8.6 双曲线的定义、方程和性质 学案-2024届高三上学期数学一轮复习

济源一中 2021 级数学组 第 课时 授课时间： 课 题：8.6 双曲线的定义、方程及性质（1） 课型： 复习课 课程标准：了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及它的简单几何性质 学科素养： 逻辑推理、数学抽象、数学运算 教学过程： 一、知识梳理： 1.双曲线的定义 条件 结论1 结论2 平面内的动点M与平面内的两个定点F1，F2 M点的轨迹为双曲线 F1，F2为双曲线的焦点； ｜F1F2｜为双曲线的焦距 ｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a 2a＜｜F1F2｜ 提醒：（1）当2a＝｜F1F2｜时，P点的轨迹是两条射线；（2）当2a＞｜F1F2｜时，P点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1 （a＞0，b＞0） －＝1 （a＞0，b＞0） 图形 标准方程 －＝1（a＞0，b＞0） －＝1（a＞0，b＞0） 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴.对称中心：原点 顶点 A1（－a，0），A2（a，0） A1（0，－a），A2（0，a） 渐近线 y＝±x y＝±x 性质 离心率 e＝，e∈（1，＋∞） 实、虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长｜A1A2｜＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴.它的长｜B1B2｜＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2（c＞a＞0，c＞b＞0） 注：（1）实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐进线方程为，离心率为；等轴双曲线可设为 （2）若焦点在x轴上，渐近线斜率为±；若焦点在y轴上，渐近线斜率为±.（1改0，y用x表示） 与双曲线－＝1共渐近线的方程可设为－＝λ（λ≠0）； 若渐近线的方程为y＝±x，则可设双曲线方程为－＝λ（λ≠0）. （3）双曲线的焦点到其渐近线的距离为b； 若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a； 同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于实轴的弦），其长为，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. （4） 双曲线一般方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0） （5） 焦点三角形面积公式： 二、例题讲解： 考点一：双曲线的定义及应用： （P208左训练）1.已知动点M（x，y）满足－＝4，则动点M的轨迹是（） （P208例2）（2）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程？ (P207) 2.设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若｜PF1｜＝9，则｜PF2｜＝（　　） 练：双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，求的值． （P207）例1（2）已知F是双曲线－＝1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜＋｜PA｜的最小值为　　　　. （P208）2.双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是（　　） 考点二：双曲线的标准方程 （小黄书）2.方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围是 （　　） （P208 右训练）2.焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是　　　　　 （P208 右训练）3.经过点P（3，2），Q（－6，7）的双曲线的标准方程为　　　　. 补充:1、焦点为，，且经过点． 2、对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的一个焦点是，求双曲线的标准方程和渐近线方程． 3、双曲线的渐近线方程是，虚轴长为4，求双曲线的标准方程． 作业： 小黄书A级 反思： 济源一中 2021 级数学组 第 课时 授课时间： 课 题：8.6.2 双曲线的综合问题（1） 课型： 复习课 课程标准：理解、掌握直线与双曲线相交问题及最值问题