追梦专项总结突破卷(三)&追梦专项总结突破卷(四)-【追梦之旅·初中数学铺路卷】2023-2024学年八年级下册数学（华动师大版 河南专版）

追梦专项总结突破卷(三) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂函数的实际应用与综合应用 题型一　 一次函数的实际应用 1. 某商店销售 A 型和 B 型两种电脑,其中 A 型电脑每台利润为 400 元,B 型电脑每台利润 500 元,该商店计划一次性购进两种 型号的电脑共 100 台,其中 B 型电脑的进货量不超过 A 型电脑 的 2 倍,设购进 A 型电脑 x 台,这 100 台电脑的销售利润为 y 元. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2) 该商店购进 A 型、B 型电脑多少台,才能使销售总利润最 大,最大利润是多少? (3)进货时厂家对 A 型电脑出厂价下调 150 元,且限定商店最 多购进 A 型电脑 60 台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你 根据以上信息,设计出使这 100 台电脑销售总利润最大的进货 方案. 2. (北京期中)为鼓励居民节约用水,某市自来水公司采取分段收 费标准,如图反映的是每月收取水费 y(元)与用水量 x(吨)之 间的函数关系. (1)当月用水量 x≤15 时,收费标准是　 　 　 　 元 /吨; (2)小华家五月份用水 16 吨,应交水费多少元? (3)按上述分段收费标准,某居民家三、四月份分别交水费 81 元和 56 元,问四月份比三月份节约用水多少吨? 题型二　 一次函数与反比例函数的综合应用 3. 函数 y1 = k x 和 y2 = - kx- k 在同一坐标系中的图象可以大致 是(　 　 ) 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 A. B. C. D. 4. 如图,若反比例函数 y1 = k x 与一次函数 y2 =ax+b 交于 A、B 两点, 当 y1 <y2 时,则 x 的取值范围是　 　 　 　 . 第 4 题图 　 　 第 5 题图 5. 如图,在直角坐标系 xOy 中,一次函数 y= k1x+b 的图象与反比例 函数 y= k2 x 的图象交于 A(1,m)、B(3,n)两点,则不等式 k1x+b> k2 x 的解集是　 　 　 　 　 　 . 6. 如图,一次函数 y = kx+b 的图象与反比例函数 y = m x 的图象在第 一象限内交于点 A(4,3),与 y 轴负半轴交于点 B,且 OA=OB. (1)求两个函数的表达式; (2)已知点 C(0,5),试在该一次函数图象上确定一点 P,使得 PB=PC,求出此时 P 点的坐标. 7. 据医学研究,使用某种抗生素可治疗心肌炎,某一患者按规定剂 量服用这种抗生素,已知刚服用该抗生素后,血液中的含药量 y (微克 /毫升)与服用的时间 x(小时)成正比例,药物浓度达到最 高后,血液中的含药量 y(微克 /毫升)与服用的时间 x(小时)成 反比例,根据图中所提供的信息,回答下列问题: (1)抗生素服用　 　 　 　 小时时,血液中药物浓度最大,每毫升 血液的含药量有　 　 　 　 微克; (2)根据图象求出药物浓度达到最高值之后,y 与 x 之间的函数 解析式及自变量的取值范围; (3)求出该患者服用该药物 10 小时时每毫升血液的含药量 y. 8. 如图,在平面直角坐标系中,一次函数 y = kx+b 的图象经过点 A ( -2,6),且与 x 轴相交于点 B,与正比例函数 y= 3x 的图象相交 于点 C,点 C 的横坐标为 1. (1)求一次函数的解析式; (2)若点 D 在 y 轴上,且满足 S△COD = 1 3 S△BOC,求点 D 的坐标; (3)在坐标平面内,是否存在点 P,使得以 O、B、C、P 为顶点的四 边形为平行四边形? 