2024年高考数学直线和圆的方程压轴题专项训练

2024年高考数学直线和圆的方程压轴题专项训练 1．已知圆，直线为直线上一点，过点作圆的两条切线，其中为切点，且最小． (1)求直线的方程； (2)为圆与轴正半轴的交点，过点作直线与圆交于两点，设，的斜率分别为，求证：为定值． 2．已知圆过点，，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，点，记为过，两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值. 3．如图，过点的直线与圆：相交于两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为．    (1)记点关于轴的对称点为（异于点），求证：直线恒过定点； (2)求四边形面积的取值范围． 4．在平面直角坐标系中，已知原点和点，圆 (1)求圆在轴上截得的线段长度 (2)若，为圆上两点，若四边形的对角线的方程为，求四边形面积的最大值； (3)过点作两条相异直线分别与圆相交于两点，若直线，的斜率分别为，，且，试判断直线的斜率是否为定值，并说明理由. 5．如图，已知圆M：，点为直线l：上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为A，B．    (1)时，求PA、PB方程（点A在点B上方）； (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)若两条切线PA，PB与y轴分别交于S，T两点，求的最小值． 6．设，是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为．对于平面xOy上给定的不同的两点，． (1)若点是平面xOy上的点，试证明：． (2)在平面xOy上是否存在点，同时满足：①；②？若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明． 7．如图，已知圆，点.    (1)求圆心在直线上，经过点，且与圆相外切的圆的方程； (2)若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程. 8．已知圆心在轴上的圆与直线切于点. (1)求圆的标准方程； (2)已知，经过原点且斜率为正数的直线与圆交于，.求的最大值． 9．已知直线和点，点到直线的有向距离用如下方法规定：若，，若，． (1)已知直线，直线，求原点到直线的有向距离； (2)已知点和点，是否存在通过点的直线，使得？如果存在，求出所有这样的直线，如果不存在，说明理由； (3)设直线，问是否存在实数，使得对任意的参数都有：点到的有向距离满足？如果满足，求出所有满足条件的实数；如果不存在，请说明理由． 10．已知在平面直角坐标系中，平面内动点P满足． (1)求点P的轨迹方程； (2)点P轨迹记为曲线，若C，D是曲线与轴的交点，E为直线上的动点，直线CE，DE与曲线的另一个交点分别为M，N，直线MN与x轴交点为Q，求的最小值． 11．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为、，且两条切线、与轴分别交于、两点． (1)当在直线上时，求的值； (2)当运动时，直线是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 12．已知圆与直线交于两点，点为线段的中点，为坐标原点，直线的斜率为． (1)求的值及的面积； (2)若圆与轴交于两点，点是圆上异于的任意一点，直线，分别交于两点．当点变化时，以为直径的圆是否过圆内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由． 13．公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果:平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知平面直角坐标系中且. (1)求点P的轨迹方程； (2)若点P在（1）的轨迹上运动，点M为AP的中点，求点M的轨迹方程; (3)若点在（1）的轨迹上运动，求的取值范围. 14．圆：． (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)已知，圆与轴相交于两点、（点在点的左侧）．过点任作一条直线与圆：相交于两点，．问：是否存在实数，使得？若存在，求出实数的值，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由直线与圆相切的性质，当时，最小，由四点共圆，则即为两圆公共弦，两圆方程相减可得直线的方程； （2）设直线的方程，与圆的方程联立，由韦达定理用表示，将所求整理变形为用表示，代入韦达定理化简可得定值. 【详解】（1）圆，圆心为，半径为， 已知是圆的两条切线，则， 所以当最小时，最小． 最小值即为点到直线的距离， 此时，且直线，直线的斜率， 设，则有，解得，即， 由，得四点共在以为直径的圆上， 圆心为的中点，设为，坐标为，圆的半径为， 则圆的方程为，即①， 又圆②， 则两圆方程相减得公共弦的方程，即由②①得，， 即直线的方程为.    （2）由题意知，过点的直线斜率存在， 故可设方程为，即， 设，且， 由题意的斜率，的斜率， 则.