追梦期末达标测试卷(二)-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年八年级下册数学（华东师大版 河南专版）

追梦期末达标测试卷(二) 测试时间:100 分钟　 　 测试分数:120 分　 　 得分:　 　 　 　 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1. 函数 y= 1 x-3 中,自变量 x 的取值范围是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　A. x≠3 B. x≠-3 C. x>3 D. x>-3 2. [数学文化]我国古代数学家祖冲之推算出 π 的近似值为355 113 , 它与 π 的误差小于 0. 000 000 3,将 0. 000 000 3 用科学记数法 可以表示为(　 　 ) A. 0. 3×10-6 B. 3×10-6 C. 3×10-7 D. 3×107 3. 已知正比例函数 y=kx 的图象经过点(4,-2),则 k 的值为(　 　 ) A. 1 2 B. - 1 2 C. -2 D. 2 4. 下列叙述错误的是(　 　 ) A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 菱形是中心对称图形 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 正方形的面积等于两条对角线乘积的一半 5. 某女鞋专卖店在一周内销售了某 种女鞋 60 双,对这批鞋子尺码及 销量进行统计,得到条形统计图 (如图). 根据图中信息,建议下次 进货量最多的女鞋尺码是(　 　 ) A. 24 cm B. 22. 5 cm C. 23 cm D. 23. 5cm 6. 如图,在正方形网格中,若点 A 的坐标是( 1,2),点 C 的坐标 ( -2,1),则点 B 的坐标是(　 　 ) A. (1,1) B. ( -1,-1) C. (1,-1) D. ( -1,1) 第 6 题图 　 　 　 第 7 题图 7. 如图,四边形 ABCD 是菱形,对角线 AC、BD 相交于点 O,过点 D 作 DH⊥AB 于点 H,∠CAD= 20°,则∠HDB 的度数是(　 　 ) A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 8. 关于 x 的方程2x -1 x-3 = m x-3 +1 有增根,则 m 的值是(　 　 ) A. 0 B. 3 或 5 C. 3 D. 5 9. 如图,矩形 ABCD 中,AD = 3,AB = 4,M 为线段 BD 上一动点,MP ⊥CD 于点 P,MQ⊥BC 于点 Q,则 PQ 的最小值是(　 　 ) A. 12 5 B. 3 C. 24 5 D. 5 2 第 9 题图 　 　 　 第 10 题图 10. 某种玻璃原材料需在 0 ℃环境保存,取出后匀速加热至 600 ℃ 高温,之后停止加热,玻璃制品温度会逐渐降低至室温( 30 ℃ ),加热和降温过程中可以对玻璃进行加工,且玻璃加工的 温度要求不低于 480 ℃ . 玻璃温度 y(℃ )与时间 x( min)的函 数图象如下,降温阶段 y 与 x 成反比例函数关系,根据图象信 息,以下判断正确的是(　 　 ) A. 玻璃加热速度为 120 ℃ / min B. 玻璃温度下降时,y 与 x 的函数关系式为 y= 600 x C. 能够对玻璃进行加工时长为 1. 8 min D. 玻璃从 600 ℃降至室温 30 ℃需要的时间为 80 min 二、填空题(每小题 3 分,共 15 分) 11. 计算:( -4) 0 -( 1 3 ) -1 - 9 = 　 　 　 　 . 12. 某企业决定招聘广告策划人员一人,某应聘者三项素质测试的 成绩(单位:分)如下: 测试项目 创新能力 综合知识 语言表达 测试成绩 88 80 75 如果将创新能力、综合知识和语言表达三项素质测试成绩按 5 ∶3 ∶2的比确定应聘者的最终成绩,则该应聘者的最终成绩为 　 　 　 　 分. 13. 如图,▱ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O,EF 过点 O,交 AD 于点 F,交 BC 于点 E. 