若存在,求出点 P 的坐标,若不存在,说明 理由. ·92· 追梦专项总结突破卷(四) 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀤂 􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂􀤂 􀤂 􀦂 􀦂 􀦂􀦂平行四边形的性质、判定、折叠和动点问题 题型一　 平行四边形的判定与性质 1. 已知:如图,平行四边形 ABCD 中,E,F 分别是边 AB,CD 的 中点. (1)求证:四边形 EBFD 是平行四边形; (2)若 AD=AE= 2,∠A= 60°,求四边形 EBFD 的周长. 2. 在△ABC 中,AB=AC,点 D 在 BC 边所在的直线上,过点 D 作 DE ∥AC 交直线 AB 于点 E,DF∥AB 交直线 AC 于点 F. (1)当点 D 在 BC 边上时,如图 1,求证:DE+DF=AC; (2)当点 D 在 BC 边的延长线上时,如图 2;当点 D 在 BC 边反向 延长线上时,如图 3,请分别写出图 2、图 3 中 DE,DF,AC 之间的 数量关系,不需要证明; (3)若 AC= 6,DE= 2,则 DF= 　 　 　 　 . 图 1 　 　 　 图 2 　 　 　 图 3 题型二　 平行四边形中的翻折问题 3. 如图,将▱ABCD 折叠,使点 D、C 分别落在点 F、E 处(点 F、E 都 在 AB 所在的直线上), 折痕为 MN, 若 ∠AMF = 50°, 则 ∠A = 　 　 　 　 °. 第 3 题图 　 　 　 　 　 第 4 题图 4. 如图,在平行四边形 ABCD 中,AB 边上的高为 12,BC = 13,CD = 24,点 E 在边 CD 上,将△BCE 沿直线 BE 翻折,点 C 落在点 F 处,且 AF=BF,则 CE 的长为　 　 　 　 . 5. (扬州中考)如图,将▱ABCD 沿过点 A 的直线 l 折叠,使点 D 落 到 AB 边上的点 D′处,折痕交 CD 边于点 E,连结 BE. (1)求证:四边形 BCED′是平行四边形; (2)若 BE 平分∠ABC,求证:AB2 =AE2 +BE2 . 题型三　 平行四边形中的面积问题 6. 如图,▱ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点 O,过点 O 的直线分别 交 AD,BC 于点 E,F,若该平行四边形的面积为 10,则图中阴影 部分的面积为　 　 　 　 . 第 6 题图 　 第 7 题图 　 7. 如图,▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,EF 经过点 O,分别 交 AD、BC 于点 E、F,已知▱ABCD 的面积是 20 cm2,则图中阴影 部分的面积是　 　 　 　 . 题型四　 探究动点问题 8. 如图,在△ABC 中,∠BAC = 60°,AB = AC = 2,P 为 AB 边上的一动点,以 PA,PC 为边作平行四 边形 PAQC,则线段 AQ 的最小值为　 　 　 　 . 9. 如图,在△ABC 中,∠BAC= 90°,∠B= 45°,BC= 10,过点 A 作 AD ∥BC,且点 D 在点 A 的右侧,点 P 从点 A 出发沿射线 AD 方向以 每秒 1 个单位长度的速度运动,同时点 Q 从点 C 出发沿射线 CB 方向以每秒 2 个单位长度的速度运动,在线段 QC 上取点 E,使 得 QE= 2,连结 PE,设点 P 的运动时间为 t 秒. (1)请问是否存在 t 的值,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平 行四边形? 若存在,求出 t 的值;若不存在,请说明理由; (2)若 PE⊥BC,求 BQ 的长. ·03· ∴ y1 >y2 . 