2024年九年级中考数学二轮复习——二次函数代几综合题 讲义

2024年中考数学二轮复习——二次函数代几综合题 例 1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3a﹣2（a≠0）的对称轴与x轴交于点A，将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B． （1）求抛物线的对称轴及点B的坐标； （2）若抛物线与线段AB有公共点，结合函数图象，求a的取值范围． 解：（1）抛物线的对称轴为直线x2， ∴点A的坐标为（2，0）． ∵将点A向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B， ∴点B的坐标为（2+3，0+2），即（5，2）． （2）分a＞0和a＜0两种情况考虑： ①当a＞0时，如图1所示． ∴25a﹣20a+3a﹣2≥2， ∴a； ②当a＜0时，如图2所示． ∵y＝ax2﹣4ax+3a﹣2＝a（x﹣2）2﹣a﹣2， ∴， ∴a≤﹣2． 综上所述：a的取值范围为a或a≤﹣2． 例2．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+2x+a﹣3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向左平移4个单位长度，得到点B． （1）求点B的坐标； （2）抛物线与直线y＝a交于M、N两点，将抛物线在直线y＝a下方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，即为图形M． ①求线段MN的长； ②若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 解：（1）当a＝0时，A（0，﹣3）， ∴B（﹣4，﹣3）； （2）①∵抛物线y＝x2+2x+a﹣3与直线y＝a交于M、N两点， ∴x2+2x+a﹣3＝a即x2+2x﹣3＝0， ∴MN＝4； ②顶点（﹣1，a﹣4），关于y＝a的对称点为 （﹣1，a+4）， 当a+4＝﹣3时，a＝﹣7， 此时图形M与线段AB恰有两个公共点， 当a＝﹣6时，y＝x2+2x﹣9，y＝﹣6， y＝x2+2x﹣9关于y＝﹣6翻折部分的函数解析式为y＝﹣x2﹣2x﹣3， 当x＝0时，y＝﹣3， 当a＝﹣6时，图形与y＝﹣6有三个交点， ∴在﹣6≤a＜﹣7时，图形与y＝a有三个交点， ∴y＝a要在线段AB的下方， ∴a＜﹣3， ∴﹣6＜a＜﹣3或a＝﹣7． 例3．如图1，抛物线yx2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点． （1）求抛物线的解析式； （2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线yx2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标． （3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC（如图2）． ①求证：EA＝ED． ②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长． 解：（1）∵点C（6，0）在抛物线上， ∴， 得到6b+c＝9， 又∵对称轴为x＝2， ∴， 解得b＝1， ∴c＝3， ∴二次函数的解析式为； （2）当点M在点C的左侧时，如图2﹣1中： ∵抛物线的解析式为，对称轴为x＝2，C（6，0） ∴点A（2，0），顶点B（2，4）， ∴AB＝AC＝4， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴∠1＝45°； ∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF， ∴FM＝CM，∠2＝∠1＝45°， 设点M的坐标为（m，0）， ∴点F（m，6﹣m）， 又∵∠2＝45°， ∴直线EF与x轴的夹角为45°， ∴设直线EF的解析式为y＝x+d， 把点F（m，6﹣m）代入得：6﹣m＝m+b，解得：d＝6﹣2m， 直线EF的解析式为y＝x+6﹣2m， ∵直线EF与抛物线只有一个交点， ∴， 整理得：， ∴Δ＝b2﹣4ac＝0，解得m， 点M的坐标为（，0）． 当点M在点C的右侧时，如图： 由图可知，直线EF与x轴的夹角仍是45°，因此直线EF与抛物线不可能只有一个交点． 综上，点M的坐标为（，0）． （3）①当点M在点C的左侧时，如图，过点P作PG⊥x轴于点G，过点E作EH⊥x轴于点H， ∵，由（2）知∠BCA＝45°， ∴PG＝GC＝1， ∴点G（5，0）， 设点M的坐标为（m，0）， ∵将△MPC逆时针旋转90°得到△MEF， ∴EM＝PM， ∵∠HEM+∠EMH＝∠GMP+∠EMH＝90°， ∴∠HEM＝∠GMP， 在△EHM和△MGP中，， ∴△EHM≌△MGP（AAS）， ∴EH＝MG＝5﹣m，HM＝PG＝1， ∴点H（m﹣1，0）， ∴点E的坐标为（m﹣1，5﹣m）； ∴EA， 又∵D为线段BC的中点，B（2，4），C（6，0）， ∴点D（4，2）， ∴ED， ∴EA＝ED． 当点M在点C的右侧时，如图： 同理，点E的坐标仍为（m﹣1，5﹣m），因此EA＝ED． ②当点E在（1）所求的抛物线上时， 把E（m﹣1，5﹣m）代入，整理得：m2﹣10m+13＝0， 解得：m或m， ∴CM或