若 AB= 3,AC = 4,AD = 5,则图中阴影 部分的面积是　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 第 14 题图 　 　 第 15 题图 14. 如图,正方形 ABCO 和正方形 CDEF 的顶点 B、E 在双曲线 y = 4 x (x>0)上,连结 OB、OE、BE,则 S△OBE 的值为　 　 　 　 . 15. 如图,在正方形 ABCD 中,将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 α(0°< α<180°)得到线段 AD′,连结 BD′、CD′. 若△D′BC 是等腰三角 形,则 α= 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 75 分) 16. (8 分)先化简(a 2 -1 a-3 -a-1) ÷ a +1 a2 -6a+9 ,然后从-1,0,1,3 中选 一个合适的数作为 a 的值代入求值. 17. (8 分)如图,在平行四边形 ABCD 中,连结 AC,过点 B 作 BE⊥ AC 于点 E,连结 DE. (1)请用无刻度的直尺和圆规完成以下基本作图:过点 D 作 DF⊥AC 于点 F,连结 BF(要求:不写作法,保留作图痕迹,使用 2B 铅笔作图); ( 2) 在( 1) 中所作的图形中,求证:四边形 DEBF 是平行四 边形. 完成下面的证明过程. (空白处填写理由或数学式) 证明:∵ BE⊥AC,DF⊥AC, ∴ ∠AEB= ∠BEC= ∠CFD= ∠DFA= 　 　 　 　 ,( 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ) ∴ BE∥DF. ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB=CD,　 　 　 　 ,( 　 　 　 　 　 　 　 　 ) ∴ ∠BAE= ∠DCF. 在△AEB 与△CFD 中 ∠BAE= ∠DCF AB=CD ∠AEB= ∠CFD ì î í ï ï ïï , ∴ △AEB≌△CFD,(　 　 　 　 ) ∴ 　 　 　 　 . (　 　 　 　 　 　 　 　 ) 又∵ BE∥DF, ∴ 四边形 DEBF 是平行四边形. (　 　 　 　 　 　 　 　 ) ·53· 18. (9 分)某学校对八年级(1)、(2)两个班级的学生进行了一次 数学测试,两个班级前 5 名的成绩(满分:100 分)分别是: 八(1)班:92,86,85,85,77;八(2)班:92,89,85,85,79. 两班的有关统计数据见下表. 平均数 中位数 众数 方差 八(1) 85 b c 22. 8 八(2) a 85 85 19. 2 请解决下面问题: (1)a= 　 　 　 　 ,b= 　 　 　 　 ,c= 　 　 　 　 ; (2)根据统计数据表,说明哪个班级前 5 名的整体成绩较好. 19. (9 分)如图:在菱形 ABCD 中,对角线 AC、BD 交于点 O,过点 A 作 AE⊥BC 于点 E,延长 BC 至点 F,使 CF=BE,连结 DF. (1)求证:四边形 AEFD 是矩形; (2)若 BF= 16,DF= 8,求 CD 的长. 20. (10 分)某县要修筑一条长为 6 000 米的乡村旅游公路,准备承 包给甲、乙两个工程队来合作完成,已知甲队每天筑路的长度是 乙队的 2 倍,前期两队各完成了 400 米时,甲比乙少用了 5 天. (1)求甲、乙两个工程队每天各筑路多少米? (2)若甲队每天的工程费用为 1. 5 万元,乙队每天的工程费用 为 0. 9 万元,要使完成全部工程的总费用不超过 120 万元,则 至少要安排甲队筑路多少天? 21. (10 分)小明的爸爸想在自家院子里用长为 12 米的篱笆围成 一个矩形小花园,爸爸问小明,矩形的相邻两边长分别设计为 多少米时小花园面积最大(不考虑接缝)? 小明利用学习的 《函数及其图象》知识探究如下,请将他的探究过程补充完整. (1)【建立函数模型】由矩形的周长为 12,设它的一边长为 x, 面积为 y,则 y 与 x 之间的函数关系式为 y = 　 　 　 　 ,其中自 变量 x 的取值范围是　 　 　 　 ; (2)【画出函数图象】 ①x 与 y 的几组对应值列表如表: x … 0. 5 1 1. 5 2 2. 5 3 3. 