追梦专项总结突破卷(一)二次根式的相关计算-【追梦之旅·初中数学铺路卷】 2023-2024学年八年级下册数学（人教版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(一) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂二次根式的相关计算 题型一　 与非负性有关的问题 1. 要使 1 2021-x 有意义,x 的取值范围是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. x≥2021 B. x≤2021 C. x>2021 D. x<2021 2. 若 x+1有意义,则 x 的取值范围是(　 　 ) A. x>-1 B. x≥0 C. x≥-1 D. 任意实数 3. 如果 x+3 +(2y-4) 2 = 0,那么 2x-y 的值为　 　 　 　 . 4. 当 x= 　 　 　 　 时,代数式 4x-8有最小值. 题型二　 与运算法则和运算律有关的运算 5. 下列计算正确的是(　 　 ) A. 8 - 2 = 2 B. 2 + 3 = 5 C. 2 3 -2 = 3 D. 2 3 - 3 = 2 6. 计算 18 × 2 27 ÷ 8结果为(　 　 ) A. 18 6 B. 9 4 6 C. 6 6 D. 4 3 6 7. 估计 3 ×( 20 - 5 )的值应在(　 　 ) A. 1 和 2 之间 B. 2 和 3 之间 C. 3 和 4 之间 D. 4 和 5 之间 8. 在下列二次根式中,与 3的和等于 4 3的是(　 　 ) A. 3 4 B. 12 C. 27 D. 18 9. 计算. (1) | 2- 6 | - 2 × 12 +( -4) 0; (2) 48 ÷( - 3 ) - 1 2 × 12 + 24 ; (3)( 5 - 3 ) ×( 3 + 5 ) +( 3 +2) 2; (4)( 5 + 2 ) ×( 5 - 2 ) - 24 - | 6 -3 | . 题型三　 与二次根式有关的化简求值 10. 若 (x-3) 2 = 3-x 成立,则 x 满足得条件(　 　 ) A. x≥3 B. x≤3 C. x>3 D. x<3 11. 当 1<a<2 时,代数式 (a-2) 2 + (a-1) 2 的值是(　 　 ) A. 1 B. -1 C. 2a-3 D. 3-2a 12. 实数 a 在数轴上的位置如图所示,则 a2 +1+ | a-1 | 的化简结 果是(　 　 ) A. 1 B. 2 C. 2a D. 1-2a 13. 化简求值. (1)已知 x= 3 -2,求代数式(7+4 3 )x2 +(2+ 3 )x+ 3的值. (2) 若 x、 y 为 实 数, y < x-2 - 2-x + 1, 化 简: | 2y - 2 | + y2 -2y+1 . (3)已知实数 a,b,c 在数轴上的位置如图所示,化简代数式: 22 - | a+c | + (c-b) 2 - | -b | . ( 4 ) 已 知 a、 b、 c 为 △ABC 的 三 边, 化 简: (a+b+c) 2 + (a-b-c) 2 + (b-a-c) 2 - (c-a-b) 2 . 题型四　 与二次根式有关的应用 14. 一个长方体的塑料容器中装满水,该塑料容器的底面是长为 4 3 cm,宽为 3 2 cm 的长方形,现将塑料容器内的一部分水 倒入一个底面半径 2 2 cm 的圆柱形玻璃容器中,玻璃容器水 面高度上升了 3 2 cm,求长方体塑料容器中的水下降的高度. (注意:π 取 3) ·92· 15. 某居民小区有块形状为长方形 ABCD 的绿地,长方形绿地的长 BC 为 243 m,宽 AB 为 128 m,现要在长方形绿地中修建一个长方形 花坛(即图中阴影部分),长方形花坛的长为( 14 +1) m,宽为 ( 14-1) m. (1)长方形 ABCD 的周长是多少? (2)除去修建花坛的地方,其他地方全修建成通道,通道上要 铺上造价为 5 元 / m2 的地砖,要铺完整个通道,则购买地砖需 要花费多少元? (结果化为最简二次根式) 题型五　 与新定义有关的问题 16. 