2024届四川省内江市威远中学校高三下学期第一次模拟考试理科数学试题

秘密★启用前 威远中学校2024届高三下期第一次模拟 数学（理工类）2024.2.26 命题人：第四组 做题人：第四组 审题人：第四组 数学试题共4页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则的真子集的个数为（ ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．已知复数z满足，则（ ） A．－i B．i C．1 D．－1 3．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A． B． C． D．2 4．已知，则（ ） A．－60 B．－30 C．30 D．60 5．已知正项等差数列的前n项和为，且，，则（ ） A． B． C． D． 6．过点可以做三条直线与曲线相切，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．设函数，，若存在，，且，使得，则ω的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8，在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则下列4个结论中正确的有（ ）个． ①，②B的取值范围为，③的取值范围为；④的最小值为 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山、黄山、庐山三个景点旅游．已知8名同学中有4名男生，4名女生．每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生A不去同一处景点游玩，女生B与女生C去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（ ） A．564 B．484 C．386 D．640 10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：，若圆D：上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 11．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，O为的外心，D为BC边上的中点，，，，则（ ） A． B． C． D． 12．定义在R上的可导函数满足，当时，， 若实数a满足，则a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分． 13．若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为______． 14．若x，y满足约束条件，则的取值范围为______． 15．在三棱锥P-ABC中，AP，AB，AC两两互相垂直，，，当三棱锥P-ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为______． 16．已知，若函数有三个不同的零点，，， 则的取值范围是______． 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 17．已知等差数列的前n项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， ①求数列的前n项和； ②若不等式对一切恒成立，求实数λ的最大值． 18．2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓．某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表： 不太了解 比较了解 合计 男生 20 40 60 女生 20 20 40 合计 40 60 100 （1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异； （2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为X，求X的分布列及E（X）． 附：①，其中； ②当时有95%的把握认为两变量有关联． 19．如图，四棱锥PABCD中，，，， 平面平面PAC． （1）证明：； （2）若，M是PA的中点，求平面MBC与平面PAC夹角的正弦值． 20．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点在C上，且的面积为． （1）求双曲线C的方程； （2）记点A在x轴上的射影为点B，过点B的直线l与C交于M，N两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 21．设函数． （1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值； （2）若当时，恒有，求实数a的取值范围； （3）设时，求证：． 注：22与23题为选做题，2选1，均为10分