2024年高考数学圆锥曲线的方程压轴题专项训练

2024年高考数学圆锥曲线的方程压轴题专项训练 1．已知椭圆为的左､右焦点，点A在上，直线与圆相切. (1)求的周长； (2)若直线经过的右顶点，求直线的方程； (3)设点在直线上，为原点，若，求证：直线与圆相切. 2．已知双曲线，是双曲线上一点． (1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点，长轴长为，求椭圆的标准方程； (2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点，是双曲线上一点，且，求的面积（为坐标原点）； 3．与x轴不垂直的直线交抛物线T：于M、N两点，F为抛物线的焦点，线段的垂直平分线交x轴于点，已知,且有 (1)求抛物线T的方程; (2)过F的直线交抛物线T于A、B两点，延长分别交抛物线T于C、D；G、H分别为的中点，求的最小值 . 4．椭圆与双曲线有相同的焦点，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，设为直线上不同于点的任意一点，连接线段交椭圆于点，连接线段并延长交椭圆于点. （i）证明：点B在以为直径的圆内； （ii）求四边形面积的最大值. 5．已知椭圆的长轴长为，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆上点处的切线方程是， ①过直线上一点引C的两条切线，切点分别是，求证：直线恒过定点； ②是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 6．已知点在双曲线上. (1)已知点为双曲线右支上除右顶点外的任意点，证明：点到的两条渐近线的距离之积为定值： (2)已知点，过点作斜率为的动直线与双曲线右支交于不同的两点，在线段上取异于点的点，满足 （i）求斜率的取值范围： （ii）证明：点恒在一条定直线上. 7．将圆上各点的横坐标变为原来的5倍，纵坐标变为原来的4倍，所得的曲线为.记曲线与轴负半轴和轴正半轴分别交于两点，为轴上一点. (1)求曲线的方程； (2)连接交曲线于点，过点作轴的垂线交曲线于另一点.记的面积为，记的面积为，求的取值范围. 8．已知，为椭圆的左、右顶点，，为左、右焦点，离心率，为椭圆上的动点，当时，的面积为． (1)求的方程； (2)若，为椭圆上异于的点，直线，均与圆相切，记直线，的斜率分别为、，是否存在位于第一象限的点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足. 记的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，设点，在上，且直线不与轴垂直，记，分别为直线，的斜率. （ⅰ）对于给定的数值（且），若，证明：直线经过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为，求点的轨迹方程. 10．已知抛物线，为的焦点，直线与交于不同的两点、，且点位于第一象限. (1)若直线经过的焦点，且，求直线的方程； (2)若直线经过点，为坐标原点，设的面积为，的面积为，求的最小值. 11．已知过点的曲线的方程为． (1)求曲线的方程； (2)点为曲线与轴正半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交曲线于、两点，直线、分别与轴交于、两点．若、的横坐标互为倒数.问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由． 12．已知椭圆的左、右顶点分别为且焦距为2，上顶点为，且直线的斜率之积为. (1)求椭圆的方程： (2)设直线不经过点且与相交于两点， (i)证明：直线过定点； (ii)设为①中点关于轴的对称点，过点作直线交于椭圆于两点，且，求四边形面积的取值范围. 13．已知椭圆，长轴长为4，分别为椭圆的左焦点、右焦点，椭圆上一点满足垂直于轴，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知点为该椭圆的左顶点，若斜率为且不经过点的直线与椭圆交于两点，且点在以线段为直径的圆上，求证：直线过定点． 14．已知分别是双曲线的左、右焦点，A是双曲线C的左顶点，，离心率为. (1)求双曲线的方程； (2)若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点M，N，线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求k的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义分析求解； （2）直线，结合直线与圆相切列式求解； （3）设，根据垂直关系可得，求直线的方程，证明圆心到直线的距离即可. 【详解】（1）设椭圆的半长轴为，半短轴为，半焦距为， 则， 所以的周长为. （2）由题意可知：直线经过的右顶点，圆的圆心为，半径， 若直线与圆相切，显然直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线的方程为或. （3）设，则， 若，则，即， 又因为， 设直线上任一点，则， 因为∥，则， 整理得， 即直线的方程为， 圆心到直线的距离 ， 所以直线与圆相切. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直