2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（相似三角形问题）

2024年九年级数学中考专题训练： 二次函数综合（相似三角形问题） 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)若P是线段上一动点（不与点B，C重合），过点P作垂直于x轴的垂线交抛物线于点入M、连接，当与相似时，求此时点P的坐标． 2．如图，直线与x轴，y轴分别交于点，过B，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为P． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，在抛物线上存在点E，使的面积有最大值，求点E坐标 (3)连接，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，抛物线：与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式． (2)如图（1），有一宽度为1的直尺平行于y轴，在点O，B之间平行移动，直尺两边被线段和抛物线截得两线段，．设点D的横坐标为t，且，求当t为何值时． (3)如图（2），将抛物线平移得到顶点为原点的抛物线，M是x轴正半轴上一动点，．经过点M的直线交抛物线于P，Q两点．当点M运动到某一个位置时，存在唯一的一条直线，使 ，求点M的坐标． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左边），与y轴负半轴交于点C，且，直线经过点A，C，点D为y轴左侧抛物线上一点，连接，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当点D在直线下方时，连接交于点E，求的最大值及此时点D的坐标； (3)是否存在点D，使？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． 6．如图，抛物线与直线交于两点，点在轴上，过点作轴于点，且．    (1)求抛物线的解析式． (2)将沿方向平移到． ①如图2，若经过点与轴交于点，求的值． ②如图3，直线与抛物线段交于点，与直线交于点，当顶点在线段上移动时，求与公共部分面积的最大值． 7．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标； (3)为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的坐标． 8．如图，直线 与y轴交于A，与x轴交于B，抛物线 与直线交于A，E两点，与x轴交于C，D两点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为线段上一点，作轴交于于Q，当 时，求点P的坐标； (3)作交x轴于F，点G是第四象限内抛物线上一点，若以C，D，G为顶点的三角形与相似，求出点G的坐标． 9．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点，与y轴交于点．          (1)求二次函数的表达式； (2)如图1，点P是第一象限内抛物线上一点，若，试求点P的坐标； (3)如图2，抛物线对称轴交x轴于点D，N点为x轴上方抛物线上一动点，直线交抛物线对称轴于点E，直线交抛物线对称轴于点F，在点N的运动过程中，试求的值． 10．如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中，．    (1)求这个二次函数的表达式； (2)点是二次函数上一动点，过点作轴交直线于点，连接，将沿折叠，当的对应点恰好落在轴上时，请求出点的坐标； (3)在二次函数的图象上，是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 11．图，抛物线经过点，，三点，连接、、． (1)求抛物线的函数表达式； (2)是否存在点，使得以点为位似中心，将放大为原来的倍，得到点、、的对应点分别为点、、，使得点、恰好在抛物线上且点在抛物线的对称轴上？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点P在抛物线上．    (1)求a的值； (2)直线与抛物线，分别交于点A，B，若的最大值为3，请求出m的值； (3)Q是x轴的正半轴上一点，且的中点M恰好在抛物线上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，已知B点的坐标为，C点的坐标为．    (1)求抛物线的解析式； (2)图1中，点P为抛物线上的动点，且位于第二象限，过P，B两点作直线l交y轴于点D，交直线于点E．是否存在这样的直线l：以C，D，E为顶点的三角形与相似？若存在，请求出这样的直线l的解析式；若不存在，请说明理由． (3)图2中，点C和点关于抛物线的对称轴对称，点M在抛物线