2024年四川省成都市中考数学典型问题专项复习讲义 二次函数最值与定值问题

成都中考数学典型问题专项复习 二次函数中的最值与定值问题 【解法剖析】解决最值问题需要掌握基本的最值类型以及相应的解法，先确定所考最值类型，运用数形结合、转化等思想进行求解；大部分定值问题则是依托于零乘以任何数都等于零这个基本原理或者二次函数中所隐藏的固定几何关系而成立，解决这类问题时要判定清楚相应类型进行求解。 【真题再现】 1、（2023•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+c经过点P（4，﹣3），与y轴交于点A（0，1），直线y＝kx（k≠0）与抛物线交于B，C两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，求点B的坐标； （3）过点M（0，m）作y轴的垂线，交直线AB于点D，交直线AC于点E．试探究：是否存在常数m，使得OD⊥OE始终成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 2、（2022•成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'． （1）当k＝2时，求A，B两点的坐标； （2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值； （3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 3、（2023•成都模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求的最大值； （3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例分析】 【例题1】（2023•武侯区校级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c的顶点为点P，与x轴交于点A（4，0），B （点B位于点A左侧），与y轴交于点C． （1）求c与b之间的关系，并求出点P的坐标（用含b的代数式表示）； （2）若以A，B，C为顶点的三角形是直角三角形，求b的值； （3）在（2）的条件下，过点P作两条互相垂直的直线与抛物线分别交于不同的两点M，N （点M位于点N左侧），探究直线MN是否过定点，若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【变式】（2023•锦江区模拟）如图1，已知一次函数y＝﹣x+3的图象与y轴，x轴相交于点A，B，抛物线y＝﹣x2+bx+c与y轴交于点C，顶点M在直线AB上，设点M横坐标为m． （1）如图2，当m＝3时，求此时抛物线y＝﹣x2+bx+c的函数表达式； （2）求当m为何值时，点C的纵坐标最大； （3）如图3，当m＝0时，此时的抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝kx+2相交于D，E两点，连接AD，AE并延长，分别与x轴交于P，Q两点．试探究OP•OQ是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【例题2】（2023•青羊区模拟）如图1，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，直线BC的函数表达式为y＝x+m，直线x＝1与x轴交于点D，P为该直线上一动点，连接PB，将PB绕P顺时针旋转一定角度得到PQ． （1）求二次函数与直线BC的函数表达式； （2）如图1，若点Q恰好落在抛物线位于第四象限的图象上，连接AQ交BC于点E，连接AC，CQ，当△CEQ与△ACE的面积之比最大时，求点P的坐标； （3）如图2，若∠BPQ＝90°，在点P运动过程中，当点Q落在抛物线上时，求点Q的坐标，连接BQ，DQ，请直接写出△BDQ周长的最小值． 【变式】（2023•锦江区校级模拟）已知：直线l：y＝﹣2，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是y轴，且经过点（0，﹣1），（2，0）． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图①，点P是抛物线上任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，求证：PO＝PQ． （3）请你参考（2）中结论解决下列问题： （i）如图②，过原点作任意直线AB，交抛物线y＝ax2+bx+c于点A、B，分别过A、B两点作直线l的垂线，垂足分别是点M、N，连接ON、OM，求证：ON⊥OM． （ii）已知：如图③，点D（1，1），试探究在该抛物线上是否存在点F，使得FD+FO取得最小值？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【例题3】（2023春•锦江区校级月考）如图1，二次函数经过点A（﹣1，0），B（1，0），且与y轴交于点