专题五解析几何第3讲圆锥曲线的综合问题专题讲义-2024届高三数学二轮专题复习

第3讲　圆锥曲线的综合问题 考点一　证明问题——等价转化，直击目标 圆锥曲线中证明问题的两种常见类型 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不等）. 例 1[2022·全国乙卷]已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A（0，－2），B（，－1）两点． （1）求E的方程； （2）设过点P（1，－2）的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足＝.证明：直线HN过定点． 归纳总结 圆锥曲线中证明题的求解策略 处理圆锥曲线中的证明问题常采用直接法证明，证明时常借助于等价转化思想，化几何关系为数量关系，然后借助函数方程思想、数形结合思想解决． 对点训练 [2023·全国乙卷]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率是，点A(－2，0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 考点二　定点问题——目标等式寻定点 解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆（其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及）过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量（有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一）. 二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． 三定点：对上述方程进行必要的化简，即可得到定点坐标． 例 2 [2023·河南省商丘市高三三模]如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B.左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，点M(，1)在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k1，直线BQ的斜率为k2，k1＝2k2.过点B作直线PQ的垂线，垂足为H.问：在平面内是否存在定点T，使得|TH|为定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由． 归纳总结 直线过定点问题的解题策略 对点训练 [2023·新课标Ⅱ卷]已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为(－2，0)，离心率为. (1)求C的方程； (2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4，0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上． 考点三　定值问题——巧妙消元寻定值 定值问题一般是指在求解解析几何问题的过程中，探究某些几何量（斜率、距离、面积、比值等）与变量（斜率、点的坐标等）无关的问题，其求解步骤一般为： 一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等． 二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量（或者有多个变量，若是能整体约分也可以）. 三定值：化简式子得到定值．由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值． 例 3[2023·江西省智学联盟体高三联考]已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，渐近线方程为y±＝0，点A(2，0)在C上． (1)求双曲线C的方程； (2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点(不与A点重合)，且两条直线的斜率k1，k2满足k1＋k2＝1，直线PQ与直线x＝2，y轴分别交于M，N两点，求证：△AMN的面积为定值． 归纳总结 求解圆锥曲线中定值问题常用的方法 （1）引出变量法．解题流程为： （2）特殊法．从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． （3）直接法．直接推理，在计算过程中消去变量，从而得到定值． 对点训练 [2023·河南省TOP二十名校高三调研]在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中，其所有外切矩形的顶点在一个定圆Γ：x2＋y2＝a2＋b2上，称此圆为椭圆的蒙日圆．椭圆C过P(1，)，Q(－，). (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的蒙日圆上一点M，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点N，若kOM，kON存在，证明：kOM·kON为定值． 考点四　圆锥曲线中的最值、范围问题——巧设变量，引参搭桥 圆锥曲线中的最值 （1）椭圆中的最值 F1，F2为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为椭圆上的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有： ①|OP|∈　　　　；②|PF1|∈　　　　；③|PF1|·|PF2|∈　　　　；④∠F1PF