2024年四川省成都市中考数学典型问题专项复习讲义 二次函数角度与相似问题

成都中考数学典型问题专项复习 二次函数中的角度与相似问题 【解法剖析】 ①已知有等角的相似动点问题：当所求动三角形与已知三角形有明显的等角（尤其是直角）时，直接按夹边对应成比例分两类讨论。计算时可以直接用距离公式对应边，也可以从相似的等角推出特殊的位置关系（平行，角平分线等），利用相关性质进行计算。 ②等角问题 常见的方法是寻找或构造分别包含两个等角的直角三角形，转化为两个对应的正切值相等。也可以根据推出特殊的位置关系（平行，角平分线线等）进行计算。 【真题再现】 1、（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值； （3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2、（2021•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴相交于O，A两点，顶点P的坐标为（2，﹣1）．点B为抛物线上一动点，连接AP，AB，过点B的直线与抛物线交于另一点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若点B的横坐标与纵坐标相等，∠ABC＝∠OAP，且点C位于x轴上方，求点C的坐标； （3）若点B的横坐标为t，∠ABC＝90°，请用含t的代数式表示点C的横坐标，并求出当t＜0时，点C的横坐标的取值范围． 【典例分析】 【例题1】（2023•武侯区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，抛物线y＝x2+mx﹣3经过点A，点C是抛物线的顶点，连接AC． （1）求抛物线的函数表达式及顶点C的坐标； （2）求∠BAC﹣2∠BAO的度数； （3）设直线y＝kx﹣k（k≠0）与抛物线相交于P，Q两点（点P在点Q的左侧），当直线PQ与直线AC相交所成的一个角为45°时，求点Q的坐标． 【变式】（2022•成都模拟）如图，已知抛物线表达式为y＝ax2﹣ax﹣2a+1（a≠0），直线y＝x+与坐标轴交于点A，B． （1）若该抛物线过原点，求抛物线的表达式． （2）试说明无论a为何值，抛物线一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．点P为两定点所在直线上的动点，当点P到点A的距离和到直线AB的距离之和最小时，求点P的坐标； （3）点N是抛物线上一动点，点M（﹣4，0），且∠NMA+∠OBA＝90°，若满足条件的点N的个数恰好为3个，求a的值． 【例题2】（2023•武侯区校级模拟）如图，直线与y＝ax2交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣4，8）． （1）求a，b的值； （2）将点A绕点C逆时针旋转90°至点D，试说明点D在抛物线上； （3）在（2）的条件下，平移直线AB交抛物线于点E，F（点E在F的左边），点G是直线EF上方的y轴上一点，△EFG∽△BAD（点E，F，G分别与点B，A，D对应），求点G的坐标． 【变式】（2023•锦江区校级三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3m）（m＞0），顶点为D． （1）如图1，当m＝1时， ①求该二次函数的解析式； ②点P为第三象限内的抛物线上的一个动点，连接AC、OP相交于点Q，求的最大值； （2）如图2，当m取何值时，以A、D、C为顶点的三角形与△BOC相似． 【例题3】（2023•武侯区模拟）定义：将二次函数l的图象沿x轴向右平移t，再沿x轴翻折，得到新函数l′的图象，则称函数l′是函数l的“t值衍生抛物线”．已知l：y＝x2﹣2x﹣3． （1）当t＝﹣2时， ①求衍生抛物线l′的函数解析式； ②如图1，函数l与l'的图象交于M（﹣，n），N（m，﹣2）两点，连接MN．点P为抛物线l′上一点，且位于线段MN上方，过点P作PQ∥y轴，交MN于点Q，交抛物线l于点G，求S△QNG与S△PNG存在的数量关系． （2）当t＝2时，如图2，函数l与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC．函数l′与x轴交于D，E两点，与y轴交于点F．点K在抛物线l′上，且∠EFK＝∠OCA．请直接写出点K的横坐标． 【变式】（2023•双流区模拟）如图，对称轴为x＝3的抛物线y＝x2+bx+c与y轴交于点A（0，7），P是抛物线上x轴上方的任意一点（不与点A重合），点P的横坐标为m，抛物线上点A与点P之间的部分（包含端点）记为图象C． （1）求抛物线的表达式