2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（面积问题）

2024年九年级数学中考专题训练：二次函数综合（面积问题） 1．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点． (1)求点A，B，C的坐标； (2)连接，，并将沿y轴对折，得到四边形．是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)当点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标和四边形的最大面积． 2．如图，已知抛物线经过，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式和顶点坐标； (2)观察图象： ①当时，直接写出的取值范围； ②点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，在该垂线上点P下方取一点D，使，在该垂线上点C的纵坐标为，以CD为边作矩形CDEF，若点E的横坐标为．    (1)求此抛物线所对应的函数表达式； (2)当时，求矩形CDEF的周长； (3)当矩形CDEF被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值； (4)当抛物线在矩形CDEF内部（不包括边界）的图象的函数值y随自变量x的增大而增大时，直接写出m的取值范围． 4．二次函数经过点，点，点C，点D分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点. (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，过点作的平行线交二次函数于点，连接，，，．求四边形面积的最大值以及此时点的坐标； (3)如图2，过点作轴，交于点（点不与点重合），过点作轴，交于点，当时，直接写出点的坐标． 5．如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于两点，点在点左侧．点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)当点是抛物线对称轴上的一个动点时，求当最小时，点的坐标； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求面积的最大值． 6．如图1，已知抛物线经过的三个顶点、，点是直线下方抛物线上的动点． (1)直接写出抛物线的解析式： (2)过点作交于点，连接，求四边形的面积的最大值； (3)如图2，连接交于点，当时，求点的坐标． 7．如图1，抛物线与轴交于两点在的左侧，交轴于点． (1)当时，点在直线上，若满足的点恰有一个，直接写出的值； (2)如图2，四边形是的内接矩形，当矩形的面积取最大值时，连接并延长交抛物线于点，求的值． 8．如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 9．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与y轴交于点N．其顶点为D． (1)求抛物线及直线的函数关系式； (2)设点，求使的值最小时t的值； (3)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值． 10．如图1，经过原点O的抛物线（a、b为常数，）与x轴相交于另一点，在第一象限内与直线交于点，抛物线的顶点为点C． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线上是否存在一点P，使的面积等于8？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线下方的抛物线上的动点，与直线交于点G．设和的面积分别为和，求的最大值，及此时点F的坐标． 11．如图抛物线经过点，点，且． (1)求抛物线的解析式及其对称轴； (2)点、是直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值； (3)点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标． 12．如图，二次函数的图象与x轴交于和两点，交y轴于点，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D． (1)求二次函数的解析式； (2)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围； (3)若直线与y轴的交点为E，连接、，求的面积． 13．如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，对称轴与轴交于点．点绕直线上一点逆时针旋转90°，与点重合． (1)求抛物线的表达式； (2)求点的坐标； (3)在抛物线图像上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形的面积与面积相等．若存在，请直接写出点的坐标．若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线与轴交于两点，      (1)求该抛物线的解析式： (2)设（1）中的抛物线交轴与点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大，若存在，求出点的坐标及的面积最大值．若没有，请说明理由． 15．如图1，抛物线（）与y轴交于点