2024年高考数学空间向量与立体几何压轴题专项训练

2024年高考数学空间向量与立体几何压轴题专项训练 1．如图，在四棱台中，底面为矩形，平面平面，且. （1）证明：平面； （2）若与平面所成角为，求二面角的余弦值. 2．如图，在四棱锥中，底面为矩形且，，点在底面上的射影为线段上一点，，且，为上的一点且，过、作平面交于点，于点且为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值． 3．如图，是以平行四边形的边为直径的半圆弧上一点，，，，，且为的中点． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值． 4．如图，在四棱锥中，为等边三角形，平面，二面角的大小为60°. （1）求证：平面； （2）已知，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 5．如图，在圆柱W中，点O1、O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧ME的中点，点H与点G在平面MNFE的同侧，圆柱W的底面半径为1，高为2． （1）若平面FNH⊥平面NHG，证明：NG⊥FH； （2）若直线NH与平面NFG所成线面角α的正弦值等于，证明：平面NHG与平面MNFE所成锐二面角的平面角大于． 6．如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，．分别是的中点，且，平面平面． （1）证明：平面； （2）已知三棱锥的体积为，求二面角的大小． 7．如图，在四边形中，，，，.沿将翻折到的位置，使得. （1）作出平面与平面的交线，并证明平面； （2）点是棱于异于，的一点，连接，当二面角的余弦值为，求此时三棱锥的体积. 8．如图，在直角中，直角边，角，为的中点，为的中点，将沿着折起，使，（为翻折后所在的点），连接. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 9．如图1，已知四边形满足，，是的中点，将沿着翻折成，形成四棱锥，为的中点，为的中点，如图2所示. （1）求证：面面； （2）当平面与平面所成角的余弦值为时，求的长度； （3）当面面时，求平面与平面所成角的正弦值. 10．如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2. （1）求证：. （2）求直线和平面所成角的正弦值. （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 11．在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，. （1）求证：； （2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. 12．如图，在四棱锥中，，，，平面平面ABCD. （1）求证：； （2）已知二面角的余弦值为.线段PC上是否存在点M，使得BM与平面PAC所成的角为30°？证明你的结论. 13．如下图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，，，． （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值，利用此定义求异面直线与之间的距离． 14．如图，在中，，，，沿BD将翻折到的位置，使平面平面. （1）求证：平面； （2）若在线段上有一点M满足，且二面角的大小为，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）要证线面垂直，只要证垂直于平面内的两条相交直线，根据所给数据和垂直关系，即可得证； （2）要求二面角，本题可用空间直角坐标系，连结，由（1）可知，平面，所以以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，求出各个面的法向量利用向量的夹角公式，即可得解. 【详解】 （1）如图，在梯形中，因为， 作于，则，所以， 所以，连结，由余弦定理可求得， 因为，所以， 因为平面平面且交于， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，， 所以平面； （2）连结，由（1）可知，平面， 以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 因为平面，所以在平面内的射影为， 所以与平面所成的角为，即， 在中，因为，所以， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 设平面的法向量为， 则有，即， 令，则，，故， 所以， 由图可知，二面角锐二面角， 故二面角的余弦值为. 【点睛】本题考查了线面垂直的证明，考查了利用空间直角坐标系求法向量求二面角，要求逻辑思维能力和较高的计算能力，属于较难题.本题的关键点有： （1）利用数据构造直角三角形得到垂直关系； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用方程求二面角的法向量是求二面角的关键. 2．（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）可以构造两个平面平行来证明线面平行，也可以直接利用线线平行来证明线面平行，构造直线与直线平行时，需要