2024年高考数学集合与常用逻辑用语压轴题专项训练

2024年高考数学集合与常用逻辑用语压轴题专项训练 1．已知集合其中函数 （1）若，求集合； （2）若是单元素集，则、之间的关系如何？ （3）一般情况下，猜想与之间的关系，并给予证明. 2．已知集合M是满足下列性质的函数的全体，对任意，存在非零的常数使成立，其中非零常数叫做函数的一个特征参数 （1）函数是否属于集合M？说明理由 （2）试证明：函数是集合M中的一个元素，并求出的所有特征参数组成的集合 3．已知集合，其中，，，表示中所有不同值的个数. （1）设集合，，分别求，； （2）若集合，证：； （3）是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由. 4．当时，集合A＝{1，2，3，…，n}，取集合A中m个不同元素的排列分别表示为M1，M2，M3，…，MA(n)－1，MA(n)，其中A(n)表示取集合A中m个不同元素的排列的个数.设pi为排列Mi中的最大元素，qi为排列Mi中的最小元素，1≤i≤A(n)，记P＝p1＋p2＋…＋pA(n)－1＋pA(n)，Q＝q1＋q2＋…＋qA(n)－1＋qA(n). （1）当m=2，n＝3时，分别求A(3)，P，Q； （2）对任意的，求P与Q的等式关系. 5．已知数集，其中，且，若对，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质. （1）分别判断数集与数集是否具有性质，说明理由； （2）已知数集具有性质，判断数列，，…，是否为等差数列，若是等差数列，请证明；若不是，请说明理由. 6．对于集合，，，，定义. 集合中的元素个数记为，当，称集合具有性质. （1）已知集合，，写出，的值，并判断集合是否具有性质； （2）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由； （3）若数列是以为首项，2为公比的等比数列. 数列中的前100项：组成的集合记作，将集合中的所有元素从小到大排序，即满足，求. 7．定义：给定整数i，如果非空集合满足如下3个条件： ①；②；③，若，则. 则称集合A为“减i集” （1）是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”； （3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由. 8．已知关于的不等式，其中； （1）试求不等式的解集； （2）对于不等式的解集，记（其中为整数集），若集合为有限集，求实数的取值范围，使得集合中元素个数最少，并用列举法表示集合； 9．将含有个正整数的集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合､､，其中，若､､中的元素满足条件:，则称为“完并集合”. （1）若为“完并集合”，求的值； （2）对于“完并集合”，在所有符合条件的集合中，求元素乘积最小的集合. 10．若存在常数，使得对任意，，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界. (1)设，，试判断是否为有界集合，并说明理由； (2)已知常数，若函数为有界集合，求集合的上界最小值. (3)已知函数，记，，，，求使得集合为有界集合时的取值范围. 11．设集合 ，如果存在的子集，，同时满足如下三个条件： ①； ②，，两两交集为空集； ③，则称集合具有性质. （Ⅰ） 已知集合，请判断集合是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）设集合，求证：具有性质的集合有无穷多个. 12．设为有限集合，，，…，为的子集，表示集合中元素的个数，已知对于每个正整数，都有. （1）记为元素个数为m的集合，当时，求集合的所有子集的个数； （2）若一定有集合中的某个元素在至少个集合中出现，则最大值是多少？并加以证明. 13．设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数” （1）当时，判断和是否为集合的“相关数”，说明理由； （2）若为集合的“相关数”，证明：. 14．称正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P：如果对任意的i，j（1≤i≤j≤n），与两数中至少有一个属于A. （1）分别判断集合{1，3，6}与{1，3，4，12}是否具有性质 P； （2）设正整数集合 A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜an，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N*），ai都是an的因数； （3）求an=30时n的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）；（2）；（3），证明见解析. 【分析】（1）首先根据题意得到，为方程的根，从而得到，，再根据，得到，解方程即可得到集合. （2）首先根据是单元素集，设，得到，再根据得到方程，根为，从而得到，即. （3）首先设为方程的根，即，，又因为，得到，即可得到. 【详解】（1）因为，所以. 若，则，为方程的根， 所以，解得，即. 又因为，即. ， 整理得，