用※定义一种新运算:对于任意实数 m 和 n,规定 m※n=m2n- mn- 3n,如:1 ※2 = 12 × 2 - 1 × 2 - 3 × 2 = - 6. 则( - 2) ※ 3 结 果为(　 　 ) A. 3 3 B. -2 3 C. 3 2 D. 2 3 17. 对于任意的实数 m,n,定义一种运算“∗”,m∗n =m(m-n) +n (m+n),则 2 ∗ 5 = (　 　 ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 18. 对于任意不相等的两个实数 a、b,定义一种运算※如下:a※b= a+b a-b . 如:4※3 = 4 +3 4-3 = 7 ,那么 9※7 = 　 　 　 　 . 19. 我们规定:如果实数 a,b 满足 a+b= 1,那么称 a 与 b 互为“匀称 数” . (1)1-π 与　 　 　 　 互为“匀称数”; (2)已知(m-1) (1+ 2 ) = -1,那么 m 与　 　 　 　 互为“匀称 数” . 20. 定义:我们将( a + b )与( a - b )称为一对“对偶式” . 因为 ( a + b )( a - b )= ( a ) 2 -( b ) 2 = a-b,所以构造“对偶式”, 再将其相乘可以有效的将( a + b )和( a - b )中的“ 　 ”去 掉,于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算:如2 + 2 2- 2 = (2+ 2 ) 2 (2- 2 )(2+ 2 ) = 3+2 2 . 像这样,通过分子、分母同乘以一个 式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫作分母有 理化. 根据以上材料,理解定义并运用材料提供的方法,解答以下 问题: (1)请直接写出 7 + 2的对偶式　 　 　 　 ; (2)已知 m= 1 2- 3 ,n= 1 2+ 3 ,求 m -n m2n+mn2 的值; (3)利用“对偶式”相关知识解方程: 20-x - 4-x = 2,其中 x ≤4. 题型六　 与规律有关的问题 21. 观察下列运算: 由( 2 +1) ×( 2 -1)= 1,得 1 2 +1 = 2 -1; 由( 3 + 2 ) ×( 3 - 2 )= 1,得 1 3 + 2 = 3 - 2 ; 由( 4 + 3 ) ×( 4 - 3 )= 1,得 1 4 + 3 = 4 - 3 ; … (1)观察上面的解答过程,请写出 1 100 + 99 = 　 　 　 　 ; (2)请你用含 n(n 为正整数)的式子表示上述各式子的变形 规律; (3) 利用 ( 2) 中你发现的规律计算: 1 + 1 2 +1 + 1 3 + 2 + … + 1 2 023 + 2 022 . 22. 先观察下列等式,再回答问题: ① 1+ 1 12 + 1 22 = 1+ 1 1 - 1 1+1 = 1 1 2 ② 1+ 1 22 + 1 32 = 1+ 1 2 - 1 2+1 = 1 1 6 ③ 1+ 1 32 + 1 42 = 1+ 1 3 - 1 3+1 = 1 1 12 (1)根据上面三个等式提供的信息,请你猜想 1+ 1 42 + 1 52 的 结果; (2)请按照上面各等式反映的规律,试写出用含 n 的式子表示 的等式:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; (3)计算: 1+ 1 12 + 1 22 + 1+ 1 22 + 1 32 + 1+ 1 32 + 1 42 +…+ 1+ 1 992 + 1 1002 ·03· 15. 变大 　 【解析】调整前工资平均数:(7 000 × 5 + 6 000×4+5 000×5)÷14 = 6 000(元),调整后工资 平均数:(7 000 × 6 + 6 000 × 2 + 5 000 × 6) ÷ 14 = 6 000(元) . 调整前后平均数相等,但每个数据减 去平均数后平方和增大,所以方差变大. 16. 