2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，是的弦，C为上一点，过点C作的垂线与的延长线交于点D，连接并延长，与交于点E，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，则的长为___________． 2．如图，在等腰中，以为直径的交于点，于点，的延长线与的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的值． 3．如图，是的直径，射线交于点，是劣弧上一点，且平分，过点作于点，延长和的延长线交于点． (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径． 4．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线交的延长线于点，且． (1)求证：是的切线； (2)如果，求的长． 5．如图，是的直径，点C是上一点，与的延长线相交于点P，平分，于点D． (1)求证：是的切线． (2)若，，求阴影部分的面积．（结果保留根号及） 6．如图，是的直径，是上一点，过点作于点，交于点，点是延长线上一点，连接，，． (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 7．如图，在中，为直径，过点的直线与相交于点，是弦延长线上一点，、的角平分线与分别相交于点、，为的中点，过点作，与、的延长线分别交于点、． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 8．如图1，为的直径，弦垂直平分，在的延长线上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)如图2，若，点在上，且的内心是上的点，求线段的长度． 9．如图，在中，，D为上一点，以为直径的交于点E，连接AE，且AE平分∠CAB． (1)求证：是的切线． (2)连接，若，求的值． 10．如图，是的直径，A是延长线上的一点，点E在上，，交的延长线于点C，交于点F，且点E是的中点．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 11．如图，四边形内接于，是直径，，连接，过点D的直线与的延长线相交于点E，且． (1)求证：直线是的切线； (2)求证：平分； (3)若，，求的长． 12．如图，是的外接圆，为的直径，点I为的内心，连接并延长交于D点，连接并延长至E，使得，连接．    (1)求证：； (2)求证：直线为的切线； (3)若，求的长． 13．如图，点D在的直径的延长线上，点C在上，平分于点E． (1)求证：是的切线． (2)是的切线，F为切点，若，求的长． 14．如图，是的直径，是上一点，是外一点，连接交于点，连接，连接交于点，连接，且． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)当，时，求的长． 15．如图1所示，四边形是半径为R的的内接四边形，是的直径，连接，平分交于点F，直线l过点F与线段的延长线交于点E．且满足． (1)求证：直线l是的切线； (2)如图2所示，若点D是弧的中点．延长交直线l于点G，且； ①求证：；②若，，求四边形的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）连接，， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴． 2．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 3．（1）证明：如图，连接， 平分， ； ， ； ， ∴， ， ， 是的切线． （2）解：如图，连接，， 是直径，是圆的切线， ， ； ， ； ， ， ， ， ，， ， 解得， ， 圆的半径为． 4．（1）证明：连接，则． ， ，则． ， ， ，即， 是的切线． （2）解：， ， ， ， ． 5．（1）证明：连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线． （2）解：，， ， ， ， ， ， ，， ， ． 6．（1）解：连接，，如图所示， ，为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是切线； （2）解：连接，如图所示， 由（1）得，， ， ， ． ， ． 设，则， 在中，， ． 在中，． ， ， ． ． ， ． ． 7．（1）证明：连接，，如图， 、的角平分线与分别相交于点、， ，， ， ， ． 为直径， ， ， ． ， ． 为的中点， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）解：延长交于点， ，， ， ． ，，， 四边形为矩形， ， 设的半径为，则，， 在中， ， ， ． 的半径为13． 8．（1）证明：如图，连接， ∵弦垂直平分， ∴， ∴为等边三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：如图，是的内切圆，切点为K，N，H，与交于点M， 由（1）知为等边三角形，则， ∵，， ∴，， ∵上的点为的内心， ∴平分