BP 为轴把△ABP 折叠,使得点 A 落在图 中点 A′ 处, 当 △AA′ C 是 直 角 三 角 形 时, 则 线 段 CP 的 长是　 　 　 　 . 第 20 题图 　 　 　 　 　 　 第 21 题图 类型 2　 方程思想 21. 如图,在 Rt△ABC 中,∠C = 90°,AC = 8,BC = 6,AB 的垂直平分 线分别交 AB、AC 于点 D、E,则 AE 的长是　 　 　 　 . 22. 某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思路,请你按照 他们的解题思路完成解答过程. 在△ABC 中,AB = 15,BC = 14, AC= 13,求△ABC 的面积. 作 AD⊥BC 于 点 D,设 BD= x,用含 x 的代 数式表示 CD → 根据勾股定理, 利用 AD 作为 “桥梁”,建立 方程模型求出 x → 利用勾股定理 求出 AD 的长, 再计算三角形 面积 → 类型 3　 利用转换思想求最值 23. 如图,三级台阶,每一级的长、宽、高分别为 8 dm、3 dm、2 dm. A 和 B 是这个台阶上两个相对的端点,点 A 处有一只蚂蚁,想到 点 B 处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 B 的最 短路程为(　 　 ) A. 15 dm B. 17 dm C. 20 dm D. 25 dm 24. 如图,在矩形纸片 ABCD 中,边 AB= 12,AD= 5,P 为 DC 边上的 动点(点 P 不与点 D,C 重合),将纸片沿 AP 折叠,当 CD′的长 最小时,求出 PC 的长. ·23· +16 2 m; (2)5×[ 243 × 128 -( 14 +1) ×( 14 -1)] = 5×(72 6 -13)= 360 6 - 65(元) . 即购买地砖需 要花费 360 6 -65 元. 16. A 17. C　 【解析】∵ m∗n=m(m-n) +n(m+n),∴ 2 ∗ 5 = 2 ×( 2 - 5 )+ 5 ×( 2 + 5 )= 2- 10 + 10 +5 = 7. 故选 C. 18. 2 19. (1)π　 (2) 2 -1 20. 解:(1) 7 - 2 (2)∵ m= 1 2- 3 = 2+ 3 ,n = 1 2+ 3 = 2- 3 ,∴ m+n = 4,m-n = 2 3 ,mn = 1,∴ 原式 = m -n mn(m+n) = 2 3 1×4 = 3 2 ; (3) 20-x - 4-x = 2 ①, ∴ ( 20-x - 4-x ) ( 20-x + 4-x )= 2( 20-x + 4-x ) = 20-x-(4 -x) = 16, ∴ 20-x + 4-x = 8 ②, ① + ② 得: 2 20-x = 10, 20-x = 5,20-x = 25,∴ x = -5,经检 验,x= -5 是原方程的解,∴ 原方程的解是 x= -5. 21. (1) 100 - 99 (2)解: 1 n+1 + n = n+1 - n ; (3) 解:原式 = 1 + 2 - 1 + 3 - 2 +… + 2 023 - 2 022 = 2 023 . 22. 解:(1)猜想 1+ 1 42 + 1 52 = 1+ 1 4 - 1 4+1 = 1 1 20 ; (2) 1+ 1 n2 + 1 (n+1) 2 = 1+ 1 n - 1 n+1 = 1+ 1 n(n+1) (3)原式= 1 1 2 +1 1 6 +1 1 12 +…+1 1 9900 = 1×99+1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + … + 1 99 - 1 100 = 99 + 1 - 1 100 = 99 99 100 . 追梦专项总结突破卷(二) 1. C 2. A　 【解析】设 BN = x,由折叠的性质可得 DN = AN = 9-x. ∵ D 是 BC 的中点,∴ BD = 3,在 Rt△NBD 中,x2 +32 =(9-x) 2,解得 x= 4. 即 BN= 4. 故选 A. 3. B　 【解析】∵ 将△ABM 沿 AM 折叠,∴ AB =AB′,又 ∵ A(-3,0),B(0,4),∴ AB = 5 = AB′,∴ 点 B′的坐 标为:(2,0),设 M 点坐标为(0,b),则 B′M =BM = 4-b. ∵ B′M2 =B′O2 +OM2,∴ (4-b) 2 = 22 +b2,∴ b = 3 2 ,∴ M(0, 3 2 ) . 