2024年四川省成都市中考数学典型问题专项复习讲义 折叠解答综合问题

成都中考数学典型问题专项复习 折叠综合问题 【解法剖析】 折叠问题是平面几何三大几何变换中的对称变换，解决折叠问题需要把握以下几个解题要点：①折叠前后对应边相等②折叠前后对应角相等③折痕垂直平分对应点的连线④常用勾股建方程 【真题再现】 1、（2020•成都）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处． （1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数； （2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长； （3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求的值． 2、（2023•高新区模拟）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点M为边AD上一点，连接CM． （1）将△CDM沿直线CM翻折，得到对应的△CD′M． （i）如图1，延长CD′交边AD于点E，若点E恰为边AD中点，求线段MD的长； （ii）如图2，连接BD′，若BD′＝BC，求线段MD的长； （2）如图3，若DM＝DC，点P为边BC上一动点（点P不与B，C两点重合），过点P作PF⊥PA交线段CM于点F，在点P的运动过程中，线段CF的长是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由． 【典例分析】 【例题1】（2023•天府新区模拟）在Rt△ABC中，BC＝2，∠C＝90°，∠A＝30°，点E在线段AC上，点F在线段AB上，将∠A沿EF翻折使顶点A落在直线BC上的点D处． （1）如图1，当DF∥AC时，求AF的长； （2）当B，C，D中一点为另两点组成的线段的中点时，求AF的长； （3）如图2，BG平分∠ABC交ED于G．当点D在线段BC上时，求GD的最小值． 【变式1】（2023•成华区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，CD是AB边上的中线，点E是BC边上的一个动点，连接DE，将△BDE沿直线DE翻折得到△FDE． （1）如图1，线段DF与线段BC相交于点G，当点G是BC边的中点时，求BE的长； （2）如图2，当点E与点C重合时，线段EF与线段AB相交于点P，求DP的长； （3）如图3，线段EF与线段CD相交于点M，是否存在点E，使得△DFM为直角三角形？若存在，请直接写出BE的长；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2023•锦江区校级三模）已知正方形ABCD的边长为6，动点E，F分别在边AB，CD上运动，连接EF． （1）如图1，过B作BG⊥EF交边AD于点G，交EF于点H． i）若G为AD的中点，H为BG的中点，求AE的长； ⅱ）探索线段AE，DG，CF之间的数量关系，写出你的结论并证明． （2）如图2，将四边形EBCF沿EF翻折得到四边形EB′C′F，B′E与AD相交于点P，调整点E和点F的位置使得线段B′C′始终经过顶点D． i）若点D到EF的距离，求DP的长； ⅱ）点B′到AD的距离是否存在最大值？若存在，请直接写出这个最大距离；若不存在，请说明理由． 【例题2】（2023•成都模拟）（1）【探究发现】如图1，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折得到△BEF，延长EF交CD边于点G．求证：△BFG≌△BCG； （2）【类比迁移】如图2，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6，将△AEB沿BE翻折得到△BEF，延长EF交BC边于点G，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长； （3）【实践创新】如图3，Rt△ABC为等腰三角形，∠ABC＝90°，O为斜边AC的中点，M，N为线段AC上的动点，且满足∠MBN＝45°，设∠MBO＝α，∠NBO＝β，，证明：． 【变式1】（2023•武侯区模拟）如图，已知矩形ABCD中，E是边AD上一点，将△BDE沿BE折叠得到△BFE，连接DF． （1）如图1，BF落在直线BA上时，求证△DFA∽△BEA； （2）如图2，当时，BF与边AD相交时，在BE上取一点G，使∠BAG＝∠DAF，AG与BF 交于点H， ①求的值； ②当E是AD的中点时，若FD•FH＝15，求AG的长． 【变式2】（2022•武侯区校级模拟）在菱形ABCD中，AB＝10，∠A＝60°，P是射线AD上一点，连接BP，将△ABP沿BP折叠，得到△A′BP． （1）如图，当点A′在AD左侧，且∠DPA′＝10°时，求∠PBA的度数； （2）当PA′⊥BC时，求线段AP的长； （3）连接A′C，当A′C＝2时，求线段AP的长． 【例题3】（2022•金牛区模拟）已知BD是矩形ABCD的对角线，将△ABD沿BD折叠得到△EBD，DE与BC交点为F． （1）如图1，求证：CF＝EF； （2）连接AE交BC于点G，连接AC交BD于点O，连接CE，如图2， ①若AB＝24，AC＝40，求t