专题2.26 相交线与平行线常见几何模型（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.26 相交线与平行线常见几何模型（知识梳理与考点分类讲解） 【模型一】猪蹄型 已知：如图，AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证明：如图，过点E作MN//AB. ∵MN//AB（作辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵MN//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴MN//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∵∠1+∠2=∠BED（等式性质） ∴∠B+∠D=∠BED（等量代换） 拓展与延伸： 延伸与拓展：朝左的角之和=朝右的角之和 【模型二】铅笔型 解：（1）∵AB∥CD（已知） ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） （2）过点E作一条直线EF平行于AB， ∵AB∥EF，AB∥CD（已知） ∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEF+∠FEC=∠AEC，∠1+∠AEF+∠FEC+∠3=360°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3=360°（等量代换） （3）过点E、F作EG、FH平行于AB， ∵AB∥CD（已知） ∴AB∥EG∥FH∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠AEG+∠GEF=∠AEF，∠EFH+∠HFC=∠EFC，∠1+∠AEG+∠GEF+∠EFH+∠HFC+∠4=540°（等式性质） ∴∠1+∠2+∠3+∠4=540°（等量代换） 延伸与拓展：根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n组同旁内角，n个角的和是180（n-1）°． 【模型三】前扬角型 ∠B=∠E+∠C 过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠BEF=∠BEC+∠CEF（等式性质） ∴∠B=∠BEC+∠C（等量代换） 【模型四】后翻角型 结论：∠C=∠E+∠B 证明：过点E作GF//AB ∵AB∥CD（已知） ∴GF∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴∠B=∠BEF，∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等）. ∵∠CEF=∠BEF+∠CEB（等式性质） ∴∠C=∠B+∠CEB（等量代换） 【模型五】潜望镜模型 如下图： 【模型六】综合型 ∠B+∠E-∠D=180°CD//EF，AB//GF→∠1+∠2=∠ABC 综上所述：几个几何模型共同点：都是通过作辅导线达到角度大小转化目的。 【考点1】猪蹄型模型； 【考点2】铅笔型模型； 【考点3】前扬角型模型； 【考点4】后翻角型模型； 【考点5】潜望镜模型； 【考点一】猪蹄型模型 【例1】【问题背景】同学们，观察小猪的猪蹄，你会发现熟悉的几何图形，我们就把这个图形的形象称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． 【问题探究】（1）如图1，，为、之间一点，连接、．可以得到与、之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【灵活应用】（2）如图2，直线，若，，求的度数． 【答案】（1），理由见分析；（2） 【分析】本题考查平行线的性质及应用，三角形内角和定理，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用． （1）过点作，利用平行线的性质即可解答； （2）先利用三角形的内角和定理可得，从而利用对顶角相等可得，然后利用“猪蹄模型”可得，最后进行计算即可解答． 解：（1）， 理由：如图，过点作， ， ， ， ， ， ； （2），， ， ， ， 由（1）可得：， ， ． 【举一反三】 【变式1】一副三角板如图放置，斜边互相平行，且每个三角板的直角顶点都在另一个三角板的斜边上，在图中所标记的角中，与相等的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和三角形外角的性质，三角板的特点即可求出各角的度数，即可求解． 解：由三角板的特点得∠2=45°，∠4=30°，∠5=60°， ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2=45°， ∴∠3=∠1+∠4=75°， ∴与相等的角是∠2． 故选：A 【点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，三角板的特点等知识，熟知一副三角板的六个角的度数是解题关键． 【变式2】如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放:含30°角的直角三角板的斜边与含45°角的直角三角板一直角边重合，含45°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含30°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是 ． 【