故选 B. 4. 1 5. 解:(1) △ABC 是直角三角形,理由如下:∵ AC = 12,BC = 16,∴ AC2 +BC2 = 122 + 162 = 400. ∵ AB = 20,∴ AB2 = 400,∴ AC2 +BC2 = AB2,∴ △ABC 是直 角三角形; (2)∵ △ABD 沿 AD 折叠,使 AB 落在直线 AC 上, ∴ AB′=AB = 20,∴ CB′ = AB′-AC = 8,设 CD = x,则 BD= 16 - x = B′D,在 Rt △B′CD 中,CD2 +CB′2 = B′D2,∴ x2 + 82 = ( 16 - x) 2,解得 x = 6, ∴ CD = 6, ∴ S阴影 = 1 2 CD·AC= 1 2 ×6×12 = 36. 6. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形,AB = 8,∴ ∠B = ∠C= ∠D = 90°,AD = BC,CD = AB = 8. ∵ DE = 5, ∴ CE=CD-DE = 3. ∵ 矩形 ABCD 沿 AE 所在直线 折叠,∴ ∠AFE= ∠D= 90°,AF=AD,EF=DE= 5,在 Rt△CEF 中,CF= 52 -32 = 4,设 BF= x,则 AF= x+ 4,在 Rt△ABF 中,AB2 +BF2 = AF2,即 82 +x2 = ( x+ 4) 2,解得 x= 6,∴ AD=AF= x+4 = 10. 故选 B. 7. C 8. 12 5 　 【解析】根据折叠可知:△DCP≌△DEP,∴ DC = DE = 4, CP = EP. 在 △OEF 和 △OBP 中, ∠EOF= ∠BOP ∠E= ∠B= 90° OF=OP { ,∴ △OEF≌△OBP(AAS),∴ OE =OB,EF= BP,∴ BF = EP = CP,设 BF = EP = CP = x,则 AF= 4-x,BP= 3-x=EF,DF=DE-EF = 4-(3- x)= x+1,∵ ∠A = 90°,∴ Rt△ADF 中,AF2 +AD2 = DF2,即(4-x) 2 +32 = (1+x) 2,解得 x = 12 5 ,∴ BF = 12 5 . 9. 65 2 　 【解析】连接 BM. ∵ 四边形 ABCD 为正方 形,AB = 4,∴ ∠A = ∠D = 90°,AD = CD = AB = 4. ∵ 点 E 是 CD 边的中点,∴ DE = 2,在 Rt△ABM 和 Rt△DEM 中,由勾股定理可得:BM2 = AB2 +AM2, ME2 =DE2 +DM2,设 AM = x,则 DM = 4-x,∴ BM2 = 42 +x2,ME2 = 22 +(4 -x) 2,由折叠性质可得 ME = BM,∴ 42 +x2 = 22 +(4-x) 2,解得 x = 1 2 ,∴ DM =AD- AM= 7 2 ,∴ ME= DM2 +DE2 = 65 2 . 10. 解:(1) ∵ △ADE 折叠后的图形是△AFE,∴ AD = AF,∠D = ∠AFE,DE = EF. ∵ AD = BC = 10 cm, ∴ AF= AD = 10 cm. 又∵ AB = 8 cm,在 Rt △ABF 中,根据勾股定理,得 AB2 +BF2 =AF2,∴ 82 +BF2 = 102,∴ BF= 6 cm,∴ FC=BC-BF= 10-6 = 4(cm) . (2)设 EC 的长为 x cm,则 DE = ( 8 - x) cm. 在 Rt△EFC 中,根据勾股定理,得:FC2 +EC2 = EF2, ∴ 42 +x2 = (8-x) 2,即 16+x2 = 64-16x+x2,化简得 16x= 48,∴ x= 3,故 EC 的长为 3 cm. 11. 解:作 A 关于 CD 的对称点 A′,连接 A′B,与 CD 交 点为 M,点 M 即为所求的点. (如图) 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 19 页 延长 BD,过 A′作 BD 延长线的垂线交于点 K,则 可得:DK=A′C=AC= 10 千米,∴ BK =BD+DK = 40 (千米), ∴ AM +BM = A′ B = 302 +402 = 50 ( 千 米),50×2 = 100(万元) . 12. B　 【解析】如图所示:由于圆柱体的底面周长为 10 cm,则 AD= 10× 1 2 = 5(cm) . 