故选 A. 3. B 4. A　 【解析】P(0,3)代入 y = kx+b 得 b = 3,把 y = 0 代 入 y= kx+3 得 kx+3 = 0,解得 x= - 3 k ,则一次函数图象 与 x 轴的交点坐标为(- 3 k ,0) . ∵ 一次函数 y = kx+b 的图象经过第四象限,与 y 轴交于(0,3),∴ - 3 k >0, ∴ 1 2 ×3×(- 3 k )= 3,解得 k= - 3 2 . 故选 A. 5. C　 【解析】∵ k2 +5>0,∴ 反比例函数的图象位于第 一、三象限,且在每个象限内 y 随 x 的增大而减小. 又 ∵ x1 <0<x2 <x3,∴ 点 A 在第三象限这一支上,点 B,C 同在第一象限这一支上,则 y1 <0,0<y3 <y2,∴ y1 <y3 < y2 . 故选 C. 6. A　 【解析】在直线 y= - 3 4 x+3 中,令 y= 0,解得 x = 4; 令 x= 0,解得 y= 3,∴ 点 A(4,0),点 B(0,3),∴ BO = 3,AO= 4,∴ AB = 　 32 +42 = 5. ∴ CO = 5-4 = 1,则点 C (-1,0) . 设直线 BC 的表达式为 y= kx+b,把 B(0,3), C(-1,0)代入 y= kx+b 得 3 = b-k+b= 0{ ,解得 k= 3b= 3{ ,∴ 直 线 BC 表达式为 y= 3x+3. 故选 A. 7. C　 【解析】①点 P 在边 AD 上时,A、D、P 共线,不能 构成三角形;②点 P 在边 CD 上时,点 P 到 AD 的距离 为(x-4),y= 1 2 ×4×(x-4)= 2x-8;③点 P 在边 BC 上 时,点 P 到 AD 的距离不变为 4,y = 1 2 ×4×4 = 8;④点 P 在边 AB 上时,点 P 到 AD 的距离为 4×4-x= 16-x,y = 1 2 ×4×(16-x)= 32-2x. 故选 C. 8. -4<m≤-2　 【解析】∵ 一次函数 y= (m+4)x+m+2 的 图象不经过第二象限,∴ m+4>0m+2≤0{ ,∴ -4<m≤-2. 9. y= 500-10x　 0≤x≤50　 【解析】由剩余水量 = 原水 量-漏出的水量可得,y = 500-10x,由于 500÷10 = 50 (h),∴ 自变量 x 的取值范围为 0≤x≤50. 10. -3　 【解析】根据题意,特征数为[ t,t+3]的一次函 数表达式为 y = tx+( t+3) . ∵ 此一次函数为正比例函 数,∴ t+3 = 0,解得 t= -3. 11. y= -2x-2　 【解析】设直线 AB 的表达式为 y = k1x+ b1,将点 A(0,2)和点 B(1,0)代入,得 b1 = 2 k1 +b1 = 0{ ,解得 k1 = -2 b1 = 2{ ,∴ 直线 AB 的表达式为 y= -2x+2. ∵ 直线 AB 向左平移得到直线 CD,∴ 设直线 CD 的表达式为 y = -2x+ b2 . ∵ DB = DC,CB⊥AD,∴ BO = CO,∴ 点 C 为 (-1,0),将 C(-1,0)代入 y= -2x+b2 得(-2)×(-1)+b2 = 0,解得 b2 = -2,∴ 直线 CD 的表达式为 y= -2x-2. 12. ①②③　 【解析】①由图象可得,甲始终是匀速行进, 乙的行进不是匀速的,正确;②乙用了 5-0. 5 = 4. 5(小 时)到达目的地,正确;③乙比甲迟出发 0. 5 小时,正 确;④甲在出发不到 5 小时时被乙追上,错误. 13. D　 【解析】由图可得 1 2 k = 3,则 k = ±6. ∵ 图象经 过第二象限,则 k<0,∴ k = -6,该反比例函数的表达 式为 y= - 6 x . 