2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（特殊三角形问题）

2024年九年级数学中考专题训练： 二次函数综合（特殊三角形问题） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与轴交于点，为抛物线上的一动点（不与点重合）．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)当是直角三角形时，求点的坐标； (3)过点作，直线交抛物线于点，试探究直线是否经过某一定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)若点P为第四象限内抛物线上一点，当面积最大时，求点P的坐标； (3)若点P为抛物线上一点，点Q是线段上一点（点Q不与两端点重合），是否存在以P、Q、O为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P的坐标：若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，横坐标分别为m，，的点A、B、C在抛物线（a为常数，）的图像上，连接，若点O到的距离等于线段的长． (1)求的值； (2)如图1，当时，若点D为直线BC上方抛物线上一点，过点D作x轴的垂线，分别交于点E、F，连接，若为直角三角形，求点D的坐标； (3)如图2，当时，连接，点G为的中点，是第四象限抛物线上一动点，连接交抛物线于点S，直线与直线交于点N．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的表达式；若不是，请说明理由． 4．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若直线经过，两点，求直线的函数表达式； (3)在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求点的坐标； (4)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标． 5．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上存在一点，使的值最小，此时的坐标为 ； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、点重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否把分成面积之比为的两部分？若能，请求出点的坐标：若不能，请说明理由； (4)若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形．请直接写出点的坐标． 6．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积最大值； (3)点是抛物线的对称轴上一动点，请直接写出所有符合条件的点的坐标使得为等腰三角形． 7．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标． (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)在二次函数图象上是否存在点，使得？点与点不重合．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由； (3)点是对称轴l上一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 9．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线经过，两点，与轴交于点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴直线上找一点，使点到点的距离与到点的距离之差最大，求出点的坐标； (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标．（直接写出结果） 10．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 11．如图在平面直角坐标系中，抛物线与直线：交于、两点，直线与y轴交于点，抛物线上的动点在直线的上方    (1)请直接写出点、点的坐标； (2)连接、，当三角形的面积最大时，求点的坐标？ (3)连接、，当三角形以边为直角边时，求点的坐标？ (4)将直线向上平移7个单位后得到直线，请直接写出动点到直线的最短距离． 12．如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点O，与x轴正半轴交于另一点A，且经过点．        (1)求抛物线的解析式； (2)如C是第一象限内抛物线上一点，连分别交x轴、y轴于D、E，若，求C点坐标； (3)如图3，抛物线的顶点为F点，点P是y轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求P点的坐标． 13．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与x轴的另一个交点为B．    (1)若直线经过B，C两点，求直线和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点M使三角形的周长最小，求点M的坐标； (3)设点P为抛物线的