解:(1)8　 8　 9(从左至右) (2)因为甲、乙 5 次打靶的平均数相同,但 s2甲 < s2乙,甲的成绩比较稳定,所以教练选择甲参加射 击比赛. 17. 解:(1)乙的平均成绩:(73+80+82+83) ÷4 = 79. 5 (分),79. 5<80. 25,故应派甲. (2)甲的加权平均数:x甲 = (85×2+78×1+85×3+ 73×4) ÷(2+1+3+4) = 79. 5(分),乙的加权平均 数:x乙 = (73×2+80×1+82×3+83×4) ÷(2+1+3+4) = 80. 4(分) . x甲<x乙,故应派乙. 18. 解:(1)86　 11. 2　 【解析】把这些数从小到大排 列为:80,83,86,86,90,则中位数是 86 分. 甲同学 的方差是: 1 5 ×[(86-85) 2 +(83-85) 2 +(90-85) 2 +(80-85) 2 +(86-85) 2] = 11. 2. (2)①从中位数看,甲的中位数略大于乙的中位 数,说明甲的数学成绩略好于乙;②从方差看,甲 的方差小于乙的方差,说明甲的成绩比乙更稳 定;③数据的变化趋势:从两人成绩的变化趋势 看,乙的成绩在逐渐上升,说明乙的成绩进步较 大. (任意两点即可) 19. 解:(1)94　 95. 5　 12 (2)①B 班的平均分比 A 班高;②B 班的方差小, 成绩稳定,故支持 B 班成绩好. 20. 解:(1)抽取员工总数为:10÷20% = 50(人) . 　 【解析】5 万元的员工人数为:50×24% = 12(人), 8 万元的员工人数为:50×36% = 18(人) . (2)8　 8　 8. 12 (3)1 200×10 +6 50 = 384(人) . 21. 解:(1)70　 65 (2)55 ×2+60×2+65×2+70×3+80×1 10 = 65(个); (3)这个“定额”确定为 65 比较合理;因为 65 既 是中位数,又是平均数,是大多数人能达到的定 额,故定额为 65 较为合理. 22. 解:(1)25　 【解析】4÷16% = 25(人) . (2) 【解析】男生成绩 7 分的人数有:45-25-(1+2+3+ 5+3)= 6(人) . (3)7. 9　 8 (4)女生表现更突出一些,从平均数来看,女生比 男生平均数大;从方差来看,女生方差小,波动性 小,较稳定;从众数来看,女生高于男生,因此,女 生表现更突出一些. 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 　 　 　 　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 　 　 　 　 　【易错提醒】不能只通过某一个统计量去判断成绩 的优劣,而应该从多个角度来分析成绩的情况,平 均数、众数、中位数描述了一组数据的集中程度,方 差较为精确地反映了一组数据相对于平均数的偏 离程度,是一个被广泛用来描述数据离散程度的 量. 23. 解:(1)100　 10 (2)C　 54° (3)1 000×30 +45 100 = 750(人),即该校八年级同学 竞赛成绩达到 80 分以上的学生约有 750 人. 追梦专项总结突破卷(一) 1. D　 2. C 3. -8　 【解析】由题意,得 x+3 = 0,2y-4 = 0,解得 x = -3,y= 2,∴ 2x-y= -6-2 = -8. 4. 2　 5. A　 6. C 7. C　 【解析】原式= 2 15 - 15 = 15 . ∵ 9<15<16, ∴ 3< 15 <4. 故选 C. 8. C 9. 解:(1)原式= 6 -2- 24 +1 = 6 -2-2 6 +1 = - 6 -1; (2)原式= - 16 - 6 +2 6 = -4+ 6 ; (3)原式= 5-3+3+4 3 +4 = 4 3 +9; (4)原式= 5-2-2 6 -3+ 6 = - 6 . 10. B　 【解析】∵ (x-3) 2 = | x-3 | = 3-x,∴ 3-x≥0, 解得 x≤3. 故选 B. 11. A　 【解析】∵ 1<a<2,∴ a-2<0,a-1>0,∴ 原式 = | a-2 | + | a-1 | = 2-a+a-1 = 1. 