5 4 4. 5 5 5. 5 … y … 2. 75 5 6. 75 8 8. 75 9 8. 75 8 m 5 2. 75 … 其中 m= 　 　 　 　 ; ②根据上表数据,在如图所示的平面直 角坐标系中已描出了一部分对应值为 坐标的点, 请你画出该函数的大致 图象; (3)【观察图象解决问题】 ①写出该函数的一条性质:　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ; ②当 x = 　 　 　 　 时,矩形小花园的面 积最大. 22. (10 分)如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点 C 坐标为( -1,0), 点 A 的坐标为(0,2),一次函数 y= kx+b 的图象经过点 B,C,反 比例函数 y= m x 图象也经过点 B. (1)分别求出一次函数和反比例函数的表达式; (2)直接写出当 x<0 时,kx+b-m x <0 的解集; (3)点 Q 是平面直角坐标系上任意一点,点 P 是 y 轴上一动 点,当以点 A、C、P、Q 为顶点的四边形是菱形时,请求出点 P 的 坐标. 23. (11 分)【问题背景】 在矩形纸片 ABCD 中,AB= 6,BC= 10,点 P 在边 AB 上,点 Q 在 边 BC 上,将纸片沿 PQ 折叠,使顶点 B 落在点 E 处. 【初步认识】 (1)如图①,折痕的端点 P 与点 A 重合. ①当∠CQE= 50°时,∠AQB= 　 　 　 　 ; ②若点 E 恰好在线段 QD 上,则 BQ 的长为　 　 　 　 . 【深入思考】 (2)点 E 恰好落在边 AD 上. ①如图②,过点 E 作 EF∥AB 交 PQ 于点 F,连结 BF. 请根据题 意,补全图②并证明四边形 PBFE 是菱形; ②在①的条件下,当 AE= 3 时,菱形 PBFE 的边长为　 　 　 　 , BQ 的长为　 　 　 　 . 【拓展提升】 (3)如图③,若 DQ⊥PQ,连结 DE. 当△DEQ 是以 DQ 为腰的等 腰三角形时,请直接写出线段 BQ 的长. 图① 　 图② 　 图③ ·63· BC,AD∥BC, ∴ ∠E = ∠F,在△OAE 和△OCF 中, ∠E= ∠F ∠AOE= ∠COF OA=OC { ,∴ △OAE≌ △OCF( A. A. S. ),∴ AE=CF,∴ AE-AD=CF-BC,即 DE=BF. ……(8 分) 18. 解:(1)30　 96　 93 ……(3 分) (2)七年级学生掌握防溺水安全知识较好,理由:虽 然七、八年级的平均分均为 92 分,但七年级的中位 数高于八年级;(答案不唯一) ……(6 分) (3)1200× 6+3 20 = 540(人),即估计参加此次竞赛活动 成绩优秀(x≥95)的学生人数是 540 人. ……(9 分) 19. (1)解:如图,△ADE 即为所求. ……(2 分) (2)证明:连结 CE,∵ △ABC,△ADE 都是等边三角 形,∴ AB = AC, AD = AE, ∠BAC = ∠DAE = 60°, ∴ ∠BAD = ∠CAE, 在 △BAD 和 △CAE 中, AB=AC ∠BAD= ∠CAE AD=AE { ,∴ △BAD≌ △CAE ( S. A. S. ), ∴ BD=CE,∠ABD= ∠ACE= 60°. ……(5 分) ∵ CF=BD,∴ CF = CE,∴ △CEF 是等边三角形,∴ EF=CE=BD,∠CFE = ∠ACB = 60°,∴ EF∥DB,∴ 四 边形 BDEF 是平行四边形,∴ ∠FBD= ∠FED. ……(9 分) 20. 解:(1)由题可得 AB = CB,∠ABC = 90°. ∵ CD⊥OB, ∴ ∠CDB= ∠BOA= ∠ABC= 90°. ∴ ∠ABO+∠CBD = ∠CBD+∠BCD= 90°,∴ ∠ABO= ∠BCD,∴ △ABO≌ △BCD(A. A. S. ),∴ CD = OB = 3,BD = AO = 2,∴ OD =OB-BD= 1,∴ C(3,1) . ∵ C(3,1)在 y = k x 上,∴ k = 3,∴ 反比例函数表达式为 y= 3 x . ……(5 分) (2)设点 P 的坐标为( 3 m ,m) . ∵ S△PCD = 1 2 ·CD· |m-1 | = 9,∴ 3 2 · |m-1 | = 9,即 |m-1 | = 6,解得 m= 7 或-5, ……(7 分) ∴ 3 m = 3 7 或 - 3 5 ∴ 这样的 P 点坐标为 ( 3 7 ,7) 或 ( - 3 5 ,-5) . ……(10 分) 21. 