2024年数学中考二轮专题训练：相似三角形与圆结合综合问题

2024年数学中考二轮专题训练： 相似三角形与圆结合综合问题 1．如图，在中，，以为直径的交于点，点为延长线上一点，延长交于点，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)连接，若时，求的长． 2．如图：中，，以为直径作，交于点D，交于点E，点F在的延长线上的，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的半径． 3．如图在中，，以为直径的交于点，过点作的切线交的延长线于点，交于． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 4．如图，为的直径，延长至点E，使，过点A作交延长线于点D． (1)求证：为的切线； (2)若，求的长． 5．如图，以为直径的经过点，过点作的切线，交的延长线于点，，垂足为，交于点．    (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的值． 6．如图，为的直径，为上一点，的平分线交于点，过点作交的延长线于点，延长与的延长线交于点．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 7．如图，为的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦，垂足为点F． (1)求证：； (2)P是弧上一点，，求半径r的长； (3)在（2）的条件下，当是的平分线时，求的长． 8．如图，已知中，，以为直径的交于点D，交于点E，连接，相交于点F. (1)求证： (2)若，，求的长. 9．如图，已知内接于，过点的切线交的延长线于点，过点作交于点，连接． (1)求证：； (2)过点作交的延长线于点，当时，求的长． 10．如图，为直径，为上一点，的平分线交于点，过点作的延长线于点，直线与射线交于点．    (1)求证：为切线； (2)若，，求的长． 11．如图，是的外接圆，点D是弧的中点，过点D作的平行线交的延长线于点E，连接，． (1)求证：； (2)当时，求的值； (3)设． ①求的值；（用含n的代数式表示） ②若，，求的长． 12．如图，已知以的直角边为直径作，与斜边交于点D，E为边上的中点，连接．    (1)求证：是的切线； (2)若，的长是方程的两个根，求直角边的长． 13．如图，已知直线与相离，于点，与相交于点，与相切于点的延长线交直线于点． (1)请证明：； (2)若，求的半径和线段的长； (3)若在上存在点，使是以为底边的等腰三角形，请直接写出的半径的取值范围． 14．如图1，四边形内接于，为直径，，，交于点E，，过点O作，垂足为G，交于点H． (1)求的半径； (2)当时，求的值； (3)延长交的延长线于点Q，当时，求的长． 15．已知AB是的直径，交AB于点D，E为射线AB上一点，连接CE并延长交于点F，射线AF交射线CH于点G． (1)如图1，若点E在线段DB（不包含端点）上，求证： (2)如图2，若点E在线段AD（不包含端点）上，求证： (3)如图3，若点E在点B的右侧部分运动，连接HF交射线AB于点M，试探究AO、MH、EF、ME之间的数量关系，并给予证明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ，， ， 是切线； （2），为半径． 是切线， ， 连接，    ， ， ， ， ， ， ． 2．（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴  ， ∴， ∵  ， ∴， ∵ ， ∴，即， ∴， ∵为直径， ∴直线是的切线． （2）由（1）得， ∴， 设， ∵，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴的半径是2． 3．（1）解析：连结、，如图， 为的直径， ，即， ， ， 而， 为 的中位线， ∴， 是的切线； ∵， ； （2）解：设的半径为， ∵， ， ， ， 或舍弃）． 的半径为4． 4．（1）证明：连接， 为的直径， 又， 即， ， 为半径， 是切线； （2） 5．（1）证明：连接，    ， ， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 为等腰三角形； （2）解：连接，    是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 6．（1）证明：连接，如图1，    是的平分线， ， ， ， ， ∴， ， 半径， 为切线； （2）解：连接，如图2，    ，，， ， ，， ， ，即， 则， 的半径长为． 7．（1）解：∵D是的中点， ∴， ∵且为的直径， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，    ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， 解得，经检验，是方程的根， ∴的半径为； （3）解：如图，过点B作交于点G，    ∴， ∵的半径为，为的直径， ∴，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 8．（1）解：∵为直径， ∴， 又∵， ∴； （2）∵是的直径， ， ， ， 在 中，，， ， ，， ， ，即， 解得， ， ， ，即， . 9．