故选 D. 14. C　 【解析】∵ D 为 AC 的中点,△AOD 的面积为 3, ∴ △AOC 的面积为 6,又∵ 图象在第一象限,∴ k = 12,∴ 双曲线表达式为 y= 12 x ,把 B(m,2)代入 y = 12 x , 得 m= 6. 故选 C. 15. B　 【解析】A. 阴影面积为 3;B. 阴影面积为 1 2 ×3 = 1. 5;C. 阴影面积为 2× 1 2 ×3 = 3;D. 阴影面积为 4× 1 2 ×3 = 6. 故选 B. 16. 8　 【解析】设 A、B 两点的坐标分别是 A( k1 m ,m)、B ( k2 m ,m),则 △ABC 的面积 = 1 2 · AB· yA = 1 2 · k1 m - k2 m ·m= 4,则 | k1 -k2 | = 8. 追梦专项总结突破卷(三) 函数的实际应用与综合应用 1. 解:(1)根据题意,得 y = 400x+500(100-x) = -100x+ 50000. (2)∵ k= -100<0,∴ y 随 x 的减小而增大,又∵ B 型 电脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍,∴ 100-x≤2x, 解得 x≥ 100 3 ,即当 x = 34,100-34 = 66(台)时,y 有最 大值,最大值为 400 × 34 + 500 × 66 = 46600(元) . 即该 商店购进 A 型电脑 34 台,B 型电脑 66 台时,才能使 销售利润最大,最大利润为 46600 元. (3)根据题意,得 y = (400+150) x+500(100-x)= 50x +50000,∵ k = 50>0,∴ y 随 x 的增大而增大,又∵ 限 定商店最多购进 A 型电脑 60 台,即 x = 60 时,y 有最 大值,最大值为 50×60+50000 = 53000(元) . 即购进 A 型电脑 60 台,B 型电脑 40 台时,可使这 100 台电脑 销售总利润最大. 2. 解:(1)4 (2)设当月用水量 x≥15 时,每月收取水费 y 与用水 量 x 关系式为 y= kx+b(k≠0),把(15,60)、(30,165) 代入,得 15k+b= 6030k+b= 165{ ,解得 k= 7 b= -45{ ,即当 x≥15 时,y 与 x 的函数表达式为 y= 7x-45. 当 x = 16 时,y = 7×16 -45 = 67. 答:小华家五月份用水 16 吨,应付水费 67 元. (3)∵ 56<60,∴ 所以该居民四月份用水小于 15 吨. 56÷4 = 14(吨) . ∵ 81>60,∴ 该居民三月份用水大于 15 吨. 将 y = 81 代入 y = 7x- 45,得 x = 18,18 - 14 = 4 (吨),答:四月份比三月份节约用水 4 吨. 3. B　 【解析】当 k>0 时,-k<0,∴ 反比例函数 y1 = k x 的 图象在第一、三象限,一次函数 y2 = -kx-k 的图象经 过第二、三、四象限;当 k<0 时,-k>0,∴ 反比例函数 y1 = k x 的图象在第二、四象限,一次函数 y2 = -kx-k 的 图象经过第一、二、三象限,符合题意的只有选项 B. 故选 B. 4. -1<x<0 或 x>2 5. x<0 或 1<x<3　 【解析】从函数图象看,当 x<0 或 1<x <3 时,一次函数 y= k1x+b 的图象在反比例函数 y= k2 x 的图象的上方,故不等式 k1x+b> k2 x 的解集为 x<0 或 1 <x<3. 6. 解:(1)把点 A(4,3)代入函数 y = m x 得 m = 3×4 = 12, 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 19 页 ∴ 反比例函数为 y = 12 x . ∵ OA = 　 32 +42 = 5,OA = OB, ∴ OB = 5,∴ 点 B 的坐标为(0,-5) . 