解:(1)乙 ……(2 分) (2)已知:平行四边形 ABCD　 AC=BD 求证:平行四边形 ABCD 是矩形 ……(5 分) 证明:∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥CB,AD =BC,在△ADC 和△BCD 中, AC=BD AD=BC CD=DC { ,∴ △ADC≌ △BCD(S. S. S. ),∴ ∠ADC= ∠BCD. ……(8 分) 又∵ AD∥CB,∴ ∠ADC+ ∠BCD = 180°,∴ ∠ADC = ∠BCD= 90°. ∴ 平行四边形 ABCD 是矩形. ……(10 分) 22. 解:(1) 设“传统文化” 经典读本的单价是 x 元,则 “红色教育”经典读本的单价是 1. 2x 元. 由题意得: 6000 1. 2x -4500 x = 50,解得 x= 10, ……(3 分) 经检验, x = 10 是原分式方程的解且符合题意, ∴ 1. 2x= 12. 答:“红色教育”经典读本的订购单价是 12 元,“传统文化”经典读本的单价是 10 元; ……(5 分) (2)设订购“红色教育”经典读本 a 本,则订购“传统 文化 ” 经 典 读 本 ( 1000 - a ) 本. 由 题 意, 得 a≥600 12a+10(1000-a)≤11500{ ,解得 600≤a≤750, ……(7 分) 设订购两种读本的总费用为 w 元,由题意得:w = 12a+10(1000-a)= 2a+10000. ……(8 分) ∵ 2>0,∴ w 随 a 的增大而增大,∴ 当 a = 600 时, w最小 = 2 × 600 + 10000 = 11200,此时,1000 - 600 = 400 (本),符合题意. 答:订购这两种经典读本的总费用 最低为 11200 元. ……(10 分) 23. 解:(1)结论:EF=BE+DF. ……(1 分) 理由如下:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = AD, ∠BAD= ∠ABC= ∠D = 90°,如图 1,将△ADF 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△ABF′,即∠F′AF = 90°,BF′ = DF. ∵ ∠EAF = 45°, ∴ ∠EAF′ = ∠EAF = 45°, 在 △AEF 和 △AEF′中, AF=AF′ ∠EAF= ∠EAF′ AE=AE { , ∴ △AEF ≌ △AEF′(S. A. S. ),∴ EF = EF′,又∵ EF′ = BE+BF′ = BE+DF,∴ EF=BE+DF; ……(3 分) (2)结论:EF=BE+DF 成立. ……(4 分) 理由如下:如图 2 中,延长 FD 到点 G,使 DG=BE,连 结 AG. ∵ ∠B= ∠ADC= 90°,∴ ∠B= ∠ADG = 90°. ∵ AB= AD,∴ △ABE≌ △ADG( S. A. S. ),∴ AE = AG, ∠BAE = ∠DAG. ∵ ∠EAF = 1 2 ∠BAD, ∴ ∠BAE + ∠DAF = ∠EAF, ∴ ∠FAE = ∠FAG. ∵ AF = AF, ∴ △FAE≌△FAG( S. A. S. ),∴ EF = FG,∴ EF = FG = DG+DF=BE+DF. ……(7 分) (3)结论不成立,应为:EF=BE-DF. ……(8 分) 理由如下:在 BE 上截取 BG,使 BG=DF,连结 AG. ∵ ∠B+∠ADC = 180°,∠ADF+∠ADC = 180°,∴ ∠B = ∠ADF. ∵ AB = AD,∴ △ABG≌△ADF( S. A. S. ),∴ ∠BAG= ∠DAF,AG=AF. ∴ ∠BAG+∠EAD = ∠DAF+ ∠EAD= ∠EAF = 1 2 ∠BAD,∴ ∠GAE = ∠EAF. ∵ AE =AE,∴ △AEG≌△AEF(S. A. S. ),∴ EG =EF. ∵ EG =BE-BG,∴ EF=BE-FD. ……(11 分) 图 1 　 　 图 2 　 　 追梦期末达标测试卷(二) 答案 速查 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C B C D B A D A C 1. A　 【解析】根据分式有意义的条件,得 x-3≠0,解得 x≠3. 