又因为 CD = AB = 12 cm,所以 AC= 122 +52 = 13(cm) . 故蚂蚁从点 A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点 C 的最短路 程是 13cm. 故选 B. 13. C 14. 74 　 【解析】因为平面展开图不唯一,故分情况 分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定 最短的路线. ①展开前面右面由勾股定理得 AB2 =(5+3) 2 +42 = 80;②展开前面上面由勾股定理得 AB2 =(4+3) 2 +52 = 74;③展开左面上面由勾股定 理得 AB2 =(5+4) 2 +32 = 90. 所以最短路径的长为 AB= 74 (cm) . 15. 4 5 16. 解:如图所示,则 AB= 20+4 = 24(m),连接 AC. ∵ 四边形 ABCD 是长方形,AB= 24 m,宽 AD= 10 m, AC= AB2 +BC2 = 242 +102 = 676 = 26( m),∴ 蚂蚱从 A 点爬到 C 点,它至少要走 26 m 的路程. 17. 100 或 28　 【解析】①若 AC 为斜边. ∵ AB = 8,BC = 6,∴ AC= AB2 +BC2 = 82 +62 = 10,∴ 10×10 = 100;②若 AC 为直角边. ∵ AB = 8,BC = 6,∴ AC = AB2 -BC2 = 82 -62 = 2 7 . ∴ 2 7 ×2 7 = 28. 18. 13或 10 　 【解析】 ① 当点 P 靠近点 B 时. ∵ ∠ACB= 90°,AC = BC = 3. ∵ PB = 1 3 BC = 1,∴ CP= 2,∴ AP = AC2 +PC2 = 13 ,②当点 P 靠近 点 C 时,∵ ∠ACB= 90°,AC =BC = 3. ∵ PC = 1 3 BC = 1,∴ AP= AC2 +PC2 = 10 . 综上所述:AP 的长 为 13 或 10 . 19. 3 或18 5 或 1　 【解析】①当 AB = AP = 3 时,△ABP 是等腰三角形,△BCP 不是等腰三角形,②当 AB =BP= 3,且 P 在 AC 上时,△ABP 是等腰三角形, △BCP 不是等腰三角形,作△ABC 的高 BD. ∵ S△ABC = 1 2 AC·BD = 1 2 AB·BC,∴ BD = AB·BC AC = 12 5 ,∴ AD=DP= AB2 -BD2 = 32 -(12 5 ) 2 = 9 5 ,∴ AP= 2AD = 18 5 ,③ 当 CB = CP = 4,即 AP = 1 时, △CBP 是等腰三角形,△ABP 不是等腰三角形, 综上所述,AP= 3 或18 5 或 1. 20. 4 或 3　 【解析】如图 1,当∠AA′C= 90°时. ∵ 以直 线 BP 为轴把△ABP 折叠,使得点 A 落在图中点 A′处,∴ AP = A′P,∴ ∠PAA′ = ∠AA′P,∵ ∠ACA′+ ∠PAA′=∠CA′P+∠AA′P= 90°,∴ ∠PCA′= ∠PA′C, ∴ PC=PA′,∴ PC = 1 2 AC = 4;如图 2,当∠ACA′ = 90°时. ∵ 在 Rt△ABC 中,∠ACB = 90°,且 AC = 8, BC= 6. ∴ AB = 10. ∵ 以直线 BP 为轴把△ABP 折 叠,使得点 A 落在图中点 A′处,∴ A′B = AB = 10, PA=PA′,∴ A′C= 4,设 PC = x,∴ AP = 8-x. ∵ A′C2 +PC2 =PA′2,∴ 42 +x2 =(8-x) 2,解得 x = 3,∴ PC = 3,综上所述:当△AA′C 是直角三角形时,则线段 CP 的长是 4 或 3. 　 　 21. 25 4 　 【解析】连接 BE,∵ DE 垂直平分 AB,∴ AE = BE,设 AE = BE = x,则 CE = 8-x. 在 Rt△BCE 中. ∵ BC2 +CE2 =BE2,∴ 62 +(8-x) 2 = x2,解得 x = 25 4 , ∴ AE= 25 4 . 22. 解:在△ABC 中,AB = 15,BC = 14,AC = 13. 设 BD = x,则 CD= 14-x. 由勾股定理得 AD2 =AB2 -BD2 = 152 -x2,AD2 = AC2 -CD2 = 132 -(14-x) 2,∴ 152 -x2 = 132 -(14-x) 2,解得 x = 9,∴ AD = 12,∴ S△ABC = 1 2 BC·AD= 1 2 ×14×12 = 84. 