故选 A. 12. B 13. (1)解:当 x = 3 - 2 时,原式 = (7 + 4 3 ) ×( 3 - 2) 2 +(2+ 3 ) ×( 3 -2) + 3 = (7+4 3 ) ×(7-4 3 ) +3-4+ 3 = 49-48+3-4+ 3 = 3 . (2)解:由题意,得 x -2≥0 2-x≥0{ ,解得 x = 2,∴ y<1,∴ 原式= 2-2y+ (y-1) 2 = 2-2y+1-y= 3-3y. (3)解:由数轴可知:a<c<0<b<-a,∴ a+c<0,c-b< 0,-b<0,∴ 原式= 2+(a+c) + | c-b | -b= 2+a. (4)∵ a、b、c 为△ABC 的三边,∴ a<b+c,b<a+c,c <a+b,∴ a-b-c<0,b-a-c<0,c-a-b<0,则原式= a +b+c+b+c-a+a+c-b+c-a-b= 4c. 14. 解:设长方体塑料容器中水下降的高度为 h cm. 根据题意得:4 3 ×3 2 h= 3×(2 2 ) 2 ×3 2 ,解得 h = 2 3 ,即长方体塑料容器中的水下降 2 3 cm. 15. 解:( 1) 2 × ( 243 + 128 ) = 2 × ( 9 3 + 8 2 ) = 18 3 +16 2 (m),即长方形 ABCD 的周长是 18 3 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 18 页 +16 2 m; (2)5×[ 243 × 128 -( 14 +1) ×( 14 -1)] = 5×(72 6 -13)= 360 6 - 65(元) . 即购买地砖需 要花费 360 6 -65 元. 16. A 17. C　 【解析】∵ m∗n=m(m-n) +n(m+n),∴ 2 ∗ 5 = 2 ×( 2 - 5 )+ 5 ×( 2 + 5 )= 2- 10 + 10 +5 = 7. 故选 C. 18. 2 19. (1)π　 (2) 2 -1 20. 解:(1) 7 - 2 (2)∵ m= 1 2- 3 = 2+ 3 ,n = 1 2+ 3 = 2- 3 ,∴ m+n = 4,m-n = 2 3 ,mn = 1,∴ 原式 = m -n mn(m+n) = 2 3 1×4 = 3 2 ; (3) 20-x - 4-x = 2 ①, ∴ ( 20-x - 4-x ) ( 20-x + 4-x )= 2( 20-x + 4-x ) = 20-x-(4 -x) = 16, ∴ 20-x + 4-x = 8 ②, ① + ② 得: 2 20-x = 10, 20-x = 5,20-x = 25,∴ x = -5,经检 验,x= -5 是原方程的解,∴ 原方程的解是 x= -5. 21. (1) 100 - 99 (2)解: 1 n+1 + n = n+1 - n ; (3) 解:原式 = 1 + 2 - 1 + 3 - 2 +… + 2 023 - 2 022 = 2 023 . 22. 解:(1)猜想 1+ 1 42 + 1 52 = 1+ 1 4 - 1 4+1 = 1 1 20 ; (2) 1+ 1 n2 + 1 (n+1) 2 = 1+ 1 n - 1 n+1 = 1+ 1 n(n+1) (3)原式= 1 1 2 +1 1 6 +1 1 12 +…+1 1 9900 = 1×99+1- 1 2 + 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + … + 1 99 - 1 100 = 99 + 1 - 1 100 = 99 99 100 . 追梦专项总结突破卷(二) 1. C 2. A　 【解析】设 BN = x,由折叠的性质可得 DN = AN = 9-x. ∵ D 是 BC 的中点,∴ BD = 3,在 Rt△NBD 中,x2 +32 =(9-x) 2,解得 x= 4. 即 BN= 4. 