故选 A. 2. C　 【解析】0. 0000003 = 3×10-7 . 故选 C. 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 23 页 3. B　 【解析】把(4,-2)代入 y = kx,得-2 = 4k,解得 k = - 1 2 . 故选 B. 4. C 5. D　 【解析】由题意可知,销量最多的是 23. 5cm,∴ 建 议下次进货量最多的女鞋尺码是 23. 5cm. 故选 D. 6. B 7. A 　 【解析】 ∵ 四 边 形 ABCD 是 菱 形, ∴ ∠CAB = ∠CAD= 20°,AC⊥BD. ∵ DH⊥AB 于点 H,∴ ∠HDB+ ∠DBH = 90°. ∵ ∠CAB + ∠DBH = 90°, ∴ ∠HDB = ∠CAB= 20°. 故选 A. 8. D　 【解析】关于 x 的分式方程 2x-1 x-3 = m x-3 +1 化为整 式方程得,2x-1 =m+x-3,由于分式方程有增根 x = 3, 将 x= 3 代入 2x-1 =m+x-3,得 2×3-1 =m+3-3,解得 m= 5. 故选 D. 9. A　 【解析】连结 CM. ∵ MP⊥CD 于点 P,MQ⊥BC 于 点 Q,∴ ∠CPM = ∠CQM = 90°. ∵ 四边形 ABCD 是矩 形,∴ BC=AD= 3,CD= AB = 4,∠BCD= 90°,∴ 四边形 PCQM 是矩 形, ∴ PQ = CM, 由 勾 股 定 理 得: BD = BC2 +CD2 = 32 +42 = 5,当 CM⊥BD 时,CM 最小, 则 PQ 最小,此时,S△BCD = 1 2 BD·CM = 1 2 BC·CD,∴ CM= BC·CD BD = 3 ×4 5 = 12 5 ,∴ PQ 的最小值为 12 5 . 故选 A. 10. C 　 【解析】 ∵ 600 ÷ 4 = 150,∴ 玻璃加热速度 为 150℃ / min,故 A 错误;由题可得(4,600)在反比例 函数图象上,设反比例函数关系式为 y = k x ,代入点 (4,600)可得,k = 2400,∴ 玻璃温度下降时,y 与 x 的函数关系式是 y= 2400 x ,故 B 错误;设玻璃温度上 升时的函数表达式为 y = k1x,由题可得,(4,600)在 正比例函数图象上,代入点(4,600)可得,k1 = 150, ∴ 玻璃温度上升时, y 与 x 的函数关系式是 y = 150x,∴ 将 y= 480 代入 y= 150x,得 x = 3. 2,∴ 将 y = 480 代入 y= 2400 x ,得 x = 5,∴ 5-3. 2 = 1. 8(min),∴ 能够对玻璃进行加工时长为 1. 8min,故 C 正确;将 y = 30 代入 y = 2400 x ,得 x = 80,∴ 80-4 = 76(min),∴ 玻璃从 600℃ 降至室温 30℃ 需要的时间为 76min, 故 D 错误. 故选 C. 11. -5 12. 83　 【解析】 88×5+80×3+75×2 5+3+2 = 83(分) . 13. 3　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD∥ BC,OB=OD,∴ ∠OBE = ∠ODF. ∵ ∠BOE = ∠DOF, ∴ △BOE≌ △DOF ( A. S. A. ),∴ S阴影 = S△AOD = 1 4 S平行四边形ABCD . ∵ AB= 3,AC= 4,BC=AD= 5,∴ AB 2 +AC2 =BC2,∴ △ABC 是直角三角形,∴ S阴影 = S△AOD = 1 4 S平行四边形ABCD = 3. 14. 2 　 【解析】 连 结 CE. ∵ 四 边 形 ABCO 和 四 边 形 CDEF 都是正方形,∴ ∠BOC = ∠ECF = 45°,S△OBC = 1 2 S正方形ABCO,∴ OB∥CE,∴ △OBE 与△OBC 同底等 高,∴ S△OBE = S△OBC,∴ S△OBE = 1 2 S正方形ABCO . ∵ 点 B 在 双曲线 y= 4 x ( x>0)上,四边形 ABCO 为正方形,∴ S正方形ABCO = 4,∴ S△OBE = 2. 