把 B(0,- 5),A (4,3)代入 y= kx+b 得 b= -54k+b= 3{ ,解得 k= 2 b= -5{ ,∴ 一次 函数为 y= 2x-5; (2)∵ 点 C(0,5),B(0,-5),∴ OB = OC. ∵ PB = PC, ∴ 点 P 在 x 轴上. ∵ 点 P 在一次函数 y = 2x-5 上,∴ 令 y= 0,则 2x- 5 = 0,解得 x = 5 2 ,∴ 点 P 的坐标为 ( 5 2 ,0) . 7. 解:(1)4　 6 (2)设 y 与 x 之间的函数解析式为 y= k x ,把 x= 4 时,y = 6 代入上式得:6= k 4 ,解得 k= 24,则 y= 24 x (x≥4); (3)当 x = 10 时,y = 24 10 = 2. 4(微克) . 答:该患者服用 该药物 10 小时时每毫升血液的含药量为 2. 4 微克. 8. 解:(1)∵ 点 C 的横坐标为 1,∴ C(1,3),将点 A( -2, 6),C(1,3)代入 y = kx+b,∴ k+b= 3-2k+b= 6{ ,解得 k= -1 b= 4{ , ∴ y= -x+4; (2)∵ y= -x+4,∴ B(4,0),∴ OB = 4,∴ 1 3 S△BOC = 1 3 × 1 2 ×4× 3 = 2,∵ S△COD = 1 3 S△BOC,∴ S△COD = 2 = 1 2 × 1 × |OD | ,∴ OD= 4,∴ D(0,4)或(0,-4); (3)存在点 P,使得以 O、B、C、P 为顶点的四边形为平 行四边形,理由如下:设 P( x,y),①当 BO 为平行四 边形对角线时, 4 = 1+x0 = 3+y{ ,∴ x= 3 y= -3{ ,∴ P(3,-3);②当 OC 为平行四边形对角线时, 1 = 4+x3 = y{ ,∴ x= -3 y= 3{ ,∴ P ( -3,3);③当 BC 为平行四边形对角线时, 4+1 = xy= 3{ , ∴ x= 5y= 3{ ,∴ P(5,3);综上所述,P 点坐标为(3,-3)或 ( -3,3)或(5,3) . 追梦专项总结突破卷(四) 平行四边形的性质、判定、折叠和动点问题 1. (1)证明:在▱ABCD 中,AB = CD,AB∥CD. ∵ E、F 分 别是 AB、CD 的中点,∴ BE= 1 2 AB,DF= 1 2 CD,∴ BE= DF,∴ 四边形 EBFD 是平行四边形; (2)解:∵ AD = AE,∠A = 60°,∴ △ADE 是等边三角 形,∴ DE=AD= 2,由(1)知四边形 EBFD 是平行四边 形. ∵ BE= AE = 2,∴ 四边形 EBFD 的周长 = 2(BE+ DE)= 8. 2. (1)证明:∵ DE∥AC,DF∥AB,∴ 四边形 AEDF 是平行 四边形,∴ DE=AF,∠FDC= ∠B. 又∵ AB = AC,∴ ∠B = ∠C,∴ ∠FDC= ∠C,∴ DF=FC,∴ DE+DF = AF+FC =AC; (2)图 2 中:AC+DF=DE,图 3 中,AC+DE=DF. (3)4 或 8 3. 65　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥ CD,根 据 折 叠 的 性 质 可 得: MN ∥AE, ∠FMN = ∠DMN,∴ AB∥CD∥MN,∴ ∠DMN = ∠FMN = ∠A. ∵ ∠AMF = 50°, ∴ ∠DMF = 180° - ∠AMF = 130°, ∴ ∠FMN= ∠DMN= ∠A= 65°. 4. 