利用导数解决生活中的最优化问题 阅读学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

山东省 高中数学阅读学案 编号11 编制 审核 审批 山东省 高中数学阅读学案 编号11 班级 小组 姓名 使用时间 利用导数解决生活中的最优化问题 -------衔接选择性必修三6.3《利用导数解决实际问题》 1、 阅读目标 1. 通过阅读材料，掌握处理分析实际问题的能力，能将文字语言，图形语言转化为数学符号。 2.通过将正文填空部分的完善，学会设出变量、写出函数，并利用导数解决函数的最值问题。 2、 阅读内容 在生活中，人们经常会遇到最优化的问题。 例如，在铺设管道或者公路时，怎样使得花费最少?在制作容器时，怎样使得用料最少?经济活动中怎样使得经营成本最小?等等，这些问题都需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，因此数学上都称为最优化问题。因为利用导数可以求得最值，所以可以利用导数来求解最优化问题，导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、 最小值的实际问题，主要有以下几个方面: 1、与几何有关的最值问题: 2、与物理学有关的最值问题: 3、与利润及其成本有关的最值问题: 4、效率最值问题。 下面我们举例说明. 如图所示，海中有一座油井A，其离岸的距离AC=1.2km，岸是笔直的，岸上有一座炼油厂B，且BC=1.6km.现要用输油管将油井A 与炼油厂B连接起来，且输油管既可以铺设在水下，也可以铺设在陆地上，还可以一部分铺设在水下另一部分铺设在陆地上.已知水下的铺设成本为每千米50万元，陆地的铺设成本为每千米30 万元.那么，铺设输油管的最少花费是多少? 分别计算下列两种铺法的铺设成本，然后尝试给出最优的铺设方案 (1)先沿AC铺设再沿CB铺设; (2) 直接沿着线段AB 铺设 解：（1）如果先沿AC铺设，再沿CB铺设，则成本为： （2）直接沿线段AB铺设，成本为： 如上图所示，在线段CB上取一点D，设其离C的距离为xkm，则 AD= x的范围为： DB= 设先沿AD铺设再沿DB铺设输油管时成本为y万元，则 y= y'= 令y'>0，可解得 可知y在[0，0.9]上递减，在[0.9，1.6]上递增。从而y在x= 时取得最小值，而且最小值为: 解决优化问题的方法:首先是需要分析问题中各个变量之间的关系， 建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具. 练一练： 1.如图所示，某海岛码头O离岸边最近点B的距离是150km，岸边的医药公司A与点B的距离为300Km，现有一批药品要尽快送达海岛码头.已知A与B之间有一条公路，现要用海陆联运的方式运送这批药品，若汽车时速为130km，快艇时速为50km.试在岸边选一点C，先将药品用汽车从A送到C，再用快艇从C运到海岛码头，则点C选在何处可使运输时间最短? 解: 2.如图所示，现有一块边长为1.2m的正方形铁板，如果从铁板的四个角各截去一个边长相等的小正方形，然后做成一个长方体形的无盖容器，则容器的容积V是截下的小正方形边长x的函数 (1)写出函数的解析式; (2)为了使容器的容积最大，截去的小正方形边长应为多少? 分析当截去的正方形边长较短时，容器的底面积就会较大，高较小;反之，当截去的正方形边长较长时，容器的底面积就会较小，高较大.但是容器的容积等于底面积乘以高，因此，为了使得容器的容积最大，必须寻找合适的x值. 解： 3、 思考与评价 1． 利用导数解决最优化问题的一般步骤是什么？ 2.导数解决最优化问题应该注意什么？ 4、 答案与提示 1. 2. 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$