15. 30°或 60°或 150°　 【解析】如图 1,当 D′B = BC 时. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = BC = AD,由旋转 的性质得 AD′ = AD = AB = BC = D′B,∠DAB = 90°,∴ △ABD′是等边三角形,∴ ∠BAD′ = 60°,∴ ∠DAD′ = 150°,即 α= 150°;如图 2,当 D′B = BC 时. ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB = BC = AD,由旋转的性质得 AD′=AD = AB = BC = DB′,∠DAB = 90°,∴ △ABD′是 等边三角形,∴ ∠BAD′= 60°,∴ ∠DAD′= 30°,即 α= 30°;如图 3,当 D′B =D′C 时,连结 DD′,∴ D′在线段 BC 的垂直平分线上,∴ D′D = AD′,由旋转的性质得 AD′=AD= DD′,∴ △ADD′是等边三角形,∴ ∠DAD′ = 60°,即 α= 60°,当 CD′=BC=AD 时,此种情况不存 在,综上所述,α 的值为:30°或 60°或 150°. 图 1 　 　 图 2 　 　 图 3 16. 解: 原 式 = a2 -1-(a+1)(a-3) a-3 · (a-3) 2 a+1 = (a+1)(a-1-a+3) a-3 · (a-3) 2 a+1 = 2(a +1) a-3 · (a-3) 2 a+1 = 2(a-3)= 2a-6. ……(4 分) ∵ a= -1 或 a = 3 时,原式无意义,∴ a 只能取 1 或 0, ……(6 分) 当 a= 1 时,原式= 2-6 = -4. (答案不唯一) ……(8 分) 17. 解:(1) ……(4 分) (2)90°　 垂直的定义　 AB∥CD　 平行四边形性质 　 A. A. S. 　 BE=DF　 全等三角形的性质　 一组对 边平行且相等的四边形是平行四边形 (每空 0. 5 分,共 8 分) 18. 解:(1)86　 85　 85 (每空 2 分,共 6 分) (2)八(2)班成绩较好. ∵ 八(2)班成绩的平均数大 于八(1)班,而方差小于八(1)班,∴ 八(2) 班平均 成绩比八(1)班好,且成绩稳定. ……(9 分) 19. 解:(1)在菱形 ABCD 中,AD∥BC,AD=BC=CD= AB. ∵ CF=BE,∴ CF+EC = BE+EC,∴ EF = BC,∴ EF = AD. ∵ AD∥BC,∴ 四边形 AEFD 是平行四边形. ……(3 分) ∵ AE⊥BC,∴ 平行四边形 AEFD 是矩形; ……(5 分) 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 24 页 (2)在菱形 ABCD 中,BC =CD. ∵ BF = 16,∴ CF = BF -BC= 16-CD. ……(8 分) ∵ 在矩形 AEFD 中,∠F= 90°,DF= 8,∴ 在 Rt△CFD 中,CD2 =DF2 +CF2 = 82 +(16-CD) 2,解得 CD= 10. ……(10 分) 20. 解:(1)设乙队每天筑路 x 米,则甲每天筑路 2x 米. 依题意,得 400 x -400 2x = 5,解得 x= 40, ……(3 分) 经检验:x= 40 是原分式方程的解且符合题意,则 2x = 80. 答:甲每天筑路 80 米,乙每天筑路 40 米; ……(6 分) (2)设甲筑路 t 天,则乙筑路天数为 6000-80t 40 = (150 -2t)天. 依题意:1. 5t+0. 9(150-2t) ≤120,解得 t≥ 50,答:甲至少要筑路 50 天. ……(10 分) 21. 解:(1) -x2 +6x　 0<x<6 ……(4 分) (2)①6. 75 ②函数图象如图所示: ……(6 分) (3)①当 0<x<3 时,y 随 x 的增大而增大……(8 分) ②3 ……(10 分) 22. 