23. B　 【解析】如图所示:三级台阶平 面展开图为长方形,长为 8 dm,宽 为(2+3)×3 = 15(dm),则蚂蚁沿台 阶面爬行到 B 点最短路程是此长 方形的对角线长. 可设蚂蚁沿台阶 面爬行到 B 点最短路程为 x dm,由勾股定理得: x2 = 82 +152 = 172,解得 x= 17. 故选 B. 24. 解:∵ AD′+CD′≥AC,∴ CD′≥AC-AD′,∴ 当 A, D′,C 三点共线时,CD′的长最小,在矩形纸片 AB- CD 中,边 AB = 12,AD = 5,∴ BC = AD = 5,∴ AC = AB2 +BC2 = 13,由折叠性质可得:CD = AB = 12, 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 20 页 AD′=AD= 5,PD′=PD,∠PD′A= 90°,∴ CD′=AC- AD′= 13-5 = 8,设 PC = x,则:PD′ = PD = 12-x,在 Rt△PD′C 中,CD′2 +PD′2 =PC2,则:82 +(12-x) 2 = x2,解得 x= 26 3 ,∴ PC= 26 3 . 追梦专项总结突破卷(三) 1. (1)证明:在▱ABCD 中,AB = CD,AB∥CD. ∵ E、F 分别是 AB、CD 的中点,∴ BE = 1 2 AB,DF = 1 2 CD. ∴ BE=DF. ∴ 四边形 EBFD 是平行四边形. (2)解:∵ AD=AE,∠A= 60°,∴ △ADE 是等边三角 形. ∴ DE=AD= 2. ∵ E 是 AB 的中点,∴ BE = AE = 2,∴ 四边形 EBFD 的周长= 2(BE+DE)= 8. 2. (1)证明:∵ CE∥BD,BE∥AC,∴ 四边形 OBEC 是 平行四边形. 又∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ AC⊥ BD,∴ ∠BOC= 90°. ∴ 四边形 OBEC 是矩形. (2)∵ AC⊥BD,∠ABD= 60°,AD= 2 3 ,∴ OD= 3 , AO=OC = 3. ∵ 四边形 ABCD 是菱形,∴ S菱形ABCD = 4S△AOD = 4× 1 2 ×3× 3 = 6 3 . 3. 证明:(1)连接 GE. ∵ AB∥CD,∴ ∠AEG = ∠CGE. ∵ GF∥HE,∴ ∠HEG= ∠FGE,∴ ∠HEA= ∠CGF; (2)∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ ∠D = ∠A = 90°. ∵ 四边形 EFGH 是菱形,∴ HG = HE,在 Rt△HAE 和 Rt △GDH 中 AH =DG HE=HG{ ,∴ Rt △HAE≌ Rt △GDH (HL),∴ ∠AHE = ∠DGH,又∵ ∠DHG + ∠DGH = 90°,∴ ∠DHG+∠AHE = 90°,∴ ∠GHE = 90°,∴ 菱 形 EFGH 为正方形; 4. (1)证明:∵ DE∥AC,DF∥AB,∴ 四边形 AEDF 是 平行四边形,∴ DE = AF,∠FDC = ∠B,又∵ AB = AC,∴ ∠B= ∠C,∴ ∠FDC = ∠C,∴ DF =FC,∴ DE +DF=AF+FC=AC; (2)图 2 中:AC+DF=DE,图 3 中,AC+DE=DF. (3)4 或 8 5. 解:(1)GF=GC. (2)成立,理由如下:连接 CF,易知 BE = EF = EC, ∠B= ∠AFE,∴ ∠EFC = ∠ECF. ∵ ∠B+∠BCD = 180°,∠AFE + ∠EFG = 180°, ∴ ∠BCD = ∠EFG. ∴ ∠GFC= ∠GCF,∴ GF=GC. (3)由于正方形是特殊的平行四边形,∴ GF = GC 仍成立. 设 GC= x,则 GF= x,GD= 8-x,AG = 8+x. 在 Rt△ADG 中,根据勾股定理,得 AD2 +DG2 = AG2,即 82 +(8-x) 2 = (8+x) 2,解得 x= 2. 即 GC 长为 2. 