2024年四川省成都市中考数学典型问题专项复习讲义 B卷填空折叠问题

成都中考数学典型问题专项复习 B卷填空之折叠问题 【解法剖析】 折叠问题是平面几何三大几何变换中的对称变换，解决折叠问题需要把握以下几个解题要点：①折叠前后对应边相等②折叠前后对应角相等③折痕垂直平分对应点的连线④常用勾股建方程 【真题再现】 1、（2023•成都）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G．若，则tanA＝　 　． 【解答】解：过点G作 GM⊥DE于M，如图， ∵CD平分∠ACB交AB于点D，DE∥BC， ∴∠1＝∠2，∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴ED＝EC， ∵将△DEC沿DE折叠得到△DEF， ∴∠3＝∠4， ∴∠1＝∠4， 又∵∠DGE＝∠CGD， ∴△DGE∽△CGD， ∴， ∴DG2＝GE×GC， ∵∠ABC＝90°，DE∥BC， ∴AD⊥DE， ∴AD∥GM， ∴＝，∠MGE＝∠A， ∵， ∴， 设GE＝3k，EM＝3n，则AG＝7k，DM＝7n， ∴EC＝DE＝10n， ∴DG2＝GE×GC＝3k×（3k+10n）＝9k2+30kn， 在Rt△DGM中，GM2＝DG2﹣DM2， 在Rt△GME中，GM2＝GE2﹣EM2， ∴DG2﹣DM2＝GE2﹣EM2， 即9k2+30kn﹣（7n）2＝（3k）2﹣（3n）2， 解得：k， ∴EM＝k， ∵GE＝3k， ∴GM＝＝＝k， ∴tanA＝tan∠EGM＝＝＝． 故答案为：． 2、（2021•成都）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝3，按以下步骤操作： 第一步，沿直线EF翻折，点A的对应点A′恰好落在对角线AC上，点B的对应点为B′，则线段BF的长为 　1　； 第二步，分别在EF，A′B′上取点M，N，沿直线MN继续翻折，使点F与点E重合，则线段MN的长为 　　． 【解答】解：如图，过点F作FT⊥AD于T，则四边形ABFT是矩形，连接FN，EN，设AC交EF于J． ∵四边形ABFT是矩形， ∴AB＝FT＝4，BF＝AT， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝4，AD＝BC＝8，∠B＝∠D＝90° ∴AC＝＝＝4， ∵∠TFE+∠AEJ＝90°，∠DAC+∠AEJ＝90°， ∴∠TFE＝∠DAC， ∵∠FTE＝∠D＝90°， ∴△FTE∽△ADC， ∴＝＝， ∴＝＝， ∴TE＝2，EF＝2， ∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1， 设A′N＝x， ∵NM垂直平分线段EF， ∴NF＝NE， ∴12+（4﹣x）2＝32+x2， ∴x＝1， ∴FN＝＝＝， ∴MN＝＝＝， 补充求TE的第二种方法： ∵∠TFE＝∠DAC， ∴tan∠TFE＝tan∠CAD， ∴＝＝， ∵FT＝AB＝4， ∴ET＝2， ∴BF＝AT＝AE﹣ET＝3﹣2＝1． 【典例分析】 【例题1】（2023秋•青羊区期末）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝15，AD＝20，AH⊥BC于点H，AH＝12，点E是线段CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE翻折得到△AFE，点D落在BC延长线上的点F处，AF交CD于点G，则S△AGE＝　　． 【解答】解：∵AH⊥BC， ∴∠AHB＝∠AHF＝90°． 在Rt△ABH中，由勾股定理得，BH＝＝＝9． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝15，BC＝AD＝20， ∴CH＝BC﹣BH＝11． 由翻折可得，∠ADC＝∠AFE，DE＝EF，AF＝AD＝20， 在Rt△AFH中，由勾股定理得，HF＝＝＝16， ∴CF＝HF﹣CH＝16﹣11＝5． ∵AD∥BC， ∴∠ADC＝∠FCD，∠DAG＝∠CFG， ∴△ADG∽△FCG， ∴， 即， ∴FG＝4，CG＝3， ∴AG＝16，CF2＝CG2+FG2， ∴∠CGF＝90°． ∴∠DAG+∠ADC＝∠CFG+∠AFE＝∠EFC＝90°． 设CE＝x，则DE＝EF＝15﹣x， 在Rt△CEF中，由勾股定理得，CE2＝EF2+CF2， 即x2＝（15﹣x）2+52， 解得x＝． ∴EG＝CE﹣CG＝＝， ∴S△AGE＝＝＝． 【变式1】（2023秋•天府新区期末）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点P为边BC上的动点，将△ABP沿着AP翻折，使得顶点B落在菱形ABCD内部的点B′，当P，B′，D三点共线时，点A到直线PD的距离为 　　． 【解答】解：连接BD，过点A作AE⊥PD，如图： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝DC，BC∥AD，AB∥DC， ∴∠ADB'＝∠CPD，∠ABC+∠BCD＝180°， ∵AB＝5，AC＝8， ∴BD，2×＝6， ∴菱形的面积为×6×8＝24， ∴△ADP的面积为12，