解:(1)过点 B 作 BF⊥x 轴于点 F. ∵ ∠BCA = 90°, ∴ ∠BCF+∠ACO= 90°,又∵ ∠CAO+∠ACO= 90°, ∴ ∠BCF= ∠CAO. ∵ ∠BFC = ∠COA = 90°,BC = AC. ∴ △BFC≌△COA(A. A. S. ),∴ CF=AO= 2,BF=CO = 1,∴ 点 B 的坐标为( -3,1),将点 B 的坐标代入反 比例函数表达式可得:m= -3,故可得反比例函数表 达式为 y= - 3 x ; ……(2 分) 点 B( -3,1),点 C( -1,0)代入一次函数 y = kx+b 表 达式可得 -3k+b= 1 -k+b= 0{ ,解得 k= - 1 2 b= - 1 2 ì î í ï ï ï ï ,故可得一次函数 表达式为 y= - 1 2 x- 1 2 ; ……(4 分) (2)结合点 B 的坐标及图象,可得:当 x<0 时,kx+b- m x <0 的解集为-3<x<0; ……(6 分) (3)∵ 点 A 的坐标为(0,2),点 C ( -1,0),∴ AC = 22 +12 = 5 . 如 图,∵ 以点 A、C、P、Q 为顶点的 四边形是菱形, ∴ ① AC = AP = 5 ,∴ OP= OA+AP = 2+ 5 或 OP =AP-AO= 5 -2,∴ P(0,2+ 5 )或(0,2- 5 ),②当 AC=PC 时,点 A 与点 P 关于 x 轴对称,∴ P(0,-2), ③当 AP= CP. ∵ ∠COP = 90°,∴ PC2 = OP2 +OC2,∴ (2-OP) 2 = OP2 +12,∴ OP = 3 4 ,∴ P( 3 4 ,0),综上所 述,点 P 坐标为(0, 3 4 )或(0,2+ 5 ))或(0,-2)或 (0,2- 5 ) . ……(10 分) 23. (1)解:①65°　 ……(2 分) 【解析】 ∵ ∠CQE = 50°,∴ ∠BQE = 180° - ∠CQE = 180°-50° = 130°,由折叠,得∠AQB = 1 2 ∠BQE = 1 2 × 130° = 65°; ②2　 ……(4 分) 【解析】当点 E 恰好在线段 QD 上,即 Q,E,D 三点共 线,如图①,设 BQ= x,由折叠,QE =BQ= x,AB = AE = 6,在 Rt△AED 中,ED = AD2 -AE2 = 102 -62 = 8, ∴ DQ= 8+x,CQ = 10-x,在 Rt△DCQ 中,DQ2 = CQ2 + CD2,即(8+x) 2 = (10-x) 2 +62,∴ x = 2,即 BQ 的长为 2; (2)解:①根据题意补全如图②,延长 EF 交 BC 于 M,证明:∵ EF∥AB,∴ ∠BPF = ∠EFP. 由折叠的性 质,可 知 PB = PE, ∠BPF = ∠EPF, ∴ ∠EFP = ∠EPF,∴ PE=EF,∴ PB =EF,∴ 四边形 PBFE 是平 行四边形. ∵ PE=EF,∴ 四边形 PBFE 是菱形; ……(6 分) ② 15 4 　 7. 5 ……(8 分) 【解析】设菱形 PBFE 的边长为 a,即 PB = PE = EF = BF= a,∴ AP = 6-a,在 Rt△APE 中,PE2 = AP2 +AE2, 即 a2 = (6-a) 2 +32,∴ a = 15 4 . ∵ EF∥PB,∴ ∠EMQ = 90°. 设 MQ= b,则 EQ = 3+b. 在 Rt△EMQ 中,EQ2 = EM2 +MQ2,即(3+b) 2 = 62 +b2,b= 4. 5,∴ BQ= 7. 5; (3) 34 5 或 20 3 ……(11 分) 【解析】可分以下两种情况进行讨论,①当 DQ = EQ 时,由折叠的性质,可知 BQ =EQ,则 BQ =DQ,设 BQ =DQ=m,则 CQ= 10-m. 在 Rt△CDQ 中,CD2 +CQ2 = DQ2,即 62 +(10-m) 2 =m2,解得 m= 34 5 ,②当 DE=DQ 时,过点 D 作 DF⊥EQ 于点 F,如图③,设 BQ=EQ= m,则 CQ= 10-m,FQ = 1 2 EQ = 1 2 m,由折叠的性质, 可知∠PQB = ∠PQE. ∵ DQ⊥PQ,∴ ∠PQB+∠CQD = 90° = ∠PQE+∠FQD,∴ ∠CQD= ∠FQD,∴ △CDQ ≌△FDQ(A. A. S. ),∴ CQ=FQ,∴ 10-m= 1 2 m,∴ m = 20 3 ,∴ BQ= 20 3 ,综上所述,当△DEQ 是以 DQ 为腰 的等腰三角形时,BQ 的长为 34 5 或 20 3 . 图① 图② 图③ 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 25 页