2024年九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练

2024年春九年级数学中考复习《相似三角形综合压轴题》专题提升训练（附答案） 1．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．点、、均在格点上，在图①、图②、图③给定的网格中按要求画图．要求：借助网格，只用无刻度的直尺，不要求写出画法．    (1)在图①中，画的高线． (2)在图②中，画的中线． (3)在图③中，画的角平分线． 2．如图，在中，，于，作于，是中点，连交于点． （1）求证：； （2）若，，求的值． 3．将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）至，连接，过点D作直线的垂线，垂足为点E，连接，CE． （1）求证：是等腰直角三角形； （2）求的值； （3）当四边形CEDB′是平行四边形时，请直接写出的值及sinα的值． 4．【问题探究】 （1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接AD，BD． ①请探究AD与BD之间的位置关系？并加以证明． ②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求线段AD的长． 【拓展延伸】 （2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD的长． 5．在菱形中，，点、分别是边、上两点，满足，与相交于点． （1）如图1，连接．求证：； （2）如图2，连接． ①求证：； ②若，，求线段的长（用含、的代数式表示）． 6．如图，在中，，，把射线绕点旋转得到射线，设旋转角为，作点关于直线的对称点，射线交射线于点，连接、、，交于点． （1）如图1，当时，的形状是_______，的值为_______． （2）当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请就图2或图3的情形进行证明；如果不成立，请说明理由． 7．如图，为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点，过作分别交，于，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，点与点关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接． ①设的度数为，求的度数： ②猜想与之间的数量关系，并证明． 8．（1）我们知道：如图①，点把线段分成两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点．它们的比值为__________． （2）在图①中，若，则的长为__________； （3）如图②，用边长为的正方形纸片进行如下操作：对折正方形得折痕，连接，将折叠到上，点对应点，得折痕．试说明：是的黄金分割点； （4）如图③，小明进一步探究：在边长为的正方形的边上任取点，连接，作，交于点，延长、交于点．他发现当与满足某种关系时，、恰好分别是、的黄金分割点．请猜想小明的发现，并说明理由． 9．如图，是四边形的外接圆，直径为10，过点D作，交 BA的延长线于点P，AD平分． （1）如图1，若AC是的直径，求证：PD与相切; （2）在（1）的条件下，若，求线段BC的长; （3）如图2，若，求的最大值． 10．在中，，．点是内一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，． （1）观察猜想，如图1，当时，求的值． （2）类比探究，如图2，当时，求的值． （3）解决问题，如图3，当时，若点在的平分线上，请直接写出点，，在同一直线上时与的值． 11．在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 12．综合与实践 【问题背景】 如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处． 【问题解决】 （1）填空：的长为______． （2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长； 【拓展探究】 （3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 13．图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一．小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行研究．如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点D，E分别在线段上，且． （1）观察猜想 小华将绕点A逆时针旋转，连接，如图（2），当的延长线恰好经过点E时， ①的值为________； ②的度数为_______度； （2）类比探究 如图（3），小芳在小华的基础上，继续旋转，连接，设的延长线交于点F，请求出的值及的度数，并说明理由． （3）拓展延伸 若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长． 14．【问题提出】已知一个三角形的三条边长，怎样求出其内角平分线的长度？