2024年中考数学专项复习讲义：二次根式

2024年中考数学专项复习讲义：二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （＞0） （＜0） 0 （=0）； （1）（）2= （≥0）； （2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 练习 一、单选题 1．下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 2．下列运算中，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知y＝，则xy的值为（　　） A．8 B．±8 C．±9 D．9 4．若在实数范围内有意义，则的取值范围是（  ） A． B． C． D．且 5．估算的值在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 6．已知，，且，则（    ） A．2 B．12 C．2或12 D．或 7．若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系内有一点P（x，y），已知x，y满足＋|3y＋5|＝0，则点P所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 9．下列二次根式中，同类二次根式是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．小华做了四道二次根式的题目：，，，，如果你是他的数学老师，请找出他做错的题是（ ） A．(1)(2) B．(1)(2)(4) C．(2)(4) D．(1)(3)(4) 二、填空题 11．把的根号外因式移到根号内得 ． 12．若两个最简二次根式与能够合并，则 ． 13．二次根式，与的和是________． 14．如果y＝+3+2，那么＝ ． 15．实数a在数轴上的位置如图所示，则＝ ． 16．若 ． 三、解答题 17．计算： （1） （2） （3） （4） 18．的立方根是，正数b的平方根分别是与，c是的整数部分． (1)求正数b的值； (2)求的算术平方根． 19．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如．善于思考的小明进行了以下探索：设（其中a、b、m、n均为整数），则有，∴，，这样小明就找到了一种把类似的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)诗把下列各式都配成完全平方的形式：①；②； (2)已知，求的值． 20．小明对问题：“已知，求的值．”的解答如下： ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你仔细阅读小明的解答，然后解决下列问题： (1)若，求下列各式的值： ①； ②； ③． (2)化简：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 2．C 3．D 4．D 5．B 6．C 7．A 8．D 9．A 10．B 11． 12．5 13． 14．49． 15．3﹣a 16． 17．解：（1）原式= =； （2）原式= = =； （3）原式= =； （4）原式= = = 18．（1）解：正数b的平方根分别是与， ∴， 解得， ∴正数b为49． （2）∵的立方根是， ∴，解得． ∵c是的整数部分，， ∴． ∴， 所以的算术平方根为：． 19．（1）解：①； ② （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 20．（1）解：①， ，即， ， ； ②，， ； ③，， ， ． （2）解： ． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$