2024年高考数学函数压轴题专项训练

2024年高考数学函数压轴题专项训练 1．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数在定义域内有两个不同的零点，求实数的取值范围． 2．已知函数为对数函数，函数的图象与函数的图象关于对称，设函数，且对任意都有恒成立． (1)求函数的解析式； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 3．设函数，，. (1)求函数在上的单调区间； (2)若，，使成立，求实数的取值范围； (3)求证：函数在上仅有一个零点，并求（表示不超过的最大整数，如，） 参考数据：，，. 4．己知函数. (1)求曲线在处的切线方程： (2)若在上是单调函数，求实数a的取值范围. 5．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，，，，），则称为的“重覆盖函数” . (1)判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，说明理由． (2)若为的“2重覆盖函数”，求实数的取值范围. 6．已知函数． (1)若存在唯一的负整数，使得，求的取值范围； (2)若，当时，，求的取值范围． 7．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知，若恒成立，求的值． 8．已知函数，． (1)求在处的切线方程； (2)当时，，数列满足，且，证明：； (3)当时，恒成立，求a的取值范围． 9．已知函数． (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若对恒成立，求实数a的取值范围． 10．已知函数的图象过点． (1)若关于的方程在有实根，求实数的取值范围； (2)若函数，则是否存在实数，对任意的，存在，使成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由 11．已知函数，. (1)若，求实数的值； (2)当时，证明：. 12．定义：函数若存在正常数，使得，为常数，对任意恒成；则称函数为“代阶函数”． (1)判断下列函数是否为“代阶函数”？并说明理由． ①，②. (2)设函数为“代阶函数”，其中是奇函数，是偶函数.若，求的值． 13．已知二次函数满足，恒成立，且，． (1)求的解析式； (2)对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 14．若函数满足对任意，都有，则称该函数为C函数. (1)若，求证：函数是C函数； (2)若函数是上的严格减函数，判断是否一定为C函数，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）求导，然后分和讨论函数的单调性； （2）先根据求出，再将不等式恒成立问题转化为，构造函数，求其最小值即； （3）将函数在定义域内有两个不同的零点的问题转化为函数和函数的图象有两个不同的交点，观察图象可得答案. 【详解】（1）由已知， 当时，恒成立，函数在上单调递增， 当时，令，得，函数单调递增， 令，得，函数单调递减， 综上：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； （2）若函数在处取得极值，则，解得， 经检验符合题意， 所以， 则不等式恒成立即恒成立， 整理得在上恒成立， 所以，设， 则， 令，得，单调递减，令，得，单调递增， 所以， 所以； （3）令，可得， 若函数在定义域内有两个不同的零点， 则函数和函数的图象有两个不同的交点， 当函数和函数的图象相切时， 因为函数和函数均过点，则为切点， 又， 则切线方程为，故，即 如图，当时，函数和函数的图象只有一个交点， 观察图象可得： 当函数和函数的图象有两个不同的交点时有且， 即且， 即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：恒成立问题一般通过参变分离转化为最值问题，同时零点个数问题转化为方程的根的个数或者函数图象的交点个数问题. 2．(1)； (2). 【分析】（1）由对数函数定义求得，则，结合反函数性质得，再根据已知得为偶函数，由偶函数性质求参数n，即可得的解析式； （2）由题设，令，进而得到，且，根据二次函数性质及其最小值求参数即可. 【详解】（1）由题设，可得，故， 由函数的图象与函数的图象关于对称， 即两函数互为反函数，故，故，定义域为R， 由，即， 所以为偶函数，即恒成立， 故，则. （2）由（1）得，且， 令，则，即， 所以，且，开口向上，对称轴为， 所以在上的最小值为， 当，即时，，可得； 当，即时，， 所以，可得或，均不满足前提； 综上，. 【点睛】关键点点睛：第一问，注意对数函数定义、反函数性质及偶函数判断并求参；第二问，将含指数函数的复合型函数换元，转化二次函数，再利用最值求参. 3．(1)单调减区间是，单调增区间是 (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）整体法求解函数单调性； （2）在上的值域为在上的值域的子集，求出的值域为，换元法结合二次函数对称轴，分与两