精品解析：北京大学2024年优秀中学生寒假学堂数学试题

北京大学2024年优秀中学生寒假学堂数学试题 2024年1月22日 1. 钝角面积为，，，求值 2. 四面体ABCD体积为6，，，，求异面直线AD与BC的夹角 3. 在正方形ABCD所在的平面内找一点P，使得，，，均为等腰三角形，求P的个数 4. 设，求的值 5. A，B，C为内角，x，y，z为实数,求以下三式中恒成立的个数. 6. 中，求的最大值 7. 在平面直角坐标系xOy中，方程表示椭圆，求m的取值范围. 8. 中，，，分别在，上各取一点，，使平分的面积，求长度的最小值 9. 为正实数，满足，求最大值 10. 等差数列中，，公差，，求最大的正整数n，使. 11. 首项是整数的等差数列，公差，前n项和，求所有n值的和 12. 复平面与交点个数 13 ，，求. 14. 整数列，，，对有，为固定正整数，求使成立的个数______ 15. 使恰有2个整数解的正整数n的值为______． 16. 设，，则=______ 17. 用6种不同颜色染正方体的6个面，不同面颜色不同，正方体旋转后颜色相同认为是同种染色，则染色的种数有多少? 18. ，，则不超过2024正整数中可以作为函数值的个数为______ 19. 从1，2，⋯，2024中任取两数(可以相同)，则个位为的概率 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京大学2024年优秀中学生寒假学堂数学试题 2024年1月22日 1. 钝角面积为，，，求的值 【答案】2或－2 【解析】 【分析】根据三角形面积公式和向量的数量积公式计算可得结果. 【详解】因为，解得， 若，则，可得， 角为钝角，满足题意，此时； 若，则，所以或. 2. 四面体ABCD体积为6，，，，求异面直线AD与BC的夹角 【答案】或 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，求出，从而得出异面直线AD与BC的夹角. 【详解】建立空间直角坐标系，不妨设，，， 又，所以可设，则，解得，， 此时， ， 因此，， ， 则或， 则或， 所以异面直线AD与BC的夹角为或. 3. 在正方形ABCD所在的平面内找一点P，使得，，，均为等腰三角形，求P的个数 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，由等腰三角形性质，分别以四个顶点为圆心以边长为半径作四个圆，即可得到结果. 【详解】首先两条对角线的交点为所求，另外分别以四个顶点为圆心以边长为半径作四个圆， 则它们在正方形里面和外面的交点一共有8个,合计是9个. 4. 设，求值 【答案】 【解析】 【分析】取三次单位根，设，，在原式中，令，代入计算取式子的实部即可得出答案. 【详解】取三次单位根，设，，易证， ，……， ， 在原式中，令，则有， 对上式取实部可得：， 所以. 因此所求多项式的值为. 5. A，B，C为内角，x，y，z为实数,求以下三式中恒成立的个数. 【答案】三个 【解析】 【分析】选定x为主元，对三式配方即可得出答案. 【详解】不妨设三个式子依次为①②③， 选定x为主元，对①式配方可得 ， 因为 所以原式 从而①恒成立对于②类似地有 即②恒成立对于③我们有 因此当时其最小值为 即③恒成立，因此三个式子均恒成立. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于选定x为主元，由两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系将三式配方成两个完全平方和的形式即可证明三式恒成立. 6. 中，求的最大值 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由正弦的和差角公式以及辅助角公式化简，然后构造函数，求导即可得到结果. 【详解】令 ，其中， 所以， 设，， 则显然有，， 因此只需考虑在上的最大值， 求导可得， 令，可得， 则其在上的解为， 于是. 所以的最大值是. 7. 在平面直角坐标系xOy中，方程表示椭圆，求m的取值范围. 【答案】 【解析】 【分析】通过换元法，分离参数后根据椭圆的第二定义求解. 【详解】令，将原式整理为， 因此， 易知：其中分式为任意点到定直线距离与定点距离之比为定值， 由椭圆的第二定义知，， 所以，从而. 8. 中，，，分别在，上各取一点，，使平分的面积，求长度的最小值 【答案】2 【解析】 【分析】利用余弦定理和基本不等式，容易就得. 【详解】由题意知，即， 所以，， 设，，则，解得， 从而由余弦定理可得， 当且仅当时等号成立. 所以长度最小值为2. 9. 为正实数，满足，求的最大值 【答案】 【解析】 【分析】设，，可得，利用待定系数法，结合基不等式求解，即设待定常系数，使得，求出，，再利用条件，即可求得答案. 【详解】由题意知为正实数，设，，则， 设待定常系数，使得 ， 当且仅当时等号成立； 因此需要，解得，， 因此， 等号在时取得， 故的最大值为. 10. 等差数列中，，公差，，求最大的正整数n，使. 【答案】使的最大的正整数. 【解