2024年九年级数学中考复习《问题发现-探究-拓展-应用型综合压轴题》专题训练

2024年春九年级数学中考复习《问题发现-探究-拓展-应用型综合压轴题》 专题训练（附答案） 1．（1）【问题发现】 数学小组遇到这样一个问题：若、均不为零，求的值． 小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对、的正负作出讨论，又注意到、在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况． 解：①当两个字母、中有2个正，0个负时，； ②当两个字母、中有1个正，1个负时，无论谁正谁负，______； ③当两个字母，中有0个正，2个负时，______； 综上，当、均不为零，求的值为2、0、－2． （2）【拓展探究】若、、均不为零，求的值． （3）【问题解决】若、、均不为零，且，直接写出代数式的值． 2．我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙的解决一些图形问题.比如:用图1所示的正方形与长方形纸片可以拼成一个图2所示的正方形. 请你解决下列问题: (1)问题发现:利用不同的代数式表示图2中影部分的面积S，写出你从中获得的等式为 ； (2)类比探究:已知x满足(22-x)(x-18)=2，则(22-x)2+(x一18)2= ； (3)拓展延伸:如图3，正方形ABCD和正方形EFGH重叠，其重叠部分是一个长方形，分别延长HE、FE，交AB和AD于P、Q两点，构成的四边形BMEP和四边形QEND都是正方形，四边形APEQ是长方形.若MF=10，NH=30，长方形EMCN的面积为200.求正方形ABCD的面积. 3．已知：直线，动点P在直线EF上运动，探究∠ADP、∠DPC、∠BCP之间的关系． (1)【问题发现】若∠ADP＝25°、∠BCP＝35°，则∠DPC＝　 　°． (2)【结论猜想】当点P在线段AB上时，猜想∠ADP、∠DPC、∠BCP三个角之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】若点P在射线AE上或者在射线BF上时（不包括端点），试着探究∠ADP、∠DPC、∠BCP之间的关系是否会发生变化，请挑选一种情形画出图形，写出结论，并说明理由． ①若点P在射线AE上时，你发现的结论为 　 　． ②若点P在射线BF上时，你发现的结论为 　 　． 4．如图1，在中，，等腰直角三角形BDE的顶点点D是边上的一点，且，过点D作边的垂线，交边于点E，将绕点B顺时针方向旋转，记旋转角为． (1)【问题发现】当时，的值为________，直线相交形成的较小角的度数为________； (2)【拓展探究】试判断：在旋转过程中，（1）中的两个结论有无变化？请仅就图2的情况给出证明； (3)【问题解决】当旋转至A，D，E三点在同一条直线上时，请直接写出的面积． 5．如图1，在中，，，的外角平分线交于点C，过点C分别作直线AB，AD的垂线，B，D为垂足． (1)【问题发现】______°（直接写出结果，不写解答过程）． (2)【问题探究】①求证：四边形ABCD是正方形． ②若，求BE的长． (3)【问题拓展】如图2，在中，，高，，则HQ的长度是______（直接写出结果，不写解答过程）． 6．（1）问题发现： 如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，当△DCE旋转至点A，D，E在同一直线上，连接BE，易证．则___________°； （2）拓展研究： 如图2，△ACB和△DCE均为等腰三角形，且，点A，D，E在同一直线上，若，，求AB的长度； （3）探究发现： 如图3，P为等边△ABC内一点，且，且，，，，求BD的长． 7．问题背景： 如图，已知△ABC中，，，，点P为平面内不与点A，C重合的任意一点，连接CP，将线段CP绕点P顺时针旋转，得线段PD，连接CD，AP．点E，F分别为BC，CD的中点，设直线AP与直线EF相交所成的较小角为，探究的值AB和的度数． (1)【问题发现】如图1，时， ， ； (2)如图2，时， ， ． (3)【类比探究】如图3，时，请探究出的值和的度数并证明； (4)【拓展延伸】通过以上的探究请直接写出你发现的规律： （用含m、n的式子表示）； （用含的式子表示）． 8．综合与实践 问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知甲；，．有从图1的位置开始绕点A逆时针旋转，得到（点D，E分别是点B，C的对应点），旋转角为，设线段AD与BC相交于点M，线段DE分别交BC，AC于点O，N 　　 (1)特例分析：如图2，当旋转到时，旋转角的度数为_______°； (2)探究规律：如图3，在绕点A逆时针旋转的过程中，“求真”小组的同学发现线段AM始终等于线段AN，请你证明这一结论； (3)拓展延伸：请从A，B两题中任选一题作答．我选择_______题 A．直接写出当是等腰三角形时旋转角的度数． B．在图3中．作直线BD，