故选 A. 3. B　 【解析】∵ 将△ABM 沿 AM 折叠,∴ AB =AB′,又 ∵ A(-3,0),B(0,4),∴ AB = 5 = AB′,∴ 点 B′的坐 标为:(2,0),设 M 点坐标为(0,b),则 B′M =BM = 4-b. ∵ B′M2 =B′O2 +OM2,∴ (4-b) 2 = 22 +b2,∴ b = 3 2 ,∴ M(0, 3 2 ) . 故选 B. 4. 1 5. 解:(1) △ABC 是直角三角形,理由如下:∵ AC = 12,BC = 16,∴ AC2 +BC2 = 122 + 162 = 400. ∵ AB = 20,∴ AB2 = 400,∴ AC2 +BC2 = AB2,∴ △ABC 是直 角三角形; (2)∵ △ABD 沿 AD 折叠,使 AB 落在直线 AC 上, ∴ AB′=AB = 20,∴ CB′ = AB′-AC = 8,设 CD = x,则 BD= 16 - x = B′D,在 Rt △B′CD 中,CD2 +CB′2 = B′D2,∴ x2 + 82 = ( 16 - x) 2,解得 x = 6, ∴ CD = 6, ∴ S阴影 = 1 2 CD·AC= 1 2 ×6×12 = 36. 6. B　 【解析】∵ 四边形 ABCD 为矩形,AB = 8,∴ ∠B = ∠C= ∠D = 90°,AD = BC,CD = AB = 8. ∵ DE = 5, ∴ CE=CD-DE = 3. ∵ 矩形 ABCD 沿 AE 所在直线 折叠,∴ ∠AFE= ∠D= 90°,AF=AD,EF=DE= 5,在 Rt△CEF 中,CF= 52 -32 = 4,设 BF= x,则 AF= x+ 4,在 Rt△ABF 中,AB2 +BF2 = AF2,即 82 +x2 = ( x+ 4) 2,解得 x= 6,∴ AD=AF= x+4 = 10. 故选 B. 7. C 8. 12 5 　 【解析】根据折叠可知:△DCP≌△DEP,∴ DC = DE = 4, CP = EP. 在 △OEF 和 △OBP 中, ∠EOF= ∠BOP ∠E= ∠B= 90° OF=OP { ,∴ △OEF≌△OBP(AAS),∴ OE =OB,EF= BP,∴ BF = EP = CP,设 BF = EP = CP = x,则 AF= 4-x,BP= 3-x=EF,DF=DE-EF = 4-(3- x)= x+1,∵ ∠A = 90°,∴ Rt△ADF 中,AF2 +AD2 = DF2,即(4-x) 2 +32 = (1+x) 2,解得 x = 12 5 ,∴ BF = 12 5 . 9. 65 2 　 【解析】连接 BM. ∵ 四边形 ABCD 为正方 形,AB = 4,∴ ∠A = ∠D = 90°,AD = CD = AB = 4. ∵ 点 E 是 CD 边的中点,∴ DE = 2,在 Rt△ABM 和 Rt△DEM 中,由勾股定理可得:BM2 = AB2 +AM2, ME2 =DE2 +DM2,设 AM = x,则 DM = 4-x,∴ BM2 = 42 +x2,ME2 = 22 +(4 -x) 2,由折叠性质可得 ME = BM,∴ 42 +x2 = 22 +(4-x) 2,解得 x = 1 2 ,∴ DM =AD- AM= 7 2 ,∴ ME= DM2 +DE2 = 65 2 . 10. 解:(1) ∵ △ADE 折叠后的图形是△AFE,∴ AD = AF,∠D = ∠AFE,DE = EF. ∵ AD = BC = 10 cm, ∴ AF= AD = 10 cm. 又∵ AB = 8 cm,在 Rt △ABF 中,根据勾股定理,得 AB2 +BF2 =AF2,∴ 82 +BF2 = 102,∴ BF= 6 cm,∴ FC=BC-BF= 10-6 = 4(cm) . (2)设 EC 的长为 x cm,则 DE = ( 8 - x) cm. 在 Rt△EFC 中,根据勾股定理,得:FC2 +EC2 = EF2, ∴ 42 +x2 = (8-x) 2,即 16+x2 = 64-16x+x2,化简得 16x= 48,∴ x= 3,故 EC 的长为 3 cm. 11. 解:作 A 关于 CD 的对称点 A′,连接 A′B,与 CD 交 点为 M,点 M 即为所求的点. (如图) 追梦之旅铺路卷·八年级下·RJ·数学　 第 19 页