169 17 或 17　 【解析】分两种情况:①如图 1,点 F 在平 行四边形 ABCD 内,过点 F 作 MN⊥AB 交 AB 于点 M, 交 CD 于点 N,过点 B 作 BH⊥CD 于点 H. ∵ 在平行四 边形 ABCD 中,BH= 12,BC = 13,∴ HC = BC2 -BH2 = 5. ∵ AB∥CD,MN⊥AB,BH⊥CD,∴ 四边形 MBHN 是 平行四边形,∴ MN=BH= 12,NH=MB. ∵ 将△BCE 沿 直线 BE 翻折,点 C 落在点 F 处,且 AF=BF,CD= 24, ∴ BF=BC = 13,MN 是 AB 的中垂线,∴ AM = MB = 1 2 CD= 12,NH = MB = 12,BF = BC = 13,EF = CE,在 Rt △FMB 中,FM = BF2 -BM2 = 5,∴ FN = 12-5 = 7,设 EF=CE= x,则 NE = NC-EC = NH+HC-CE = 17-x,在 Rt△FNE 中,EF2 = NE2 +FN2,即 x2 = (17-x) 2 +72,解 得 x= 169 17 ,∴ CE = 169 17 ;②如图 2,点 F 在平行四边形 ABCD 外,过点 F 作 MN⊥AB 于 M,交 CD 于点 N,过 点 B 作 BH⊥CD 于 H. ∵ 在平行四边形 ABCD 中,BH = 12,BC = 13,∴ HC = BC2 -BH2 = 5. ∵ AB∥CD,MN ⊥AB,BH⊥CD,∴ 四边形 MBHN 是平行四边形,∴ MN=BH= 12,NH=MB. ∵ 将△BCE 沿直线 BE 翻折, 点 C 落在点 F 处,且 AF = BF,∴ BF = BC = 13,MN 是 AB 的中垂线,∴ AM = MB = 1 2 CD = 12,NH = MB = 12, EF = CE,在 Rt△FMB 中,FM = BF2 -BM2 = 5,∴ FN =MN+FM= 12+5 = 17,设 EF =CE = x,则 NE =EC-CN =CE-NH -HC = x - 17,在 Rt △FNE 中,EF2 = NE2 + FN2,即 x2 = (x-17) 2 +172,解得 x = 17,∴ CE = 17;综 上,CE 的长为 169 17 或 17. 图 1 　 　 图 2 5. 证明:(1)∵ 将平行四边形 ABCD 沿过点 A 的直线 l 折 叠,使点D 落到 AB 边上的点D′处,∴ ∠DAE=∠D′AE, ∠DEA=∠D′EA,∠D=∠AD′E. ∵ DE∥AD′,∴ ∠DEA = ∠EAD′, ∴ ∠DAE = ∠EAD′ = ∠DEA = ∠D′ EA, ∴ ∠DAD′=∠DED′,DE=AD=AD′=D′E,∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AB∥DC,AB =DC,∴ CE􀱀D′B,∴ 四 边形 BCED′是平行四边形; (2)∵ BE 平分∠ABC,∴ ∠CBE = ∠EBA. ∵ AD∥BC, ∴ ∠DAB+∠CBA = 180°. ∵ ∠DAE = ∠BAE,∴ ∠EAB +∠EBA= 90°,∴ ∠AEB= 90°,∴ AB2 =AE2 +BE2 . 6. 5　 【解析】∵ 平行四边形 ABCD 中,对角线 AC、BD 相 交于点 O,∴ S△AEO = S△CFO,∴ S阴影 = S△BCD = 1 2 S▱ABCD = 1 2 ×10 = 5. 7. 5cm2 　 【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AD ∥BC,OA=OC,∴ ∠OAE = ∠OCF. ∵ ∠AOE = ∠COF, ∴ △AOE≌△COF(A. S. A. ),∴ S阴 = S△BOC = 1 4 S▱ABCD = 5cm2 . 8. 3 9. 