6. (1)证明:∵ △ABC 为等边三角形,∴ ∠B = ∠ACD = 60°, AC = BC, 在 △ACD 和 △CBF 中 AC=BC ∠ACD= ∠B CD=BF { ,∴ △ACD≌△CBF(SAS); (2) 解:D 在线段 BC 上任意位置(但 D,C 不重 合),四边形 CDEF 是平行四边形. ∵ △ACD ≌ △CBF,∴ ∠BCF = ∠DAC,AD = CF. ∵ AD = DE, ∴ DE=CF. ∵ ∠ACD = ∠ADE = 60°,∠C+∠CAD = ∠ADB,∴ ∠DAC = ∠BDE. ∵ ∠BCF = ∠DAC, ∴ ∠BDE= ∠BCF,∴ DE∥CF. ∵ DE = CF,∴ 四边形 CDEF 是平行四边形. 7. (1)四边形 ABFE 是正方形,理由如下:∵ 四边形 ABCD 为矩形,∴ ∠BAE = ∠ABF = 90°,由题意得 ∠EAB= ∠EFB = 90°,∴ 四边形 ABFE 为矩形. 又 ∵ AB=BF,∴ 四边形 ABFE 为正方形; (2)①BG= AB+DG,理由如下:连接 EG,由图形的 翻折可知,EF = AE,BF = AB,∠EFB = ∠A = 90°,∴ ∠EFG= ∠EDG = 90°. ∵ 点 E 是 AD 的中点,∴ AE = ED, ∴ EF = ED. 又 ∵ EG = EG, ∴ Rt △EFG ≌ Rt△EDG(HL),∴ DG = FG,∴ BG = BF+FG,即 BG =AB+DG; ②AD= 3AB 或 AB = AD　 【解析】当 CG ∶DG = 1 ∶3 时,设 CG=m,则 DG= 3m,∴ AB =CD=BF = 4m,BG = 4m + 3m = 7m, 在 Rt △BCG 中, AD = BC = BG2 -CG2 = 4 3m= 4m× 3 ,∴ AD= 3AB;当 DG ∶ CG= 1 ∶3时,设 DG=n,则 CG= 3n,∴ AB=CD=BF = 4n,BG = 4n + n = 5n,在 Rt △BCG 中, AD = BC = BG2 -CG2 = (5n) 2 -(3n) 2 = 4n,∴ AD = AB. 综 上,矩形 ABCD 的边长 AD 和 AB 之间的数量关系 为 AD= 3AB 或 AD=AB. 8. 解:(1) 如图:过 A 作 AM⊥BC 于 M, 设 AC 交 PE 于 N. ∵ ∠BAC= 90°,∠B= 45°,∴ ∠C= 45° = ∠B. ∴ AB = AC, ∴ BM = CM,∴ AM= 1 2 BC = 5. ∵ AD∥BC,∴ ∠PAN = ∠C = 45°. ∵ PE⊥BC,∴ PE = AM = 5,PE⊥AD,∴ △APN 和△CEN 是等腰直角三角形,∴ PN = AP = t,CE = NE= 5-t. ∵ CE=CQ-QE= 2t-2,∴ 5-t = 2t-2,解得 t= 7 3 ,∴ BQ=BC-CQ= 10-2× 7 3 = 16 3 . (2)存在,t= 4 秒或 12 秒;理由如下:①当点 Q、E 在线段 BC 上时,若以 A,B,E,P 为顶点的四边形 为平行四边形,则 AP=BE,∴ t = 10-2t+2,解得 t = 4,②当点 Q、E 在线段 CB 的延长线上时,若以 A, B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形,则 AP = BE,∴ t= 2t-2-10,解得 t= 12,∴ 存在 t 的值,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形,t = 4 秒 或 12 秒; 9. 解:(1)∵ EF 是 AC 的垂直平分线,∴ AE = EC,AF =FC. ∵ AO=OC,∠EAC = ∠BCA,∠AOE = ∠COF, ∴ △AOE≌△COF(ASA),∴ AE =CF,∴ AE = CF = EC=AF,∴ 四边形 AFCE 为菱形,设 AF = x,则 FC = x,BF= 8-x,在 Rt△ABF 中,x2 = 42 +(8-x) 2,x = 5,则 AF= 5; (2)①在运动的过程中,以 A、P、C、Q 四点为顶点 的四边形有可能是矩形,只有当 P 运动到 B 点,Q 运动到 D 点时,以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形 是矩形,P 点运动的时间是:t = (5+3) ÷1 = 8(s) . Q 的速度是:4÷8 = 0. 5(cm / s),即当 A、P、C、Q 四点 为顶点的四边形是矩形时,运动的时间为 8s,此时 Q 的速度是 0. 5cm / s; 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 21 页