四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三下学期入学考试理科数学试题

绵阳南山中学高2021级高三下期入学考试题 数学（理科） 命题人：王秀容 审题人：张丛林 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则（ ） A B. C. D. 3. 执行如图所示的程序框图，输出的（ ） A. 18 B. 22 C. 25 D. 4 已知向量，满足，，且，则（ ） A. 5 B. C. 10 D. 5. 设等比数列的各项均为正数，前项和，若，，则（ ） A. 31 B. C. 15 D. 6. 逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为（　　） A. B. C. D. 7. 设甲：，乙：，则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C. 甲是乙的充要条件 D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知曲线，的一条渐近线与圆交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 9. 2023年杭州亚运会吉祥物组合为“江南忆”，出自白居易的“江南忆，最忆是杭州”，名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”的三个吉祥物，是一组承载深厚文化底蕴的机器人.为了宣传杭州亚运会，某校决定派5名志愿者将这三个吉祥物安装在学校科技广场，每名志愿者只安装一个吉祥物，且每个吉祥物至少有一名志愿者安装，若志愿者甲只能安装吉祥物“宸宸”，则不同的安装方案种数为（ ） A. 50 B. 36 C. 26 D. 14 10. 已知函数的图象与直线有3个交点，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，且为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，过的直线交椭圆于A，B两点，若，点满足，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 已知函数为偶函数，则实数______________. 14. 若x，y满足约束条件，则最小值为___________. 15. 如图，在平面四边形中，，，，则的最大值为_________； 16. 已知正四棱锥的顶点均在球的表面上.若正四棱锥的体积为1，则球体积的最小值为______. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60分 17. 已知数列的前n项和为，，其中． （1）求数列通项公式； （2）设，数列前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围． 18. 如图，在三棱柱中，，，，． （1）证明：平面平面； （2）若，求二面角的正弦值． 19. 第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的，男生有10人表示不喜欢看足球比赛. （1）完成下面列联表，试根据小概率值的独立性检验，判断能否认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？ 男 女 合计 喜爱看足球比赛 不喜爱看足球比赛 合计 60 （2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，设抽到的男生人数为，求的分布列和期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知抛物线上的点到焦点的距离为8，点到轴的距离为. （1）求抛物线的方程； （2）取抛物线上一点，过点作两条斜率分别为的直线与抛物线交于两点，且，则直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该点坐标，否则说明理由. 21. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，求证：当时，恰有两个零点. （二）选考题：共10分．请考生在第