解:(1)存在, t = 4 或 12;①当点 Q、E 在线段 BC 上 时,若以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行四边形,则 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 20 页 AP=BE,∴ t= 10-2t+2,解得 t= 4,②当点 Q、E 在线段 CB 的延长线上时,若以 A,B,E,P 为顶点的四边形为 平行四边形,则 AP=BE,∴ t= 2t-2-10,解得 t= 12,∴ 存在 t 的值,使以 A,B,E,P 为顶点的四边形为平行 四边形,t= 4 或 12; (2) 过 A 作 AM⊥BC 于 M,设 AC 交 PE 于点 N. ∵ ∠BAC= 90°,∠B= 45°,∴ ∠C= 45° = ∠B,∴ AB = AC, ∴ BM=CM= 5,∴ AM = BM = 5. ∵ AD∥BC,∴ ∠PAN = ∠C= 45°. ∵ PE⊥BC, ∴ PE = AM = 5,PE⊥ AD, ∴ △APN 和△CEN 是等腰直角三角形,∴ PN = AP = t, CE=NE= 5-t. ∵ CE=CQ-QE = 2t-2,∴ 5-t = 2t-2,解 得 t= 7 3 ,∴ BQ=BC-CQ= 10-2× 7 3 = 16 3 . 追梦专项总结突破卷(五) 特殊平行四边形的折叠和动点问题 1. B 　 【解析】根据菱形的对角相等得∠ADC = ∠B = 70°. ∵ AD = AB = AE,∴ ∠AED = ∠ADE. 根据折叠得 ∠AEB= ∠B = 70°. ∵ AD∥BC,∴ ∠DAE = ∠AEB = 70°,∴ ∠ADE = ∠AED = (180°-∠DAE) ÷ 2 = 55°. ∴ ∠EDC= 70°-55° = 15°. 故选 B. 2. D 3. 2≤BP≤6　 【解析】①当 F、D 重合时,BP 的值最小, 根据折叠的性质知:AF = PF = 10,在△PFC 中,PF = 10,FC= 6,则 PC= 8,∴ BP最小 = 10-8 = 2;②当 E、B 重 合时,BP 的值最大,根据折叠可知,AB =BP = 6,即 BP 的最大值为 6,综上所述,BP 的取值范围是 2≤BP≤6. 4. 5 2 或 10　 【解析】分两种情况:①如图 1,当点 F 在矩 形内部时,∵ 点 F 在 AB 的垂直平分线 MN 上,∴ AN = 4. ∵ AF=AD= 5,由勾股定理得 FN= 3,∴ FM= 2. 设 DE 为 x,则 EM = 4-x,FE = x,在△EMF 中,由勾股定 理得 x2 = (4-x) 2 +22,∴ x = 5 2 ,即 DE 的长为 5 2 . ②如 图 2,当点 F 在矩形外部时,同①的方法可得 FN = 3, ∴ FM= 8,设 DE 为 y,则 EM = y-4,FE = y,在△EMF 中,由勾股定理得 y2 = (y-4) 2 +82,∴ y = 10,即 DE 的 长为 10. 综上所述,点 F 刚好落在线段 AB 的垂直平 分线上时,DE 的长为 5 2 或 10. 图 1 　 　 图 2 5. 解:(1)如图,AE 为所作; (2)证明:由矩形的性质和翻折变换的性质可知,∠B = ∠BAF= ∠AFE= 90°,∴ 四边形 ABEF 是矩形,由翻 折变换的性质可知,AB = AF,∴ 四边形 ABEF 是正方 形. 6. 解:【观察发现】A′D∥B′E 【思考表达】结论:∠DEC = ∠B′CE. 理由:连结 BB′, B′C. ∵ EB = EC = EB′,∴ ∠EBB′ = ∠EB′B,∠EB′C = ∠ECB′. ∴ ∠EB′B+∠EB′C = ∠EBB′+∠ECB′ = 1 2 × 180° = 90°,∴ ∠BB′C= 90°,∴ BB′⊥B′C,由翻折变换 的性质可知 BB′⊥DE,∴ DE∥CB′,∴ ∠DEC = ∠B′ CE. 7. 解:(1) 由题意可得 AP = 2t,AQ = AD-DQ = 6 - t. ∵ △QAP 为等腰直角三角形,∴ AP = AQ,∴ 2t = 6- t,解 得 t= 2,∴ t= 2s 时,△QAP 为等腰直角三角形; (2)S四边形QAPC = 12 × 6 - 1 2 × 12· t- 1 2 × 6·( 12 - 2t) = 36,∴ 四边形 QAPC 的面积与 t 无关. 8. 