2.3 函数的单调性与最值 课件-2023-2024学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.3 函数的单调性与最值 注：①单调性（增减性）是函数的局部性质. 单调 单调 函数y=单调递减.（函数y=区间(-上为减函数) 函数y=单调递增.（函数y=区间[0,+上为增函数) 例1：根据图象写出下列函数的单调区间. 注：②多个单调区间时不能用“”，只能用“”或“和”； 只有当函数在整个定义域上单调时才能用“” 单调性的符号定义： 设函数y=为D，I是定义域D上的一个区间. 增函数，都有>0 减函数，都有0 注：③ 三个特征：任意；有大小；同属于一个区间. 1 1 解析：如图所示： 该函数只有单调递减区间:（- 解析：当x，y=- 当x=0时，y=3; 当x>0时，y=- 即： -1 1 3 4 -3 3 如图所示：函数单调递增区间为：（- 函数单调递减区间为：[-1,0],[1,+ 例：根据定义证明函数 是R上的增函数. 证明：任取 =3 =3() ∵ ，∴3()<0,∴ 根据单调性的定义可知，函数y=3x+2在R上是增函数. 证明：任取 = = - + - = - + = - )(1-) ∵ ，∴ - 又∵ ∴ 1- ∴- )(1-)<0, ∴ ∴函数y=x+在区间（1，+单调递增. 练习1、根据定义证明函数y=x+区间（1，+单调递增. 解析：法①：函数y=定义域是(- 且函数y= x (-上是单调递减函数, ∴函数y= 的单调递减区间为(-， 无单调递增区间. 法②：函数y= 由函数y=函数t=x-1复合得来. 函数y=（-和（0，+单调递减， 函数t=x-1在R上单调递增，根据同增异减可知： 函数y= 的单调递减区间为(-， 无单调递增区间. 解析：要使函数有意义，则-xx 设t= -,则函数在（-递增， 在5)(5,+单调递减， ∵函数y=-（0,+）上单调递减，由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间为（- 单调递增区间为 5)(5,+ 拓展：求抽象复合函数的单调区间 解析：设t=函数在（-递减，在[0,+单调递增； 因为y=f(x)在R上单调递减，根据复合函数单调性的性质可知： 函数y=）的递减区间为[0,+区间为（- 解析：函数是x=向上 在区间（-单调递减，那么有 取值范围是[6,+ 解析：∵x<1时，函数是增函数， ∴>0，解得 又∵x函数增函数， 只需要当x=1时，一次函数的取值小于或等于二次函数的取值， 故 综上： 解析：任取 则= + 又∵ - ∴ 即 故R上的减函数. 解析：任取 则= ∵ >0 ∴ ∴ 即 则f(x)在（0，+是增函数. $$