2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（特殊图形存在性问题）

2024年九年级数学中考专题训练 ：二次函数综合（特殊图形存在性问题） 1．如图，抛物线l：与x轴交于和两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点H为平面直角坐标系内一点，原抛物线对称轴上是否存在一点N，使以点A，M，N，H为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，请求出点N、点H的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，对称轴是直线． (1)求a，b的值； (2)已知点B，C在抛物线上，点B的横坐标为t，点C的横坐标为，过点B作x轴的垂线交直线于点D，过点C作x轴的垂线交直线于点E，在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使以B，C，D，E为顶点的四边形面积为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)当时，设二次函数的最大值与最小值的差为，求与之间的函数关系式． (3)在坐标平面内，动点在直线上，当为直角三角形且恰好存在两个点时，求的取值或取值范围． 4．如图①，抛物线与轴交于，，与轴交于点．已知直线过，两点． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)点是抛物线上的一个动点， ①如图①，若点为抛物线顶点，连接，交直线于点．求的面积。 ②如图②，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为．点是对称轴上的一个动点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且，．    (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作轴交于D，交直线于点G，求的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，将抛物线沿着水平方向向右平移2个单位长度得到新的抛物线，点E为原抛物线与平移后的抛物线的交点，点M为平移后的抛物线对称轴上的一动点，点N为坐标平面内的一点，是否存在以为边，以B、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 6．综合与实践 如图，在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于、两点，抛物线经过、两点与轴的另一个交点为．    (1)求的值 (2)直接写出点的坐标 (3)已知点在第一象限的抛物线上，过点作交直线于点，点的坐标为，点在第二象限的抛物线上，且，求点到直线的距离 (4)在（3）的条件下，在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由 7．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点．                                                                 （备用图） (1)若点的坐标为，求的值； (2)在（1）的条件下，点为第一象限内抛物线上一点，交于点，交轴于点，且，求点的坐标； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在两个不同的点、关于直线对称？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由． 8．综合与探究 如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，点B的坐标是，点C的坐标是，M是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式 (2)P为线段上的一个动点，过点P作轴于点D，D点坐标为，的面积为S． ①求的面积S的最大值 ②在上是否存在点P，使为直角三角形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．如图1所示，已知直线与抛物线分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点和点，且抛物线的对称轴为直线．    (1)请分别求出k，m，a，b的值； (2)如图2，点Q是线段上一点，且，点M是y轴上一个动点，求线段的最小值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由． 10．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴交于另一个点，对称轴与直线交于点，抛物线顶点为．    (1)求抛物线的解析式； (2)在第三象限内，为抛物线上一点，以、、为顶点的三角形面积为3，求点的横坐标； (3)点是对称轴上的一动点，是否存在某一点使、、为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点坐标；不存在，说明理由． 11．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方．    (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点