解:(1)BD=CF　 100° (2)(1) 中 CF 与 BD 之间的数量关系仍然成立. 证 明:∵ ∠DAF= ∠BAC = α,∴ ∠BAC+∠CAD = ∠DAF+ ∠CAD, ∴ ∠BAD = ∠CAF, 在 △DAB 与 △FAC 中, AD=AF ∠BAD= ∠CAF AB=AC{ ,∴ △DAB≌△FAC( S. A. S. ),∴ BD =CF,∠ABD= ∠ACF. ∵ AB= AC,∠BAC =α,∴ ∠ABC = ∠ACB = 1 2 (180°-α),∴ ∠ACF = 1 2 (180°-α),∴ ∠BCF= ∠ACB+∠ACF= 180°-α. 9. 解:(1)32 (2)128 (3)由题意得只有当点 P 在边 AB 或边 CD 上运动 时,y= 24,当点 P 在边 AB 上运动时. ∵ S△PAD = 1 2 AD ·PA,∴ 1 2 ×16×PA = 24,解得 PA = 3,即 x = 3;当点 P 在边 CD 上运动时. ∵ S△PAD = 1 2 AD×PD,∴ 1 2 ×16×PD = 24,解得 PD= 3,∴ x= 45;综上所述,当 y= 24 时,x= 3 或 45; (4)当点 P 在边 AB 或边 CD 上运动时,存在一点 P, 使得 △DCE 与 △BCP 全等. 当点 P 在 AB 上时, △DCE≌△CBP,∴ CE=PB= 6,∴ AP = 16-6 = 10,∴ x = 10. 当点 P 在 CD 上时,△DCE≌△BCP,∴ CP = CE = 6,∴ x=AB+BC+CP= 38. 综上所述,x = 10 或 38 时, 使得△DCE 与△BCP 全等. 10. (1)证明:作 EM⊥BC 于 M,EN⊥CD 于 N,∴ ∠MEN = 90°. ∵ 点 E 是正方形 ABCD 对角线上的点,∴ EM =EN. ∵ ∠DEF = 90°,∴ ∠DEN = ∠MEF,在△DEN 和△FEM 中, ∠DNE= ∠FME EN=EM ∠DEN= ∠FEM{ ,∴ △DEN≌ △FEM (A. S. A. ),∴ EF = DE. ∵ 四边形 DEFG 是矩形,∴ 矩形 DEFG 是正方形; (2)解:CE+CG 的值是定值,定值为 2 . ∵ 四边形 DEFG 和四边形 ABCD 是正方形,AB= 1,∴ DE =DG, AD= DC,AC = AB2 +BC2 = 2 . ∵ ∠CDG+∠CDE = ∠ADE+∠CDE= 90°,∴ ∠CDG = ∠ADE,∴ △ADE≌ △CDG(S. A. S. ),∴ AE = CG. ∴ CE+CG = CE+AE = AC= 2 . 11. 解:【实践探究】∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AO = BO, AO ⊥ BO, ∠BAO = ∠ABO = 45°, ∴ ∠AOE + ∠BOE = 90°, ∠CBO = 45°. ∵ ∠A1OC1 = 90°, ∴ ∠A1OB+∠BOC1 = 90°,∴ ∠AOE = ∠BOF,且 AO = BO,∠BAO= ∠CBO = 45°,∴ △AOE≌△BOF( A. S. A. ),∴ S△AOE = S△BOF,∴ S重叠部分 = S△ABO = 1 4 S正方形ABCD; 【拓展提升】过点 A 作 AM⊥CD 于点 M,AN⊥BC 于 点 N. ∵ ∠BAD = ∠BCD = 90°, ∠ABC + ∠ADC + ∠BAD+∠BCD = 360°,∴ ∠ADC + ∠ABC = 180°,且 ∠ADC+ ∠ADM = 180°,∴ ∠ADM = ∠ABC,且 AD = AB, ∠AMD = ∠ANB = 90°, ∴ △AMD ≌ △ANB 追梦之旅铺路卷·八年级下·HS·数学　 第 21 页