等比数列与复利计息 学案-2023-2024学年高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第三册

等比数列与复利计息 ----------衔接选择性必修三5.4《数列的应用》 1、 阅读目标 1. 通过阅读材料第（一）部分，学会复利的计算公式。 2. 通过阅读材料第（二）部分，理解等比数列与复利计算公式的关系，会进行复利计息的计算。 2、 阅读内容 （一）比原子弹还强大的威力 曾经有人问过爱因斯坦：“世界上最强大的力量是什么？”爱因斯坦的回答不是原子弹爆炸，而是“复利”。欧洲银行家梅尔甚至更加夸张地把复利称为“世界上的第八大奇迹”利滚利，江湖人称黄世仁，其实学名叫复利。复利就像滚雪球，雪球沿着下坡往下滚。下坡越长，滚得越久。滚得越久，滚得越大。我们最早接触有关复利的事是在数学课本上（幂函数一章），一个”棋盘上摆麦粒”的故事：传说西塔发明了国际象棋，国王很高兴，决定重赏西塔。西塔说：“我不要你的重赏，陛下，只要你在我的棋盘上赏一些麦子就行了。在棋盘的第1个格子里放1粒，在第2个格子里放2粒，在第3个格子里放4粒，在第4个格子里放8粒，依此类推，以后每一个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到放满第64个格子就行了”。国王觉得很容易就可以满足他的要求，于是就同意了。但很快国王就发现，即使将国库所有的粮食都给他，也不够百分之一。因为即使一粒麦子只有一克重，也需要数十万亿吨的麦子才够。尽管从表面上看，他的起点十分低，从一粒麦子开始，但是经过多次乘方，形成了庞大的数字。这个数字就是265-1。 关于复利有一个公式： P被称为现值，F被称为终值，n是计息期数，r是利率 国王的故事就是：初值为1，复利率为100%，期数为64期的复利模式.复利法则，又被称为72定律。72指的是公式里的n，因为 就是说，当利率为1%的时候，72个周期就可以让本金翻上一番。 有一个很简捷的数学规律： 当利率为r = m% 的时候，要想使本金翻倍，只需要72/m个周期。 由此可以得出一个表格 当r为年息的时候，右边的周期n以年为单位 山东省 数学阅读学案 编号07 班级 小组 姓名 使用时间 第 页1 试卷第1页，共3页 第1页 学科网（北京）股份有限公司 当r为月息的时候，右边的周期n则以月来计算。 （二）复利计息 小王月投1万，年利率2%，n年后的总收益=本金+利息。这是个鸡生蛋，蛋生鸡的故事，在这个蛋生鸡的故事里有一个有趣的规律，那就是72定律： “如果周期利率是1%的话，那么72个周期可以让本金翻倍”。 也就是说，在月利率是1%的情况下，72个月就可以让16.6元变成33.2元。那么现在的月利率是(2%/12)，就需要72*12/2个周期，也就是432个月，可以让16.6元变成33.2元。 利滚利的秘密就在这里：时间有价值 如果算上利滚利，那么小王 第一个1万在12n月以后的利息加本金应该是 （1）1万*（1+2%/12）12n 第二个1万在12n-1月以后的利息加本金是 （2）1万*（1+2%/12）12n-1 ...... 以此类推，第12n个1万在第12n个月的本息总和 （12n）1万*（1+2%/12）1 将以上各式相加，即是12n月内小王定投的总收益： Sn=1万*（1+2%/12）12n + 1万*（1+2%/12）12n-1+ .... + 1万*（1+2%/12）2 +1万*（1+2%/12） 根据初中奥数/高中数学知识“等比数列求和公式” = 1万*（1+2%/12） q =（1+2%/12） 算出以下结果： 10年还贷、30年还贷以及不买房的三种决策的结果应该是 综上所述，10年还清房贷比30年还清，在房子的使用上是一样的，而在存款上却多出了97万元。 （三）复利的泛化 复利的魅力，大家已经看到了。复利的公式也可引入个人成长等人生社会领域。比如下面这个公式： （1+1%）365 = 37.783 （1-1%）365 = 0.0255当每日都在进步的时候，哪怕是一点点的进步，只要坚持不懈，时间总会向奋斗者印证复利的威力。比如“洞见”君的座右铭：日拱一卒，功不唐捐。比如荀子在《劝学》里所说的，“骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。复利的公式已经向我们呈现几个关键的变量：一个是利率，一个是周期。 当初值一定，若想尽快达到终值，只能通过增大利率来缩短周期。 复利是道数学题，很崇高；而人生则是一道哲学题，需要优美 练一练： 1．小王想用分期付款的方式购买一套价值90万元的商品房.首付40万元，贷款期限为20年，银行住房贷款的年利率为，